מבחן לדוגמה: חקירת מכפלת חזקות עם מעריך פרמטרי: n זוגי מול n אי-זוגי - כיתה י"א 5 יח"ל

מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה $f(x)$ (אם יש כאלה). הבחינו בין $n$ זוגי לבין $n$ אי-זוגי.

מצאו את $n$.

מצאו את כל נקודות הקיצון של $f$ וקבעו את סוגן.

הראו כי $f'(x)=x^{n-1}\big((n+1)x-4n\big)$.

מצאו את שיעורי ה-$x$ של נקודות הקיצון של $f(x)$, וקבעו את סוגן. הבחינו בין $n$ זוגי לבין $n$ אי-זוגי.

לפניכם שלושה גרפים III-I. אחד מהם מתאר את $f(x)$ עבור $n$ זוגי, ואחד מתאר את $f(x)$ עבור $n>1$ אי-זוגי.

קבעו איזה גרף מתאר את $f(x)$ עבור $n$ זוגי, ואיזה עבור $n>1$ אי-זוגי. נמקו.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של הפונקציה $f(x)$ עם הצירים.

מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה $f(x)$ (אם יש כאלה). הבחינו בין $n$ זוגי לבין $n$ אי-זוגי.

מצאו את שיעורי ה-$x$ של נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$, וקבעו את סוגן. הביעו את תשובתכם באמצעות $n$, אם יש צורך. הבחינו בין $n$ זוגי לבין $n$ אי-זוגי.

לפניכם שלושה גרפים III-I. אחד מהגרפים מתאר את הפונקציה $f(x)$ עבור $n$ זוגי, ואחד מהם מתאר את הפונקציה $f(x)$ עבור $n>1$ ואי-זוגי.

קבעו איזה גרף מתאר את הפונקציה $f(x)$ עבור $n$ זוגי, ואיזה מהם מתאר את הפונקציה $f(x)$ עבור $n>1$ ואי-זוגי. נמקו את קביעתכם.

נתונה הפונקציה $g(x)=k\cdot f(x+3)$, כאשר $k$ הוא פרמטר חיובי. נסמן ב-$A$ את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה $f(x)$ ובין ציר ה-$x$.

הביעו באמצעות $k$ ו-$A$ את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה $g(x)$ ובין ציר ה-$x$. נמקו.

לפונקציה יש נקודת קיצון יחידה בתחום $0<x<3$. מצאו את שיעור ה-$x$ שלה באמצעות $n$ ו-$m$, וקבעו את סוגה לפי $n$ ו-$m$.

קבעו, לכל אחד מארבעת המקרים של זוגיות $n$ ו-$m$, אם $x=0$ ו-$x=3$ הן נקודות קיצון, ואם כן - מאיזה סוג.

נתון שלפונקציה יש בדיוק שתי נקודות קיצון, ושאחת מהן נמצאת ב-$x=1.8$. ידוע ש-$n+m\le10$. מצאו את $n$ ואת $m$.

הוכיחו כי לכל $n$ הפונקציה $f_n(x)$ אי-זוגית, ומצאו את משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של $f_n(x)$. הבחינו בין ערכים שונים של $n$ לפי הצורך.

בסעיף ג, $n=2$.

השטח הכלוא בין גרף הפונקציה $f_2(x)$, ציר ה-$x$ והישרים $x=-c$, $x=c$ ($0<c<1$) שווה ל-3. מצאו את $c$. (הדרכה: הנגזרת של $x^2-1$ היא $2x$.)

נתונה פונקציה $H(x)$ המקיימת $H'(x)=f_n(x)$, ומוגדרת באותו תחום כמו $f_n(x)$. קבעו, לכל $n$ טבעי, אם יש ל-$H(x)$ נקודת קיצון שבה $x=0$, ואם כן - מה סוגה. האם יש ל-$H(x)$ נקודות קיצון נוספות?