שאלות פתוחות: חקירת מכפלת חזקות עם מעריך פרמטרי: n זוגי מול n אי-זוגי - כיתה י"א 5 יח"ל

שאלות על חקירת מכפלת חזקות עם מעריך פרמטרי, כמו x^n·(x-4), לכיתה י"א ברמת 5 יחידות, כשההבדל המרכזי הוא בין n זוגי ל-n אי-זוגי. בשאלות קובעים איזה סוג נקודה מתקבל באפס, מתי יש קיצון ומתי פיתול, ומשרטטים סקיצה לפי זוגיות המעריך, בפונקציות כמו x^n(x-1)² ו-(x+2)^n(x-1)³. רוב השאלות בינוניות, וחלק ניכר קשות. מתאים לתלמידים חזקים ולהכנה לבגרות; אפשר לבחור מהן למבחן או לדף עבודה עם פתרון מלא וייצוא ל-Word.

20 שאלותקלה: 2בינונית: 12קשה: 6

שאלה 1 · חקירת $x^{n} (x - 4)$ : סימן, קיצון והתאמת גרף לפי זוגיות nשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=xn⋅(x−4)f(x)=x^n\cdot(x-4)f(x)=xn⋅(x−4), כאשר n>1n>1n>1 מספר טבעי.

א.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

ב.

היעזרו בכך ש-xn>0x^n>0xn>0 לכל x≠0x\neq0x=0 כאשר nnn זוגי, וש-xn<0x^n<0xn<0 לכל x<0x<0x<0 כאשר nnn אי-זוגי, ומצאו את תחומי החיוביות והשליליות של f(x)f(x)f(x). הבחינו בין nnn זוגי לבין nnn אי-זוגי.

ג.

הראו כי f′(x)=xn−1((n+1)x−4n)f'(x)=x^{n-1}\big((n+1)x-4n\big)f′(x)=xn−1((n+1)x−4n).

ד.

מצאו את שיעורי ה-xxx של נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגן. הבחינו בין nnn זוגי לבין nnn אי-זוגי.

ה.

לפניכם שלושה גרפים III-I. אחד מהם מתאר את f(x)f(x)f(x) עבור nnn זוגי, ואחד מתאר את f(x)f(x)f(x) עבור n>1n>1n>1 אי-זוגי.
I
II
III

קבעו איזה גרף מתאר את f(x)f(x)f(x) עבור nnn זוגי, ואיזה עבור n>1n>1n>1 אי-זוגי. נמקו.

שאלה 2 · חקירת מכפלת חזקות עם מעריך פרמטרי: n זוגי מול n אי-זוגישאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=xn(x−1)2f(x)=x^n(x-1)^2f(x)=xn(x−1)2, כאשר n>1n>1n>1 מספר טבעי.

מצאו את שיעורי ה-xxx של נקודות הקיצון של fff וקבעו את סוגן. הבחינו בין nnn זוגי ל-nnn אי-זוגי, והביעו באמצעות nnn לפי הצורך.

שאלה 3 · חקירת מכפלת חזקות עם מעריך פרמטרי: n זוגי מול n אי-זוגישאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=xn(x−2)mf(x)=x^n(x-2)^mf(x)=xn(x−2)m, כאשר nnn ו-mmm מספרים טבעיים גדולים מ-111.

מצאו את מספר נקודות הקיצון של fff, לפי הזוגיות של nnn ושל mmm. עבור אילו nnn ו-mmm יש לפונקציה נקודת קיצון אחת בלבד?

שאלה 4 · תחומי חיוביות ושליליות של מכפלת חזקות לפי זוגיות nשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=xn⋅(x−2)3f(x)=x^n\cdot(x-2)^3f(x)=xn⋅(x−2)3, כאשר n>1n>1n>1 מספר טבעי, והפונקציה f(x)f(x)f(x) מוגדרת לכל xxx.

מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה f(x)f(x)f(x) (אם יש כאלה). הבחינו בין nnn זוגי לבין nnn אי-זוגי.

שאלה 5 · חקירת מכפלת חזקות עם מעריך פרמטרי: n זוגי מול n אי-זוגישאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=(x+2)n(x−1)3f(x)=(x+2)^n(x-1)^3f(x)=(x+2)n(x−1)3, כאשר nnn מספר טבעי.

א.

פתרו את אי-השוויון f(x)≥0f(x)\ge0f(x)≥0. הבחינו בין nnn זוגי ל-nnn אי-זוגי.

