שאלות פתוחות: אסימפטוטות אופקיות והתנהגות באינסוף - כיתה י"א 5 יח"ל

תרגול אסימפטוטות אופקיות והתנהגות באינסוף של פונקציות רציונליות לכיתה י"א, 5 יחידות. יש שאלות שבהן מוצאים אסימפטוטה אופקית לפי דרגות המונה והמכנה, שאלות עם פרמטר כמו (3x²+kx+5)/(x²+1) שבהן בודקים אם הגרף חותך את האסימפטוטה, ושאלות שבהן מגדירים פונקציה חדשה g(x)=f(1/x) ובוחנים אותה. השאלות רבות ונעות בין קלה לקשה, רובן בינוניות. בוחרים מכאן לבוחן, למבחן או לדף עבודה, והפתרונות המלאים יוצאים יחד עם השאלות לקובץ Word.

112 שאלותקלה: 46בינונית: 60קשה: 6

שאלה 1 · אסימפטוטות אופקיות והתנהגות באינסוףשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=3x2+kx+5x2+1f(x)=\frac{3x^2+kx+5}{x^2+1}f(x)=x2+13x2+kx+5​, כאשר kkk פרמטר.

א.

מצאו את משוואת האסימפטוטה האופקית של הפונקציה, ואת כל ערכי kkk שעבורם גרף הפונקציה אינו חותך את האסימפטוטה הזו.

ב.

הציבו את הערך של kkk שמצאתם. קבעו אם גרף הפונקציה נמצא מעל האסימפטוטה האופקית או מתחתיה, ומצאו את הערך הגדול ביותר של הפונקציה.

שאלה 2 · אסימפטוטות אופקיות והתנהגות באינסוףשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=2x2−8x2−5x+6f(x)=\frac{2x^2-8}{x^2-5x+6}f(x)=x2−5x+62x2−8​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה ואת משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

ב.

האם גרף הפונקציה חותך את האסימפטוטה האופקית שלו? אם כן - מצאו את נקודת החיתוך; אם לא - נמקו.

שאלה 3 · פונקציה רציונלית עם פרמטר: מספר הפתרונות של $∣ f (x) ∣ = b$ ובעיה הפוכהשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=a−x2x3f(x)=\frac{a-x^2}{x^3}f(x)=x3a−x2​, המוגדרת עבור x≠0x\neq0x=0. aaa הוא פרמטר חיובי. נתונה גם הפונקציה g(x)=∣f(x)∣−bg(x)=|f(x)|-bg(x)=∣f(x)∣−b, bbb הוא פרמטר חיובי, המוגדרת באותו התחום.

א.

מצאו באמצעות aaa את האסימפטוטות של f(x)f(x)f(x) המאונכות לצירים, את נקודות החיתוך שלה עם הצירים ואת נקודות הקיצון שלה, וקבעו את סוגן.

ב.

מצאו באמצעות aaa את כל ערכי bbb שעבורם למשוואה g(x)=0g(x)=0g(x)=0 יש בדיוק 6 פתרונות.

ג.

ידוע כי הנקודה (3,19)\left(3,\frac19\right)(3,91​) היא נקודת קיצון של g(x)g(x)g(x).

מצאו את aaa ואת bbb.

ד.

עבור הערכים שמצאתם בסעיף ג, נתונה הפונקציה s(x)=∫3xg(t) dts(x)=\int_{\sqrt3}^{x}g(t)\,dts(x)=∫3​x​g(t)dt, המוגדרת בתחום x>3x>\sqrt3x>3​.

כמה נקודות קיצון יש לפונקציה s(x)s(x)s(x), ומה סוגן? נמקו.

שאלה 4 · פונקציה רציונלית אי-זוגית: חקירה מודרכת, התנהגות ליד אסימפטוטה ושטחשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=2x(x2−4)2f(x)=\frac{2x}{(x^2-4)^2}f(x)=(x2−4)22x​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x) ואת משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

ב.

הוכיחו כי f(x)f(x)f(x) היא פונקציה אי-זוגית.

ג.

הראו כי f′(x)=−2(3x2+4)(x2−4)3f'(x)=\frac{-2(3x^2+4)}{(x^2-4)^3}f′(x)=(x2−4)3−2(3x2+4)​, ומצאו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x)f(x).

ד.

