מבחן לדוגמה: נגזרת מנה - כיתה י"א 5 יח"ל

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)$ ואת משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

הראו כי $f'(x)=\frac{-12(x^2+3)}{(x^2-9)^3}$, ומצאו את תחומי העלייה והירידה של $f(x)$.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

$g(x)$ היא פונקציה המקיימת $g'(x)=f(x)$, וגרפה עובר בנקודה $(0,0)$. מצאו את $g(x)$. (הדרכה: $4x=2\cdot2x$, ו-$2x$ היא הנגזרת של $x^2-9$.)

היעזרו בסעיף ב, ומצאו את תחומי הקעירות כלפי מעלה וכלפי מטה של $g(x)$.

ענו על התת-סעיפים (1)-(2). הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$, אם יש צורך.

הראו כי $f'(x)=\frac{3a-2-2x}{(x-2)^4}$, ומצאו עבור אילו ערכים של $a$ יש לפונקציה נקודת קיצון שנמצאת משמאל לאסימפטוטה האנכית. קבעו את סוגה.

הגרפים 1-3 שלפניכם מתארים את הפונקציה $f(x)$ בעבור ערכים שונים של $a$.

התאימו לכל אחד מן הערכים I-III של $a$ את הגרף המתאים לו, ונמקו. I. $a=0$ II. $a=2$ III. $a=4$

נתונה הפונקציה $g(x)=f(x)-\frac14$ בעבור $a=2$.

הראו כי $f'(x)=-\frac{3x^2+4}{(x^2-4)^3}$.

מצאו את משוואת הישר.

הישר חותך את גרף הפונקציה בנקודה נוספת $B$. מצאו את שיעורי הנקודה $B$.

הראו כי $f'(x)=1-\frac{1}{(x-2)^2}$.

הוכיחו כי אין לגרף הפונקציה משיק ששיפועו $1$ או יותר.

מצאו את שיעורי הנקודות על גרף הפונקציה שבהן שיפוע המשיק הוא $-3$.

הוכיחו כי לכל $n$ הפונקציה $f_n(x)$ אי-זוגית, ומצאו את משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של $f_n(x)$. הבחינו בין ערכים שונים של $n$ לפי הצורך.

בסעיף ג, $n=2$.

השטח הכלוא בין גרף הפונקציה $f_2(x)$, ציר ה-$x$ והישרים $x=-c$, $x=c$ ($0<c<1$) שווה ל-3. מצאו את $c$. (הדרכה: הנגזרת של $x^2-1$ היא $2x$.)

נתונה פונקציה $H(x)$ המקיימת $H'(x)=f_n(x)$, ומוגדרת באותו תחום כמו $f_n(x)$. קבעו, לכל $n$ טבעי, אם יש ל-$H(x)$ נקודת קיצון שבה $x=0$, ואם כן - מה סוגה. האם יש ל-$H(x)$ נקודות קיצון נוספות?