ב.

נניח ש-nnn זוגי. האם הנקודה (−2,0)(-2,0)(−2,0) היא נקודת קיצון של fff? אם כן, קבעו את סוגה; אם לא, נמקו.

שאלה 6 · משפחת הפונקציות $\frac{x}{( x ^{2} - 1 ) ^{n}}$ : זוגיות של $n$ , שטח הפוך וקיצון של קדומהשאלה מלאה · קשה

לכל מספר טבעי nnn מגדירים את הפונקציה: fn(x)=x(x2−1)nf_n(x)=\frac{x}{(x^2-1)^n}fn​(x)=(x2−1)nx​.

א.

הוכיחו כי לכל nnn הפונקציה fn(x)f_n(x)fn​(x) אי-זוגית, ומצאו את משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

ב.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של fn(x)f_n(x)fn​(x). הבחינו בין ערכים שונים של nnn לפי הצורך.

ג.

בסעיף ג, n=2n=2n=2.

השטח הכלוא בין גרף הפונקציה f2(x)f_2(x)f2​(x), ציר ה-xxx והישרים x=−cx=-cx=−c, x=cx=cx=c (0<c<10<c<10<c<1) שווה ל-3. מצאו את ccc. (הדרכה: הנגזרת של x2−1x^2-1x2−1 היא 2x2x2x.)

ד.

נתונה פונקציה H(x)H(x)H(x) המקיימת H′(x)=fn(x)H'(x)=f_n(x)H′(x)=fn​(x), ומוגדרת באותו תחום כמו fn(x)f_n(x)fn​(x). קבעו, לכל nnn טבעי, אם יש ל-H(x)H(x)H(x) נקודת קיצון שבה x=0x=0x=0, ואם כן - מה סוגה. האם יש ל-H(x)H(x)H(x) נקודות קיצון נוספות?

שאלה 7 · חקירת מכפלת חזקות עם מעריך פרמטרי: n זוגי מול n אי-זוגישאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=xn(x+5)2f(x)=x^n(x+5)^2f(x)=xn(x+5)2, כאשר n>1n>1n>1 מספר טבעי. ידוע כי לפונקציה יש נקודת מינימום מקומי שבה ערך הפונקציה שלילי.

א.

קבעו אם nnn זוגי או אי-זוגי. נמקו.

ב.

מצאו את שיעורי ה-xxx של נקודות הקיצון של fff וקבעו את סוגן (הביעו באמצעות nnn לפי הצורך). קבעו גם מה סוג הנקודה (0,0)(0,0)(0,0).

שאלה 8 · המשפחה $x^{n}$ ו- $x^{n}$ : זוגיות המעריך, משולש מקסימלי ובעיה הפוכהשאלה מלאה · קשה

nnn הוא מספר טבעי, n≥2n\ge2n≥2. נתונות הפונקציות f(x)=xnf(x)=x^nf(x)=xn ו-g(x)=f(x)g(x)=\sqrt{f(x)}g(x)=f(x)​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של g(x)g(x)g(x) ואת נקודות החיתוך של הגרפים של f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x). הבחינו בין nnn זוגי ל-nnn אי-זוגי.

בסעיפים ב-ד: הנקודה A נמצאת על גרף f(x)f(x)f(x) ושיעור ה-xxx שלה הוא ppp, כאשר 0<p<10<p<10<p<1. הנקודה B נמצאת על גרף g(x)g(x)g(x) ברביע הראשון, כך שהקטע AB מקביל לציר ה-xxx. O היא ראשית הצירים.

ב.

מצאו באמצעות nnn את הערך של ppp שבעבורו שטח המשולש OAB מקסימלי.

ג.

נתון שכאשר שטח המשולש OAB מקסימלי, אורך הקטע AB הוא 0.090.090.09. מצאו את nnn.

ד.

האם קיים nnn שבעבורו השטח המקסימלי של המשולש OAB מתקבל כאשר אורך הקטע AB מקסימלי? נמקו.

שאלה 9 · חקירת מכפלת חזקות עם מעריך פרמטרי: n זוגי מול n אי-זוגישאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=xn(5−x)f(x)=x^n(5-x)f(x)=xn(5−x), כאשר n>1n>1n>1 מספר טבעי. לפונקציה יש נקודת קיצון שבה x=4x=4x=4.

א.

מצאו את nnn.

ב.