קבעו לאן שואפת f(x)f(x)f(x) כאשר x→2−x\to2^-x→2−, כאשר x→2+x\to2^+x→2+, כאשר x→−2−x\to-2^-x→−2− וכאשר x→−2+x\to-2^+x→−2+, וסרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.

ה.

חשבו את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x), ציר ה-xxx והישרים x=−1x=-1x=−1, x=1x=1x=1. (הדרכה: הנגזרת של x2−4x^2-4x2−4 היא 2x2x2x.)

שאלה 5 · אסימפטוטות אופקיות והתנהגות באינסוףשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=2x+3x−4f(x)=\frac{2x+3}{x-4}f(x)=x−42x+3​. מגדירים פונקציה חדשה: g(x)=f(1x)g(x)=f\left(\frac1x\right)g(x)=f(x1​).

א.

מצאו את תחום ההגדרה של g(x)g(x)g(x), ורשמו את g(x)g(x)g(x) כמנה של שני ביטויים לינאריים.

ב.

מצאו את משוואות האסימפטוטות של g(x)g(x)g(x) המאונכות לצירים.

שאלה 6 · פונקציה שנגזרתה $f (x) + m$ : מספר נקודות הקיצון לפי הפרמטר ובעיה הפוכהשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=6x(x2−1)2f(x)=\frac{6x}{(x^2-1)^2}f(x)=(x2−1)26x​. נתונה גם הפונקציה g(x)g(x)g(x) שפונקציית הנגזרת שלה היא g′(x)=f(x)+mg'(x)=f(x)+mg′(x)=f(x)+m, כאשר mmm הוא פרמטר. תחום ההגדרה של g(x)g(x)g(x) ושל g′(x)g'(x)g′(x) זהה לתחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x).

א.

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x), את האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים ואת תחומי העלייה והירידה שלה. מצאו גם את קבוצת הערכים ש-f(x)f(x)f(x) מקבלת בכל אחד מהתחומים x<−1x<-1x<−1, −1<x<1-1<x<1−1<x<1 ו-x>1x>1x>1.

ב.

קבעו, בהתאם לערכי mmm, כמה נקודות קיצון יש לפונקציה g(x)g(x)g(x).

ג.

נתון כי לפונקציה g(x)g(x)g(x) יש נקודת קיצון בנקודה שבה x=2x=2x=2. מצאו את mmm וקבעו את סוג הקיצון ב-x=2x=2x=2. באיזה קטע נמצאת נקודת הקיצון הנוספת של g(x)g(x)g(x), ומה סוגה?

ד.

הציבו m=−43m=-\frac43m=−34​. נתון כי g(2)=−1g(2)=-1g(2)=−1.

מצאו ביטוי ל-g(x)g(x)g(x) בתחום x>1x>1x>1, וקבעו לכל ערך של ccc כמה פתרונות יש למשוואה g(x)=cg(x)=cg(x)=c בתחום x>1x>1x>1.

שאלה 7 · שאלות קצרות בדרך לבגרות: פונקציה אי-זוגית, אי-תלות, אסימפטוטות וזוויות בכוכבשאלה מלאה · קלה

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א-ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

בסרטוט שלפניכם הגרף של פונקציה אי-זוגית f(x)f(x)f(x) בתחום −2≤x≤2-2\le x\le2−2≤x≤2. נתון: ∫02f(x)dx=−4\int_0^2 f(x)dx=-4∫02​f(x)dx=−4.
f(x)
-3-2-1123-4-3-2-11234

(1)

חשבו את ∫−20f(x)dx\int_{-2}^{0}f(x)dx∫−20​f(x)dx.

(2)

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) ועל ידי ציר ה-xxx בתחום −2≤x≤2-2\le x\le2−2≤x≤2.

ב.

נתונה טבלת הסתברויות ובה מידע חלקי:
AAAAˉ\bar AAˉסה"כ
BBB0.20.20.20.50.50.5
Bˉ\bar BBˉ
סה"כ0.40.40.4111

	$A$	סה"כ
$B$	$0.2$	$0.5$
$\bar B$
סה"כ	$0.4$	$1$

(1)

האם המאורעות AAA ו-BBB תלויים זה בזה? נמקו.

(2)

השלימו את הטבלה, ומצאו את P(Aˉ∩Bˉ)P(\bar A\cap\bar B)P(Aˉ∩Bˉ).

ג.

