שאלות פתוחות: משיק לפונקציה רציונלית - כיתה י"א 5 יח"ל

משוואת משיק לפונקציה רציונלית - שאלות פתוחות לכיתה י"א, 5 יחידות. התלמידים מוצאים משוואת משיק בנקודה, מעבירים משיקים לגרף של 1/x מנקודה שאינה על הגרף, מחשבים שטח משולש שהמשיק יוצר עם הצירים ב-1/x² כפונקציה של t, ומוצאים פרמטר לפי תנאי על המשיק. יש גם שאלה על פונקציה עם "חור" בגרף. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה. אפשר להשתמש בהן לבוחן או לדף עבודה, וכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא וייצוא ל-Word.

44 שאלותקלה: 18בינונית: 21קשה: 5

שאלה 1 · משיק לפונקציה רציונליתשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=x2+5x−2f(x)=\frac{x^2+5}{x-2}f(x)=x−2x2+5​.

א.

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=3x=3x=3.

ב.

לגרף הפונקציה יש משיק נוסף שמקביל למשיק שמצאתם בסעיף א. מצאו את משוואתו.

שאלה 2 · משיק לפונקציה רציונליתשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x2−4x2−2xf(x)=\dfrac{x^2-4}{x^2-2x}f(x)=x2−2xx2−4​. לגרף הפונקציה יש נקודת אי-רציפות סליקה ("חור") בנקודה H(2,2)H(2,2)H(2,2) (ראו סרטוט).
-6-4-2246-4-2246

א.

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=1x=1x=1.

ב.

האם קיים משיק לגרף הפונקציה העובר דרך הנקודה HHH? אם כן, מצאו את משוואתו; אם לא, נמקו.

שאלה 3 · משפחת משיקים לגרף $\frac{2}{x ^{2}} + b$ : משולש מינימלי ומקום הנקודותשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=2x2+bf(x)=\frac{2}{x^2}+bf(x)=x22​+b, כאשר bbb הוא פרמטר חיובי. בנקודה שעל גרף f(x)f(x)f(x) ששיעור ה-xxx שלה הוא ttt (t>0t>0t>0) מעבירים משיק לגרף. המשיק יוצר עם הצירים משולש ברביע הראשון.

א.

הביעו באמצעות ttt ו-bbb את שטח המשולש.

ב.

מצאו, באמצעות bbb, את ערך ttt שבעבורו שטח המשולש מינימלי, ואת השטח המינימלי.

ג.

נתון כי השטח המינימלי של המשולש הוא 12.

מצאו את bbb, ואת שיעורי נקודת ההשקה שבעבורה מתקבל המשולש המינימלי.

ד.

הראו שלכל b>0b>0b>0, נקודות ההשקה של המשולשים המינימליים נמצאות כולן על גרף של פונקציה אחת שאינה תלויה ב-bbb, ומצאו את הפונקציה.

שאלה 4 · היפרבולה עם פרמטר: משיק ומשולש מינימלי עם הציריםשאלה מלאה · קלה

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x)=ax+2f(x)=\frac ax+2f(x)=xa​+2, המוגדרת בתחום x≠0x\ne0x=0. aaa הוא פרמטר חיובי.

א.

מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של f(x)f(x)f(x).

ב.

הנקודה CCC נמצאת על גרף f(x)f(x)f(x), ושיעור ה-xxx שלה הוא 1.

הראו כי משוואת המשיק לגרף f(x)f(x)f(x) בנקודה CCC היא y=−ax+2a+2y=-ax+2a+2y=−ax+2a+2.

ג.

המשיק חותך את ציר ה-xxx בנקודה AAA ואת ציר ה-yyy בנקודה BBB. OOO היא ראשית הצירים.

מצאו את שיעורי AAA ו-BBB, והראו כי שטח המשולש AOBAOBAOB הוא S=2(a+1)2aS=\frac{2(a+1)^2}{a}S=a2(a+1)2​.

ד.

מצאו את הערך של aaa שבעבורו שטח המשולש AOBAOBAOB מינימלי, ואת השטח המינימלי.

