שאלות פתוחות: נגזרת מנה - כיתה י"א 5 יח"ל

תרגול נגזרת של מנה בפונקציות רציונליות לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות גוזרים פונקציות רציונליות, מוצאים פרמטרים כשהנגזרת או שיפוע המשיק בנקודה נתונים, מעבירים משיק ונורמל דרך נקודה על גרף כמו (x+1)/(x-1), ובוחנים משפחה של פונקציות x/(x²-1)^n לכל n טבעי. רוב השאלות קלות ובינוניות, ויש גם קשות. זה תרגול טוב לפני חקירה מלאה; אפשר להרכיב ממנו בוחן או דף עבודה, לקבל לכל שאלה פתרון מלא ולהוריד את הדף ל-Word.

68 שאלותקלה: 28בינונית: 34קשה: 6

שאלה 1 · נגזרת מנהשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=bx+cx+3f(x)=\frac{bx+c}{x+3}f(x)=x+3bx+c​, כאשר bbb ו-ccc פרמטרים. נגזרת הפונקציה היא f′(x)=3(x+3)2f'(x)=\frac{3}{(x+3)^2}f′(x)=(x+3)23​, וגרף הפונקציה עובר בנקודה (0,1)(0,1)(0,1).

א.

מצאו את bbb ואת ccc.

ב.

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה (0,1)(0,1)(0,1).

שאלה 2 · נגזרת מנהשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x+1x−1f(x)=\frac{x+1}{x-1}f(x)=x−1x+1​. AAA היא הנקודה על גרף הפונקציה שבה x=2x=2x=2. דרך הנקודה AAA מעבירים ישר המאונך למשיק לגרף הפונקציה בנקודה AAA.

א.

מצאו את משוואת הישר.

ב.

הישר חותך את גרף הפונקציה בנקודה נוספת BBB. מצאו את שיעורי הנקודה BBB.

שאלה 3 · משפחת הפונקציות $\frac{x}{( x ^{2} - 1 ) ^{n}}$ : זוגיות של $n$ , שטח הפוך וקיצון של קדומהשאלה מלאה · קשה

לכל מספר טבעי nnn מגדירים את הפונקציה: fn(x)=x(x2−1)nf_n(x)=\frac{x}{(x^2-1)^n}fn​(x)=(x2−1)nx​.

א.

הוכיחו כי לכל nnn הפונקציה fn(x)f_n(x)fn​(x) אי-זוגית, ומצאו את משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

ב.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של fn(x)f_n(x)fn​(x). הבחינו בין ערכים שונים של nnn לפי הצורך.

ג.

בסעיף ג, n=2n=2n=2.

השטח הכלוא בין גרף הפונקציה f2(x)f_2(x)f2​(x), ציר ה-xxx והישרים x=−cx=-cx=−c, x=cx=cx=c (0<c<10<c<10<c<1) שווה ל-3. מצאו את ccc. (הדרכה: הנגזרת של x2−1x^2-1x2−1 היא 2x2x2x.)

ד.

נתונה פונקציה H(x)H(x)H(x) המקיימת H′(x)=fn(x)H'(x)=f_n(x)H′(x)=fn​(x), ומוגדרת באותו תחום כמו fn(x)f_n(x)fn​(x). קבעו, לכל nnn טבעי, אם יש ל-H(x)H(x)H(x) נקודת קיצון שבה x=0x=0x=0, ואם כן - מה סוגה. האם יש ל-H(x)H(x)H(x) נקודות קיצון נוספות?

שאלה 4 · נגזרת מנהשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=x2+ax−1f(x)=\frac{x^2+a}{x-1}f(x)=x−1x2+a​, כאשר aaa פרמטר. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=3x=3x=3 שווה ל-222.

א.

מצאו את aaa.

ב.

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=3x=3x=3.

שאלה 5 · נגזרת מנהשאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=2x+1x−1f(x)=\frac{2x+1}{x-1}f(x)=x−12x+1​.

א.

מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים, ואת משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=3x=3x=3.

ב.

האסימפטוטות של הפונקציה והמשיק מסעיף א' יוצרים משולש. חשבו את שטח המשולש.

שאלה 6 · משפחת פונקציות רציונליות: סוג הקיצון לפי הפרמטר, שטח הפוך ומספר פתרונותשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=x2+2x−a(x−1)2f(x)=\frac{x^2+2x-a}{(x-1)^2}f(x)=(x−1)2x2+2x−a​, כאשר aaa הוא פרמטר.

א.