נתונה הפונקציה: f(x)=6x2−5x+12x2−2x−4f(x)=\frac{6x^2-5x+1}{2x^2-2x-4}f(x)=2x2−2x−46x2−5x+1​.

(1)

מצאו את האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים, וחשבו את שטח המלבן שהן יוצרות עם ציר ה-xxx.

(2)

נתונה הפונקציה g(x)=f(x−2)g(x)=f(x-2)g(x)=f(x−2). מצאו את האסימפטוטות של g(x)g(x)g(x) המאונכות לצירים, ואת שטח המלבן שהן יוצרות עם ציר ה-xxx.

ד.

במעגל שמרכזו OOO חסום כוכב שקודקודיו AAA, BBB, CCC, DDD, EEE מסודרים על המעגל לפי הסדר הזה (ראו סרטוט). הקשתות שבין קודקודים שכנים הן: הקשת ABABAB - 60∘60^\circ60∘, הקשת BCBCBC - 80∘80^\circ80∘, הקשת CDCDCD - 70∘70^\circ70∘, הקשת DEDEDE - 90∘90^\circ90∘, הקשת EAEAEA - 60∘60^\circ60∘.
OABCDE

(1)

חשבו את הזווית ∢CAD\sphericalangle CAD∢CAD שבקודקוד AAA.

(2)

חשבו את סכום חמש הזוויות שבקודקודי הכוכב.

שאלה 8 · אסימפטוטות אופקיות והתנהגות באינסוףשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=2x3+ax2+1x3+8f(x)=\frac{2x^3+ax^2+1}{x^3+8}f(x)=x3+82x3+ax2+1​, כאשר aaa פרמטר.

מצאו את כל ערכי aaa שעבורם גרף הפונקציה חותך את האסימפטוטה האופקית שלו בשתי נקודות בדיוק.

שאלה 9 · משפחת הפונקציות $\frac{3 ( x + 2 ) ^{2}}{x ^{2} + a}$ : מספר הפתרונות של $f (x) = 4$ ושטח כפונקציה של $a$ שאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=3(x+2)2x2+af(x)=\frac{3(x+2)^2}{x^2+a}f(x)=x2+a3(x+2)2​. aaa הוא פרמטר חיובי.

א.

מצאו את משוואת האסימפטוטה האופקית של f(x)f(x)f(x) ואת שיעורי נקודות הקיצון שלה, וקבעו את סוגן. הביעו באמצעות aaa.

ב.

מצאו את כל הערכים של aaa שבעבורם למשוואה f(x)=4f(x)=4f(x)=4 יש בדיוק שני פתרונות.

ג.

g(x)g(x)g(x) היא פונקציה המקיימת g(x)=−f′(x)(f(x))2g(x)=\frac{-f^{\prime}(x)}{(f(x))^2}g(x)=(f(x))2−f′(x)​.

הביעו באמצעות aaa את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x), על ידי ציר ה-xxx, על ידי ציר ה-yyy ועל ידי הישר המאונך לציר ה-xxx העובר דרך נקודת המקסימום של f(x)f(x)f(x). מצאו את aaa שבעבורו השטח הוא 49\frac4994​.

שאלה 10 · פונקציה רציונלית: נגזרת נתונה, מונוטוניות לפי סימן המכנה, סקיצה ושטחשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=x(x2−4)2f(x)=\frac{x}{(x^2-4)^2}f(x)=(x2−4)2x​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x) ואת משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

ב.

הראו כי f′(x)=−3x2+4(x2−4)3f'(x)=-\frac{3x^2+4}{(x^2-4)^3}f′(x)=−(x2−4)33x2+4​.

ג.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x)f(x). האם יש לפונקציה נקודות קיצון?

ד.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ה.

נתונה הפונקציה g(x)=k⋅f(x)g(x)=k\cdot f(x)g(x)=k⋅f(x), kkk פרמטר שלילי.

השטח המוגבל על ידי גרף g(x)g(x)g(x), על ידי ציר ה-xxx ועל ידי הישר x=1x=1x=1 הוא 1. מצאו את kkk.