שאלה 5 · משיק לפונקציה רציונליתשאלה קצרה · בינונית

בסרטוט שלפניכם מתוארים גרף הפונקציה f(x)=1xf(x)=\frac1xf(x)=x1​ והנקודה P(1,−3)P(1,-3)P(1,−3). מהנקודה PPP מעבירים משיקים לגרף הפונקציה.
-4-224-4-224P

מצאו את משוואות המשיקים ואת שיעורי נקודות ההשקה.

שאלה 6 · משיק לגרף $\frac{1}{x ^{2}}$ : היתר הקצר ביותר ותחום שבו המקסימום בקצהשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=1x2f(x)=\frac{1}{x^2}f(x)=x21​, x>0x>0x>0. המשיק לגרף בנקודה שבה x=tx=tx=t חותך את ציר ה-xxx בנקודה AAA ואת ציר ה-yyy בנקודה BBB.

א.

הביעו באמצעות ttt את שיעורי הנקודות AAA ו-BBB.

ב.

מצאו את ttt שעבורו אורך הקטע ABABAB מינימלי, ואת האורך המינימלי.

ג.

מגבילים את נקודת ההשקה לתחום 1≤t≤a1\le t\le a1≤t≤a, כאשר a>1a>1a>1. מצאו את כל ערכי aaa שעבורם האורך המקסימלי של ABABAB בתחום מתקבל ב-t=1t=1t=1.

שאלה 7 · משיק להיפרבולה: סכום ניצבים מינימלי ומקסימלישאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x}f(x)=x1​. מעבירים משיק לגרף f(x)f(x)f(x) בנקודה שבה x=tx=tx=t, כאשר 12≤t≤4\frac12\le t\le421​≤t≤4.
המשיק חותך את ציר ה-xxx בנקודה AAA ואת ציר ה-yyy בנקודה BBB. OOO היא ראשית הצירים.

א.

הראו שמשוואת המשיק היא y=−1t2x+2ty=-\frac{1}{t^2}x+\frac{2}{t}y=−t21​x+t2​.

ב.

מצאו את שיעורי הנקודות AAA ו-BBB באמצעות ttt.

ג.

מצאו את שיעור ה-xxx של נקודת ההשקה שעבורו סכום הניצבים OA+OBOA+OBOA+OB מינימלי.

ד.

מצאו את שיעור ה-xxx של נקודת ההשקה שעבורו סכום הניצבים מקסימלי.

שאלה 8 · משיק לפונקציה רציונליתשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=ax−1f(x)=\frac{a}{x-1}f(x)=x−1a​, כאשר aaa פרמטר. הישר y=−x+7y=-x+7y=−x+7 משיק לגרף הפונקציה.

מצאו את aaa ואת שיעורי נקודת ההשקה.

שאלה 9 · משפחת פונקציות רציונליות עם נקודה ריקה: משיק דרך נקודה קבועה ומספר פתרונותשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=(x−a)2(x+2a)x3−ax2f(x)=\frac{(x-a)^2(x+2a)}{x^3-ax^2}f(x)=x3−ax2(x−a)2(x+2a)​, כאשר a>0a>0a>0 הוא פרמטר.

א.

מצאו באמצעות aaa את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x), את האסימפטוטות שלה המקבילות לצירים ואת שיעורי הנקודה הריקה בגרף שלה.

ב.

הוכיחו כי המשיק לגרף f(x)f(x)f(x) בנקודת החיתוך שלו עם האסימפטוטה האופקית עובר דרך נקודה קבועה שאינה תלויה ב-aaa, ומצאו אותה.

ג.

מצאו את כל ערכי mmm שבעבורם למשוואה f(x)=mf(x)=mf(x)=m יש פתרון אחד בדיוק.

שאלה 10 · פונקציה רציונלית עם נקודה ריקה: אסימפטוטות, משיק והזזהשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=(x−2)3x3−2x2f(x)=\frac{(x-2)^3}{x^3-2x^2}f(x)=x3−2x2(x−2)3​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x). הראו כי עבור x≠2x\neq2x=2 מתקיים f(x)=(x−2)2x2f(x)=\frac{(x-2)^2}{x^2}f(x)=x2(x−2)2​, ומצאו את שיעורי הנקודה הריקה בגרף.

