מבחן לדוגמה: התאמת פונקציה רציונלית לגרף - כיתה י"א 5 יח"ל

מצאו את $a$ ואת $b$, ומצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגן.

מצאו את תחום ההגדרה של $f'(x)$.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של $f(x)$, והראו כי ל-$f(x)$ יש נקודת קיצון אחת בלבד. קבעו את סוגה.

נתון כי לפונקציה $f(x)$ יש אסימפטוטה אופקית שמשוואתה $y=1$.

גזרו את הפונקציה $\frac{1}{(x^2-4)^2}$, והיעזרו בתוצאה כדי למצוא את $f(x)$ ואת שיעורי נקודת הקיצון שלה.

נתונה הפונקציה $h(x)=\frac{(x-2)^2}{(x^2-4)^2}$.

מצאו את האסימפטוטות האנכיות של $h(x)$ ואת נקודת אי-הרציפות הסליקה שלה, וקבעו איזה מבין הגרפים I ו-II מתאר את $h(x)$. נמקו.

איזה מן הגרפים מתאים לפונקציה $f(x)$ בעבור $a>0$? נמקו את התשובה בקצרה.

נתון כי השוויון $2+12+30+\ldots+n(n+1)=\frac{(n+1)(n+a)(2n+1)}{12}$ מתקיים בעבור $n=3$. $a$ הוא פרמטר.

בבית קפה בדקו מה קנו הלקוחות. נמצא כי מספר הלקוחות שקנו רק קפה גדול פי 2 ממספר הלקוחות שקנו גם קפה וגם מאפה. $\frac{2}{3}$ מן הלקוחות שקנו מאפה, קנו גם קפה. נסמן ב-$p$ את ההסתברות לבחור באקראי לקוח שקנה רק קפה.

נתונות הפונקציות: $f(x)=\frac{\sqrt{x^2-4}}{x}$, $g(x)=\frac{x^2-4}{\sqrt{x}}$, $h(x)=\sqrt{\frac{x^2-4}{x}}$.

הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$, מוגדרות לכל $x$. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)$. נתון כי הפונקציה $f(x)$ היא זוגית, הגרף שלה חותך את ציר ה-$y$ בנקודה $(0,1)$, ובתחום $x>0$ יש לה נקודת קיצון אחת בלבד: נקודת מקסימום ששיעוריה $(2,4)$. לפונקציה $f(x)$ ולפונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ יש אסימפטוטה אופקית $y=0$.

הראו כי אין לפונקציה נקודות קיצון.

הגרף שלפניכם מתאר את אחת הפונקציות $f(x)$, $g(x)$.

קבעו איזו מן הפונקציות הגרף מתאר. נמקו את קביעתכם.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה האחרת.

מצאו, לפי ערכי $k$, את מספר הפתרונות של המשוואה $f(x)=k$.

נתון כי $f(x)=\frac{p(1-x)}{(x^2-2x-8)^2}$, כאשר $p\neq0$ הוא פרמטר.

מצאו את $a$, $b$ ו-$c$, וקבעו את הסימן של $p$.

הביעו באמצעות $p$ את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $f'(x)\cdot f(x)$, ציר ה-$x$ והישרים $x=0$ ו-$x=2$.

נתון כי השטח שמצאתם בסעיף ג שווה ל-$\frac1{16}$. מצאו את $p$.