עוד 40 שאלות על אסימפטוטות אופקיות והתנהגות באינסוף

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

אסימפטוטות אופקיות והתנהגות באינסוף (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2x^2+5x-3}{x^2+1}$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מספר פתרונות ושטח נתון (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2}{(x^3-a)^2}$ , כאשר $a>0$ פרמטר.
שאלות קצרות מודרכות: אינדוקציה, קטע אמצעים בטרפז, $f$ , $f^{'}$ , $f^{''}$ ו- $\frac{1}{f}$ (שאלה מלאה · קלה)
הראו כי $T_{k+1}=T_k+(k+1)\cdot2^{k+1}$ , והוכיחו: אם בעבור $k$ טבעי כלשהו $T_k=(k-1)\cdot2^{k+1}$ , אז $T_{k+1}=k\cdot2^{k+2}$ .
שתי פונקציות רציונליות אי-זוגיות עם $x^{4}$ : חזקה זוגית ואי-זוגית במכנה, זיהוי גרף ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונות הפונקציות: $g(x)=\frac{4x^3}{(x^4-1)^3}$ , $f(x)=\frac{4x^3}{(x^4-1)^2}$ .
מציאת פרמטרים בפונקציה רציונלית לפי גרף עם אסימפטוטות ונקודה ריקה (שאלה קצרה · קשה)
בסרטוט מתואר גרף של פונקציה $f(x)$ שלא מוגדרת רק עבור $x=0$ ו- $x=2$ . האסימפטוטות של הפונקציה הן $x=0$ ו- $y=\frac13$ . בסרטוט מסומנת הנקודה…
חקירת פונקציה רציונלית עם מכנה בריבוע ושטח בין שני גרפים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2-9}{(x+1)^2}$ .
שאלות קצרות: פונקציה אי-זוגית, טבלת הסתברויות עם פרמטר, אסימפטוטות ומלבן, כוכב בעל 7 קודקודים (שאלה מלאה · בינונית)
$\int_{-3}^{1}f(x)dx=-\int_{1}^{3}f(x)dx$
זיהוי פונקציה לפי מספר האסימפטוטות, ואסימפטוטות ונקודות חיתוך שלה (שאלת ביניים · קשה)
לפניכם שלוש פונקציות, שלכל אחת מהן יש שני ערכי $x$ שבהם היא אינה מוגדרת.…
פונקציה רציונלית עם נקודת אי-רציפות סליקה: אסימפטוטות, סקיצה ומלבן בעל היקף מינימלי (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2-4x-12}{x^2+x-2}$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: קיצון, סקיצה, $k \cdot f (x)$ ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^4}{(2x^5-m)^2}$ , $m$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציה רציונלית: חקירה, סקיצה וקעירות של הפונקציה הקדומה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{4x}{(x^2-9)^2}$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה, מקבילית בטרפז, גרפים של $f$ , $f^{'}$ , $f^{''}$ ו- $\frac{1}{f}$ (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו כי: אם בעבור $k$ טבעי כלשהו מתקיים: $T_k=(2k-1)\cdot3^{k+1}$ , אז מתקיים: $T_{k+1}=(2k+1)\cdot3^{k+2}$ .
היפרבולה עם פרמטר: משיק ומשולש מינימלי עם הצירים (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\frac ax+2$ , המוגדרת בתחום $x\ne0$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציה רציונלית אי-זוגית עם פרמטר, הגרף של $∣ f (x) ∣ - b$ ופונקציית הצטברות (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^4-a^2}{x^3}$ , המוגדרת עבור $x\neq0$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציה רציונלית פשוטה עם פרמטר: חקירה ופונקציה שנגזרתה $f (x) - 1$ (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{(x-2)^2}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי.
שלוש פונקציות רציונליות: איזו מהן עם אסימפטוטה אנכית אחת ואופקית אחת, סקיצה ומלבן בעל היקף מינימלי (שאלה מלאה · בינונית)
לפניכם שלוש פונקציות, שלכל אחת מהן יש שני ערכי $x$ שבהם היא אינה מוגדרת.…
שאלות קצרות מודרכות: אינדוקציה, חסם לחיתוך, גרף של $\frac{1}{f ^{2}}$ ופונקציה קדומה (שאלה מלאה · קלה)
הראו כי לכל $k$ טבעי מתקיים: $2k^2(2k+3)+4(k+1)^2-2=2(k+1)^2(2k+1)$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, פונקציה קדומה ומכפלה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{3x^2}{(x^3-a)^2}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי. ענו על סעיפים א-ה. הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ אם יש צורך.
פונקציה רציונלית בלי פרמטר: קיצון, סקיצה ושטח של $g \cdot g^{'}$ בהדרכה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{8x}{(x-2)^2}$ , המוגדרת בתחום $x\neq2$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מיקום הקיצון ביחס לאסימפטוטה, התאמת גרפים ושטח עם גבול פרמטרי (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x+2}{(x-a)^4}$ , המוגדרת בתחום: $x\neq a$ , $a$ הוא פרמטר שונה מ-0.