ב.

מצאו את האסימפטוטות של f(x)f(x)f(x) המקבילות לצירים.

ג.

מצאו את נקודת החיתוך של גרף f(x)f(x)f(x) עם האסימפטוטה האופקית, ואת משוואת המשיק לגרף בנקודה זו.

ד.

נתונה הפונקציה g(x)=f(x−3)+1g(x)=f(x-3)+1g(x)=f(x−3)+1. מצאו את האסימפטוטות של g(x)g(x)g(x) ואת שיעורי הנקודה הריקה בגרף שלה.

עוד 13 שאלות על משיק לפונקציה רציונלית

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

משיק לפונקציה רציונלית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{1}{x^2}$ בתחום $x>0$ . מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה $x=a$ ( $a>0$ ). המשיק יוצר עם הצירים משולש.
שטח משולש שיוצר משיק עם הצירים, בשני פרמטרים (שאלה קצרה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2}{x^2}+b$ , כאשר $b$ הוא פרמטר חיובי. בנקודה שעל גרף $f(x)$ ששיעור ה- $x$ שלה הוא $t$ ( $t>0$ ) מעבירים משיק לגרף.…
משיקים בראשית ובנקודת הקיצון של פונקציה עם פרמטר (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{ax}{(x+4)^2}$ , ו- $a>0$ הוא פרמטר. נתון כי $f'(x)=\frac{a(4-x)}{(x+4)^3}$ , ולפונקציה נקודת מקסימום…
משיק לפונקציה רציונלית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2x^2}{x+1}$ . נתונה משפחת הישרים $y=2x+c$ , כאשר $c$ פרמטר.
משיק בנקודת החיתוך עם האסימפטוטה האופקית עובר דרך נקודה קבועה (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{(x-a)^2(x+2a)}{x^3-ax^2}$ , כאשר $a>0$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: משיק ושטח מינימלי של משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\frac{a}{x+1}+4$ . הפונקציה $f(x)$ מוגדרת בתחום $x\ne-1$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
משיק לפונקציה רציונלית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x+a}{x-1}$ , כאשר $a\ne-1$ הוא פרמטר. הנקודה $C$ נמצאת על גרף הפונקציה, ושיעור ה- $x$ שלה הוא 2.
פונקציה רציונלית עם חזקה שלישית במכנה: משיק ושטח מינימלי של משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\frac{a}{(x-2)^3}+2$ . הפונקציה $f(x)$ מוגדרת בתחום $x\ne2$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
משיק לגרף $\frac{2}{x ^{2}}$ : סכום ניצבים מינימלי ומקסימלי בתחום סגור (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2}{x^2}$ . מעבירים ישר המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה שבה $x=t$ . נתון: $1\le t\le4$ . המשיק חותך את ציר ה- $x$ …
משיק לפונקציה רציונלית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{6}{x}$ , $x>0$ . המשיק לגרף בנקודה $P$ שבה $x=t$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $A$ ואת ציר ה- $y$ בנקודה $B$ . $O$ - ראשית…
פונקציה רציונלית: פרמטרים מתוך גרף עם נקודה ריקה, משיק והזזה (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט מתואר גרף של פונקציה $f(x)$ שלא מוגדרת רק עבור $x=0$ ו- $x=2$ . האסימפטוטות של הפונקציה הן $x=0$ ו- $y=\frac13$ .
משיק לפונקציה רציונלית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2x^2-3x}{x^2+1}$ .
משוואת משיק עם פרמטר וחיתוכו עם ציר ה-x (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{x^2}+3$ בתחום $x>0$ , $a$ הוא פרמטר חיובי. דרך הנקודה שעל גרף הפונקציה שבה $x=2$ העבירו משיק לגרף.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