מצאו את כל נקודות הקיצון של fff וקבעו את סוגן.

שאלה 10 · חקירת $x^{n} (x - 3)^{m}$ עם שני מעריכים: מיון לפי זוגיות, בעיה הפוכה ומספר פתרונותשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=xn⋅(x−3)mf(x)=x^n\cdot(x-3)^mf(x)=xn⋅(x−3)m, כאשר nnn ו-mmm מספרים טבעיים, n≥2n\ge2n≥2, m≥2m\ge2m≥2.

א.

לפונקציה יש נקודת קיצון יחידה בתחום 0<x<30<x<30<x<3. מצאו את שיעור ה-xxx שלה באמצעות nnn ו-mmm, וקבעו את סוגה לפי nnn ו-mmm.

ב.

קבעו, לכל אחד מארבעת המקרים של זוגיות nnn ו-mmm, אם x=0x=0x=0 ו-x=3x=3x=3 הן נקודות קיצון, ואם כן - מאיזה סוג.

ג.

(1)

נתון שלפונקציה יש בדיוק שתי נקודות קיצון, ושאחת מהן נמצאת ב-x=1.8x=1.8x=1.8. ידוע ש-n+m≤10n+m\le10n+m≤10. מצאו את nnn ואת mmm.

(2)

עבור הערכים שמצאתם, מצאו את כל ערכי kkk שבעבורם למשוואה f(x)=kf(x)=kf(x)=k יש בדיוק שלושה פתרונות.

עוד 8 שאלות על חקירת מכפלת חזקות עם מעריך פרמטרי: n זוגי מול n אי-זוגי

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

חקירת $x^{n} (x - 2)^{3}$ : n זוגי מול n אי-זוגי, התאמת גרפים ושטח אחרי הזזה ומתיחה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^n\cdot(x-2)^3$ , כאשר $n>1$ מספר טבעי, והפונקציה $f(x)$ מוגדרת לכל $x$ .
תחומי עלייה וירידה של $\frac{x}{( x ^{2} - 1 ) ^{n}}$ לפי זוגיות n (שאלה קצרה · קשה)
לכל מספר טבעי $n$ מגדירים את הפונקציה: $f_n(x)=\frac{x}{(x^2-1)^n}$ .
חקירת מכפלת חזקות עם מעריך פרמטרי: n זוגי מול n אי-זוגי (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^n\cdot(4-x^2)$ , כאשר $n\ge2$ מספר טבעי.
נקודות קיצון של $x^{n} (x - 3)^{m}$ לפי זוגיות שני המעריכים (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^n\cdot(x-3)^m$ , כאשר $n$ ו- $m$ מספרים טבעיים, $n\ge2$ , $m\ge2$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה, טרפזים וטריגונומטריה, גרפים של $x^{n} (x \pm 1)^{2}$ ופונקציית הצטברות (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $\frac32+\frac54+\frac78+\ldots+\frac{2n+1}{2^n}=5-\frac{2n+5}{2^n}$
שאלות קצרות: אינדוקציה, טרפז ישר זווית וטריגונומטריה, גרפים של $x^{n} (x - a) (x + b)$ ופונקציית הצטברות (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים:…
התאמת גרפים ל- $x^{n} (x \mp 1)^{2}$ לפי זוגיות n (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הפונקציות $f(x)=x^n(x-1)^2$ ו- $g(x)=x^n(x+1)^2$ , המוגדרות לכל $x$ . $n$ הוא פרמטר טבעי גדול מ-1. כל אחד מן הגרפים I-IV לפניכם מייצג…
נגזרת, נקודות קיצון וזיהוי גרף של $x^{n} (x - 4)$ (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^n\cdot(x-4)$ , כאשר $n>1$ מספר טבעי.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

חקירת $x^{n} (x + 1)^{2}$ : n זוגי מול n אי-זוגי, התאמת גרפים ושטח אחרי הזזה ומתיחה · בגרות 571 חורף 2023, שאלה 6
נתונה הפונקציה $f(x)=x^n\cdot(x+1)^2$ , כאשר $n>1$ מספר טבעי, והפונקציה $f(x)$ מוגדרת לכל $x$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה, טרפזים וטריגונומטריה, גרפים של $x^{n} (x \pm 1)$ ופונקציית הצטברות · בגרות 571 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 1
הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $\frac23+\frac69+\frac{10}{27}+\ldots+\frac{4n-2}{3^n}=2-\frac{2n+2}{3^n}$