שאלות קצרות מודרכות: סכום $n (n + 1)$ באינדוקציה, בחירת סימן של פונקציית שורש ושטח של $f^{2}$ , $\frac{1}{f - 4}$ מגרף, משולש ישר זווית שצלעותיו בסדרה הנדסית (שאלה מלאה · קלה)
הראו כי לכל $k$ טבעי מתקיים: $\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+(k+1)(k+2)=\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: משיק ושטח מינימלי של משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\frac{a}{x+1}+4$ . הפונקציה $f(x)$ מוגדרת בתחום $x\ne-1$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
חקירת $\frac{4 ( x + 1 ) ^{2}}{x ^{2} + 1}$ והשטח בין $\frac{- f ^{'}}{f ^{2}}$ לציר ה- $x$ (מודרך) (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{4(x+1)^2}{x^2+1}$ .
פונקציה רציונלית עם חזקה שלישית במכנה: משיק ושטח מינימלי של משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\frac{a}{(x-2)^3}+2$ . הפונקציה $f(x)$ מוגדרת בתחום $x\ne2$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
שאלות קצרות מודרכות: אינדוקציה, זוויות במשולש, הסתברות גאומטרית ואסימפטוטות (שאלה מלאה · קלה)
שאלה זו בנויה מארבעה סעיפים א-ד שאינם תלויים זה בזה.
פונקציה רציונלית עם $x^{4}$ ופרמטר: חקירה, פונקציה שנגזרתה $f (x) + 1$ וזיהוי גרף (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{4ax^3}{(x^4-9)^2}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציה רציונלית: חקירה מודרכת ונפח גוף סיבוב (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x}{x^3-8}$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה, חסם לחיתוך והסתברות מותנית, גרף של $\frac{1}{f ^{2}}$ , פונקציה קדומה וזיהוי גרף (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים:…
פונקציה רציונלית עם נקודה ריקה: אסימפטוטות, משיק והזזה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{(x-2)^3}{x^3-2x^2}$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה, חסם לחיתוך והסתברות מותנית, גרף של $\frac{1}{f ^{2}}$ , פונקציה קדומה וזיהוי גרף (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים:…
תחום הגדרה ואסימפטוטות של מנה עם מכנה בריבוע (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2-9}{(x+1)^2}$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר ומכנה $x^{4}$ : קיצון, נקודה משותפת אחת עם ציר ה- $x$ ושטח של $g \cdot g^{'}$ (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{a(4x+3)}{x^4}$ , המוגדרת בתחום $x\neq0$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
שאלות קצרות: סכום $n (n + 2)$ באינדוקציה, $x 9 - x^{2}$ ושטח של $f^{2}$ , גרף של $\frac{1}{f - 3}$ , שטח משולש ישר זווית שצלעותיו בסדרה הנדסית (שאלה מלאה · בינונית)
מצאו את הערך של $b$ .
שאלות קצרות: סכום $k \cdot 3^{k - 1}$ באינדוקציה, $(x - 3) 4 x - x^{2}$ ושטח של $f^{2}$ , גרף של $\frac{1}{f - 2}$ , היקף משולש ישר זווית שצלעותיו בסדרה הנדסית (שאלה מלאה · בינונית)
מצאו את הערך של $b$ .
חקירת $\frac{12 x}{x ^{2} + a}$ עם פרמטר, והשטח בין $\frac{- f ^{'}}{f ^{2}}$ לציר ה- $x$ (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{12x}{x^2+a}$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
שאלות קצרות: אינדוקציה, זהות טריגונומטרית, הסתברות גאומטרית ואסימפטוטות (שאלה מלאה · בינונית)
שאלה זו בנויה מארבעה סעיפים א-ד שאינם תלויים זה בזה.
אסימפטוטות אופקיות והתנהגות באינסוף (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2-4}{x^2+x-6}$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר ומכנה בריבוע: חקירה, סקיצה ונפח גוף סיבוב (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $h(x)=ax^3+1$ .
פונקציה רציונלית: פרמטרים מתוך גרף עם נקודה ריקה, משיק והזזה (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט מתואר גרף של פונקציה $f(x)$ שלא מוגדרת רק עבור $x=0$ ו- $x=2$ . האסימפטוטות של הפונקציה הן $x=0$ ו- $y=\frac13$ .
נקודה ריקה, אסימפטוטות והזזה של גרף (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{(x-2)^3}{x^3-2x^2}$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שתי פונקציות רציונליות אי-זוגיות: חזקה זוגית ואי-זוגית במכנה, זיהוי גרף ושטח · בגרות 571 קיץ 2021 מועד א', שאלה 6