מצאו את ערכי aaa שבעבורם לפונקציה f(x)f(x)f(x) יש נקודת קיצון. בעבור ערכים אלה הביעו באמצעות aaa את שיעורי נקודת הקיצון, וקבעו את סוגה לפי ערכי aaa.

ב.

מצאו את ערכי aaa שבעבורם נקודת הקיצון נמצאת מתחת לציר ה-xxx.

ג.

נתונה הפונקציה g(x)=(x+1)2(x−1)2g(x)=\frac{(x+1)^2}{(x-1)^2}g(x)=(x−1)2(x+1)2​.

מצאו את כל ערכי aaa שבעבורם השטח המוגבל על ידי הגרפים של f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x), על ידי ציר ה-yyy ועל ידי הישר x=−2x=-2x=−2 שווה ל-2.

ד.

הציבו a=2a=2a=2.

מצאו את כל ערכי mmm שבעבורם למשוואה f(x)=mf(x)=mf(x)=m יש בדיוק שני פתרונות.

שאלה 7 · פונקציה רציונלית אי-זוגית: חקירה מודרכת, התנהגות ליד אסימפטוטה ושטחשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=2x(x2−4)2f(x)=\frac{2x}{(x^2-4)^2}f(x)=(x2−4)22x​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x) ואת משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

ב.

הוכיחו כי f(x)f(x)f(x) היא פונקציה אי-זוגית.

ג.

הראו כי f′(x)=−2(3x2+4)(x2−4)3f'(x)=\frac{-2(3x^2+4)}{(x^2-4)^3}f′(x)=(x2−4)3−2(3x2+4)​, ומצאו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x)f(x).

ד.

קבעו לאן שואפת f(x)f(x)f(x) כאשר x→2−x\to2^-x→2−, כאשר x→2+x\to2^+x→2+, כאשר x→−2−x\to-2^-x→−2− וכאשר x→−2+x\to-2^+x→−2+, וסרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.

ה.

חשבו את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x), ציר ה-xxx והישרים x=−1x=-1x=−1, x=1x=1x=1. (הדרכה: הנגזרת של x2−4x^2-4x2−4 היא 2x2x2x.)

שאלה 8 · שתי פונקציות רציונליות אי-זוגיות עם $x^{4}$ : חזקה זוגית ואי-זוגית במכנה, זיהוי גרף ושטחשאלה מלאה · בינונית

נתונות הפונקציות: g(x)=4x3(x4−1)3g(x)=\frac{4x^3}{(x^4-1)^3}g(x)=(x4−1)34x3​, f(x)=4x3(x4−1)2f(x)=\frac{4x^3}{(x^4-1)^2}f(x)=(x4−1)24x3​.

א.

ענו על תת-סעיפים (1)-(4) בעבור כל אחת משתי הפונקציות f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x).

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

(2)

מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים.

(3)

הראו כי אין לפונקציה נקודות קיצון.

(4)

הוכיחו כי הפונקציה היא אי-זוגית.

ב.

הגרף שלפניכם מתאר את אחת הפונקציות f(x)f(x)f(x), g(x)g(x)g(x).

(1)

קבעו איזו מן הפונקציות הגרף מתאר. נמקו את קביעתכם.

(2)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה האחרת.

ג.

נתונה פונקציה h(x)h(x)h(x) המקיימת: h′(x)=g(x)h'(x)=g(x)h′(x)=g(x). g(x)g(x)g(x) ו-h(x)h(x)h(x) מוגדרות באותו תחום.

מה הם תחומי העלייה והירידה של h(x)h(x)h(x)?

ד.

(1)

חשבו את ∫−1212f(x) dx\int_{-\frac{1}{\sqrt2}}^{\frac{1}{\sqrt2}}f(x)\,dx∫−2​1​2​1​​f(x)dx. נמקו את תשובתכם.

(2)

חשבו את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x), ציר ה-xxx והישרים: x=−12x=-\frac{1}{\sqrt2}x=−2​1​, x=12x=\frac{1}{\sqrt2}x=2​1​. (הדרכה: הנגזרת של x4−1x^4-1x4−1 היא 4x34x^34x3.)

ה.

נתונה הפונקציה: k(x)=f(x−b)k(x)=f(x-b)k(x)=f(x−b), b≠0b\neq0b=0 הוא פרמטר.

האם הפונקציה k(x)k(x)k(x) זוגית, אי-זוגית או לא זוגית ולא אי-זוגית? נמקו את תשובתכם.