פונקציה רציונלית עם פרמטר: משיק ושטח מינימלי של משולש · בגרות 571 קיץ 2025 מועד א', שאלה 8
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\frac{a}{(x-1)^2}+6$ . הפונקציה $f(x)$ מוגדרת בתחום $x\ne1$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
משיק לגרף $\frac{1}{x ^{3}}$ : סכום ניצבים מינימלי ומקסימלי בתחום סגור · מבחן לדוגמה 3 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 6
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{1}{x^3}$ . העבירו ישר המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה שבה $x=t$ . נתון: $1\le t\le5$ . המשיק חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $A$ ואת ציר…
פונקציה רציונלית: פרמטרים מתוך גרף עם נקודה ריקה, משיק והזזה · מבחן לדוגמה 5 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 7
בסרטוט מתואר גרף של פונקציה $f(x)$ שלא מוגדרת רק עבור $x=3$ ו- $x=0$ . האסימפטוטות של הפונקציה הן $x=0$ ו- $y=1$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (18)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

חקירת $f (x) = \frac{12}{x} + 3 x$ , הזזה אנכית ומשיק (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{12}{x}+3x$ .
חקירת פונקציה רציונלית, הזזה אנכית ומשיק (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=2x+\frac{18}{x}-3$ .
שטחים מורכבים, כולל שטח המוגבל על ידי משיק (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{4}{x^2}$ בתחום $x>0$ .
פונקציה רציונלית: שטח מתחת לגרף הנגזרת עם גבול משתנה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{x^2}+1$ , $a$ הוא פרמטר. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה $x=1$ הוא $-6$ .
פונקציה עם אסימפטוטה נתונה, משיק ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{2}{x^2}+b$ בתחום: $x>0$ , $b$ הוא פרמטר. הישר $y=4$ הוא אסימפטוטה של הפונקציה.
פונקציה עם אסימפטוטה נתונה, משיק ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{8}{x^2}+b$ בתחום: $x>0$ , $b$ הוא פרמטר. הישר $y=2$ הוא אסימפטוטה של הפונקציה.
היפרבולה, משיק ובעיית קיצון של קטע אנכי (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\frac{a}{x-4}$ המוגדרת בתחום $x\neq4$ . $a$ הוא פרמטר שונה מ-0. הנקודה…
היפרבולה, משיק ובעיית קיצון של קטע אנכי (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\frac{a}{x-3}$ המוגדרת בתחום $x\neq3$ . $a$ הוא פרמטר שונה מ-0. הנקודה…
פונקציה רציונלית עם פרמטר: גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{x^2}+2$ , $a$ הוא פרמטר. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה $x=2$ הוא $-2$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{x^2}-1$ , $a$ הוא פרמטר. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה $x=-2$ הוא $1$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{(x-5)^2}$ , המוגדרת בתחום $x\ne5$ . $a$ הוא פרמטר חיובי. נתון כי בנקודה שבה $x=7$ ,…
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{(x-4)^2}$ , המוגדרת בתחום $x\ne4$ . $a$ הוא פרמטר חיובי. נתון כי בנקודה שבה $x=6$ ,…
משיק ושטח עם פרמטר (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{x^2}+3$ בתחום $x>0$ , $a$ הוא פרמטר חיובי. דרך הנקודה שעל גרף הפונקציה שבה $x=2$ …
היפרבולה עם פרמטר: הקטע האנכי הקצר ביותר ומשיקים מקבילים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{x-4}$ , $x\neq4$ , ו- $a>0$ הוא פרמטר. הנקודה $A$ היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה…
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מספר פתרונות ומשיקים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{ax}{(x+4)^2}$ , ו- $a>0$ הוא פרמטר.
משוואת משיק לגרף פונקציה רציונלית (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{6}{x}-x$ .
משוואת משיק לגרף פונקציה רציונלית (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=3-\frac{1}{x^2}$ בתחום $x>0$ . לגרף הפונקציה העבירו משיק ששיפועו $\frac14$ .
הפונקציה $\frac{1}{f ( x )}$ עם פרמטר: משיקים ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונות הפונקציות: $f(x)=(x-a)^2$ , $g(x)=\frac{1}{f(x)}$ , $a>1$ הוא פרמטר.