נתונות הפונקציות: $g(x)=\frac{x}{(x^2-2)^3}$ , $f(x)=\frac{x}{(x^2-2)^2}$ .
שאלות קצרות: אינטגרל של פונקציה אי-זוגית, טבלת הסתברויות עם פרמטר, אסימפטוטות ומלבן, זוויות בכוכב · בגרות 571 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 1
$\int_0^2 f(x)dx=0.5\int_{-2}^{2}f(x)dx$
פונקציה רציונלית עם פרמטר: קיצון, סקיצה, $k \cdot f (x)$ ושטח · בגרות 571 חורף 2022, שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2}{(x^3-m)^2}$ , $m$ הוא פרמטר חיובי.
שאלות קצרות: אינדוקציה, קטע אמצעים בטרפז, גרפים של $f$ , $f^{'}$ , $f^{''}$ ו- $\frac{1}{f}$ · בגרות 571 קיץ 2023 מועד א', שאלה 1
הוכיחו כי: אם בעבור $k$ טבעי כלשהו מתקיים: $T_k=(2k-3)\cdot2^{k+1}$ , אז מתקיים: $T_{k+1}=(2k-1)\cdot2^{k+2}$ .
פונקציה רציונלית אי-זוגית עם פרמטר, הגרף של $∣ f (x) ∣ - b$ ופונקציית הצטברות · בגרות 571 קיץ 2023 מועד א', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{2a-x^2}{x}$ , המוגדרת עבור $x\neq0$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
שלוש פונקציות רציונליות: אסימפטוטה מול נקודת אי-רציפות סליקה, סקיצה ומלבן בעל היקף מינימלי · בגרות 571 חורף 2023, שאלה 8
לפניכם שלוש פונקציות, שלכל אחת מהן יש שני ערכי $x$ שבהם היא אינה מוגדרת.…
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, פונקציה קדומה ומכפלה · בגרות 571 קיץ 2024 מועד א', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{6x}{(x^2-a)^2}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי. ענו על סעיפים א-ה. הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ אם יש צורך.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מיקום הקיצון ביחס לאסימפטוטה, התאמת גרפים ושטח עם גבול פרמטרי · בגרות 571 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x-1}{(x-a)^3}$ , המוגדרת בתחום: $x\neq a$ , $a$ הוא פרמטר שונה מ-0.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: משיק ושטח מינימלי של משולש · בגרות 571 קיץ 2025 מועד א', שאלה 8
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\frac{a}{(x-1)^2}+6$ . הפונקציה $f(x)$ מוגדרת בתחום $x\ne1$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, פונקציה שנגזרתה $f (x) + 1$ וזיהוי גרף · בגרות 571 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 6
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2ax}{(x^2-16)^2}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי.
שאלות קצרות: אינדוקציה, חסם לחיתוך והסתברות מותנית, גרף של $\frac{1}{f ^{2}}$ , פונקציה קדומה וזיהוי גרף · בגרות 571 קיץ 2026 מועד א', שאלה 1
הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים:…
פונקציה רציונלית עם פרמטר: קיצון, נקודה משותפת אחת עם ציר ה- $x$ ושטח של $g \cdot g^{'}$ · בגרות 571 קיץ 2026 מועד א', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{ax}{(x-3)^2}$ , המוגדרת בתחום $x\neq3$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
שאלות קצרות: נוסחת סכום באינדוקציה, התאמת פונקציית שורש לגרף ושטח של $f^{2}$ , גרף של $\frac{1}{f - 2}$ , משולש ישר זווית שצלעותיו בסדרה הנדסית · בגרות 571 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 1
מצאו את הערך של $b$ .
חקירת $\frac{6 ( x - 1 ) ^{2}}{x ^{2} + a}$ עם פרמטר, והשטח מתחת ל- $\frac{- f ^{'}}{f ^{2}}$ · בגרות 571 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{6(x-1)^2}{x^2+a}$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
שאלות קצרות: אינדוקציה, זהות טריגונומטרית, הסתברות גאומטרית ואסימפטוטות · מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 1
שאלה זו בנויה מארבעה סעיפים א-ד שאינם תלויים זה בזה. בבחינה עונים על שלושה מהם.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, סקיצה ונפח גוף סיבוב · מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 7
נתונה הפונקציה $h(x)=ax^3-1$ .
פונקציה רציונלית: פרמטרים מתוך גרף עם נקודה ריקה, משיק והזזה · מבחן לדוגמה 5 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 7
בסרטוט מתואר גרף של פונקציה $f(x)$ שלא מוגדרת רק עבור $x=3$ ו- $x=0$ . האסימפטוטות של הפונקציה הן $x=0$ ו- $y=1$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (45)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

