מבחן לדוגמה: אסימפטוטות אופקיות והתנהגות באינסוף - כיתה י"א 5 יח"ל

מצאו את משוואת האסימפטוטה האופקית של הפונקציה, ואת כל ערכי $k$ שעבורם גרף הפונקציה אינו חותך את האסימפטוטה הזו.

הציבו את הערך של $k$ שמצאתם. קבעו אם גרף הפונקציה נמצא מעל האסימפטוטה האופקית או מתחתיה, ומצאו את הערך הגדול ביותר של הפונקציה.

מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של $f(x)$.

הנקודה $C$ נמצאת על גרף $f(x)$, ושיעור ה-$x$ שלה הוא 1.

הראו כי משוואת המשיק לגרף $f(x)$ בנקודה $C$ היא $y=-ax+2a+2$.

המשיק חותך את ציר ה-$x$ בנקודה $A$ ואת ציר ה-$y$ בנקודה $B$. $O$ היא ראשית הצירים.

מצאו את שיעורי $A$ ו-$B$, והראו כי שטח המשולש $AOB$ הוא $S=\frac{2(a+1)^2}{a}$.

מצאו את הערך של $a$ שבעבורו שטח המשולש $AOB$ מינימלי, ואת השטח המינימלי.

ענו על התת-סעיפים (1)-(2). הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$, אם יש צורך.

מצאו עבור אילו ערכים של $a$ יש לפונקציה $f(x)$ נקודת קיצון שנמצאת משמאל לאסימפטוטה האנכית לציר ה-$x$, וקבעו את סוגה.

הגרפים 1-4 שלפניכם מתארים את הפונקציה $f(x)$ בעבור ערכים שונים של $a$.

התאימו לכל אחד מן הערכים I-IV של $a$ את הגרף המתאים לו, ונמקו את תשובותיכם. I. $a=-3$ II. $a=-2$ III. $a=-1$ IV. $a=1$

נתונה הפונקציה $g(x)$, המקיימת: $g(x)=f(x)-b$ בעבור הערך של $a$ המתאים לגרף 4. $b$ הוא פרמטר חיובי. נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $g(x)$ עם ציר ה-$x$ היא: $(t,0)$, $-2<t<0$. נתון כי השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $g(x)$, על ידי האסימפטוטה האופקית של הפונקציה $g(x)$, על ידי הישר $x=t$ ועל ידי ציר ה-$y$ הוא 1.

מצאו את הערך של $b$.

נתון כי הגרף מתאים לפונקציה:

היעזרו בנתונים שבסרטוט ומצאו את הערכים של הפרמטרים $a$ ו-$b$. פרטו את שיקוליכם.

הציבו את הערכים של $a$ ו-$b$ שמצאתם בסעיף א, ומצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם האסימפטוטה האופקית.

נתונה הפונקציה $g(x)$: $g(x)=f(x-k)+k$, $k>0$.

האם ייתכן ששתי האסימפטוטות של הפונקציה $g(x)$ נחתכות בנקודה $\left(6,\frac{19}{3}\right)$? אם כן - מהו הערך של $k$? אם לא - נמקו.

נתון כי הגרף מתאים לפונקציה:

היעזרו בנתונים שבסרטוט ומצאו את הערכים של הפרמטרים $a$ ו-$b$. פרטו את שיקוליכם.

מבין שלוש הפונקציות הנתונות, קבעו איזו פונקציה מקיימת את כל התכונות הללו. נמקו.

מצאו את המשוואה של האסימפטוטה האופקית ושל האסימפטוטה האנכית של הפונקציה.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.