חקירת פונקציה רציונלית ושיקוף שלה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2}{(x+3)^2}$ .
חקירת פונקציה רציונלית ושיקוף שלה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2+3}{(x-1)^2}$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מספר פתרונות (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{(x-a)^2}{(x+2)^2}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי.
חקירת פונקציה רציונלית וזיהוי גרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{2x^2}{x^2-9}+4$ .
חקירת פונקציה רציונלית וזיהוי גרף הנגזרת: אסימפטוטות ב-±2 (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{3x^2}{x^2-4}+1$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: קיצון, משיק אופקי ופונקציה קדומה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x+8}{10x-x^2}-b$ . $b$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: קיצון, משיק ונגזרת (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{6x+54}{16x-x^2}-b$ . $b$ הוא פרמטר.
בעיית קיצון: מלבן בין היפרבולה לאסימפטוטות (שאלה מלאה · בינונית)
לפניכם סרטוט של גרף הפונקציה $f(x)=\frac{9}{1-x}+2$ , המוגדרת לכל $x\neq1$ .
בעיית קיצון: מלבן בין היפרבולה לאסימפטוטות (שאלה מלאה · קלה)
לפניכם סרטוט של גרף הפונקציה $f(x)=\frac{16}{x+1}-3$ , המוגדרת לכל $x\neq-1$ .
חקירת פונקציה רציונלית: קיצון, סקיצה, ישר אופקי והזזה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{12x}{(x+4)^2}$ .
חקירת פונקציה רציונלית: קיצון, סקיצה, ישר אופקי והזזה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{18x}{(x-3)^2}$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר, וקיצון של g כש-g'=f-11 (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2+x+a}{x}$ , $a\neq0$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית עם פרמטר, וקיצון של g כש-g'=f-0.5 (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2+4x+a}{x^2}$ , $a\neq0$ הוא פרמטר.
משולש עם קודקוד על גרף רציונלי: שטח מינימלי (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה: $f(x)=\frac{x+2}{x-4}$ . הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקציה $f(x)$ ברביע…
משולש עם קודקוד על גרף רציונלי: שטח מינימלי (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה: $f(x)=\frac{(x+1)^2}{x-3}$ . הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקציה $f(x)$ ברביע…
חקירת פונקציה רציונלית המוגדרת לכל x, והגרף של |f(x)| (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{72-18x}{x^2+9}-1$ , המוגדרת לכל $x$ .
חקירת פונקציה רציונלית המוגדרת לכל x, והגרף של |f(x)| (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{30x}{x^2+9}-3$ , המוגדרת לכל $x$ .
פונקציה רציונלית זוגית עם פרמטר: חקירה והזזה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{4x^2}{x^2-9}+a$ . $a$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית זוגית עם פרמטר: חקירה והזזה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{3x^2}{x^2-4}+a$ . $a$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית: מלבן מתחת לגרף והיקף מינימלי (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\frac{4x-8}{x-6}$ .
פונקציה רציונלית: מלבן מתחת לגרף והיקף מינימלי (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\frac{3x-3}{x-4}$ .
פולינום עם פרמטר: משיק, שטח ופונקציה הפוכה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=2x^3-2x^2+x+b$ , $b$ הוא פרמטר.
פולינום עם פרמטר: משיק, שטח ופונקציה הפוכה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^3-3x^2+4x+b$ , $b$ הוא פרמטר.
פולינום: שיפועי משיקים, פרמטר משיק, שטח ו-1/f' (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^3-3x^2+5x+b$ , $b$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית: שטח מתחת לגרף הנגזרת עם גבול משתנה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{x^2}+1$ , $a$ הוא פרמטר. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה $x=1$ הוא $-6$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מספר פתרונות ושטח הפוך (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2}{-x^2+ax-8}$ , $a$ הוא פרמטר. ידוע שהישר $x=1$ הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.
פונקציה עם אסימפטוטה נתונה, משיק ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{2}{x^2}+b$ בתחום: $x>0$ , $b$ הוא פרמטר. הישר $y=4$ הוא אסימפטוטה של הפונקציה.
פונקציה עם אסימפטוטה נתונה, משיק ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{8}{x^2}+b$ בתחום: $x>0$ , $b$ הוא פרמטר. הישר $y=2$ הוא אסימפטוטה של הפונקציה.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, סקיצה ושיקוף (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{2x}{x^2-a}$ . $a$ הוא פרמטר. נתון כי גרף הפונקציה $f(x)$ עובר דרך הנקודה $(3,1.2)$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, סקיצה ושיקוף (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x+1}{x^2-a}$ . $a$ הוא פרמטר. נתון כי גרף הפונקציה $f(x)$ עובר דרך הנקודה…
פונקציה רציונלית מתוך גרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ מוגדרת בתחום $x\neq\pm4$ . בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ , המוגדרת באותו…
פונקציה רציונלית מתוך גרף הנגזרת (שאלה מלאה · קלה)
הפונקציה $f(x)$ מוגדרת בתחום $x\neq\pm3$ . בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ , המוגדרת באותו…
חקירה בשילוב טרנספורמציות (שאלה קצרה · קלה)
לפונקציה $f(x)=\frac{8x}{(x-2)^2}$ יש נקודת קיצון אחת: מינימום בנקודה $(-2,-1)$ . נתונה הפונקציה $g(x)=f(x)+3$ .
מלבן בין היפרבולה לאסימפטוטות: פרמטר ושטח קבוע (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{1-x}+2$ , המוגדרת לכל $x\neq1$ , כאשר $a$ פרמטר חיובי. מנקודה $A$ , הנמצאת על גרף…
פונקציה רציונלית עם פרמטר: גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{x^2}+2$ , $a$ הוא פרמטר. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה $x=2$ הוא $-2$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{x^2}-1$ , $a$ הוא פרמטר. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה $x=-2$ הוא $1$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{(x-5)^2}$ , המוגדרת בתחום $x\ne5$ . $a$ הוא פרמטר חיובי. נתון כי בנקודה שבה $x=7$ ,…
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{(x-4)^2}$ , המוגדרת בתחום $x\ne4$ . $a$ הוא פרמטר חיובי. נתון כי בנקודה שבה $x=6$ ,…
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מתי |f| נוגעת בציר (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{24-16x}{x^2+4}+c$ , המוגדרת לכל $x$ . $c$ הוא פרמטר. נתונה גם הפונקציה…
משוואת משיק לגרף פונקציה רציונלית (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=3-\frac{1}{x^2}$ בתחום $x>0$ . לגרף הפונקציה העבירו משיק ששיפועו $\frac14$ .
תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{5x^2}{x^2-25}+1$ .
הפונקציה $\frac{1}{f ( x )}$ ופרבולה: שטח בין הגרפים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונות הפונקציות: $f(x)=(x-3)^2$ , $g(x)=\frac{1}{f(x)}$ .
הפונקציה $\frac{1}{f ( x )}$ ופרבולה: שטח בין הגרפים (שאלה מלאה · קלה)
נתונות הפונקציות: $f(x)=(x+1)^2$ , $g(x)=\frac{16}{f(x)}$ .
הפונקציה $\frac{1}{f ( x )}$ עם פרמטר: משיקים ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונות הפונקציות: $f(x)=(x-a)^2$ , $g(x)=\frac{1}{f(x)}$ , $a>1$ הוא פרמטר.
ערך מוחלט של פונקציה רציונלית (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{10x}{x^2+4}-2$ , המוגדרת לכל $x$ . לפונקציה נקודת מינימום $(-2,-4.5)$ ונקודת מקסימום…