שאלה 9 · פונקציה רציונלית עם פרמטר: הקדומה, מספר פתרונות ושטח כבעיה הפוכהשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=8x(x2−a)3f(x)=\frac{8x}{(x^2-a)^3}f(x)=(x2−a)38x​, aaa הוא פרמטר חיובי.
g(x)g(x)g(x) היא פונקציה המקיימת g′(x)=f(x)g'(x)=f(x)g′(x)=f(x), שגרפה עובר בנקודה (0,0)(0,0)(0,0), המוגדרת באותו התחום כמו f(x)f(x)f(x) ונתונה על ידי ביטוי אלגברי אחד (עם קבוע אחד) בכל תחום ההגדרה שלה.

א.

מצאו את תחום ההגדרה, את האסימפטוטות המאונכות לצירים ואת תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x)f(x).

ב.

מצאו את g(x)g(x)g(x), את משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים ואת תחומי הקעירות שלה.

ג.

מצאו את מספר הפתרונות של המשוואה g(x)=mg(x)=mg(x)=m לכל ערך של mmm.

ד.

השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x), על ידי ציר ה-xxx ועל ידי הישרים x=0x=0x=0 ו-x=a2x=\sqrt{\frac a2}x=2a​​ הוא 32\frac3223​. מצאו את aaa.

שאלה 10 · פונקציה רציונלית: נגזרת נתונה, מונוטוניות לפי סימן המכנה, סקיצה ושטחשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=x(x2−4)2f(x)=\frac{x}{(x^2-4)^2}f(x)=(x2−4)2x​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x) ואת משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

ב.

הראו כי f′(x)=−3x2+4(x2−4)3f'(x)=-\frac{3x^2+4}{(x^2-4)^3}f′(x)=−(x2−4)33x2+4​.

ג.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x)f(x). האם יש לפונקציה נקודות קיצון?

ד.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ה.

נתונה הפונקציה g(x)=k⋅f(x)g(x)=k\cdot f(x)g(x)=k⋅f(x), kkk פרמטר שלילי.

השטח המוגבל על ידי גרף g(x)g(x)g(x), על ידי ציר ה-xxx ועל ידי הישר x=1x=1x=1 הוא 1. מצאו את kkk.

עוד 22 שאלות על נגזרת מנה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

חקירת $x^{3} + \frac{1}{x ^{3}}$ , זיהוי גרפים של $f$ , $f^{'}$ ו- $f \cdot f^{'}$ , ואינטגרל של $f \cdot f^{'}$ (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^3+\frac{1}{x^3}$ .
משפחת משיקים לגרף $\frac{2}{x ^{2}} + b$ : משולש מינימלי ומקום הנקודות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2}{x^2}+b$ , כאשר $b$ הוא פרמטר חיובי. בנקודה שעל גרף $f(x)$ ששיעור ה- $x$ שלה הוא $t$ ( $t>0$ ) מעבירים משיק לגרף.…
חקירת פונקציה רציונלית עם מכנה בריבוע ושטח בין שני גרפים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2-9}{(x+1)^2}$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: קיצון, סקיצה, $k \cdot f (x)$ ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^4}{(2x^5-m)^2}$ , $m$ הוא פרמטר חיובי.
נגזרת של מנה של שתי פונקציות כלליות (שאלה קצרה · קשה)
הפונקציות $f(x)$ ו- $g(x)$ גזירות לכל $x$ , ו- $f(x)\ne0$ , $g(x)\ne0$ לכל $x$ . נתון: $f(2)=3$ , $f'(2)=-1$ , $g(2)=6$ . מגדירים…
פונקציה רציונלית: חקירה, סקיצה וקעירות של הפונקציה הקדומה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{4x}{(x^2-9)^2}$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר במכנה: חקירה, גרף מעל גרף ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2-4}{(x-a)^2}$ , $0<a<2$ הוא פרמטר.
נגזרת של מנה ושיפועי המשיקים לגרף (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2-3}{x-2}$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר במונה: קיצון, התאמת גרפים ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x-a}{(x-2)^3}$ , המוגדרת בתחום: $x\neq2$ , $a$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, פונקציה קדומה ומכפלה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{3x^2}{(x^3-a)^2}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי. ענו על סעיפים א-ה. הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ אם יש צורך.
בעיית קיצון: יחס שטחים של שתי גינות צמודות (מספרים) (שאלה מלאה · קלה)
נתונות שתי גינות מלבניות הצמודות זו לזו, גינה A וגינה B. הרוחב של גינה A הוא $t$ מטרים. הרוחב של גינה B הוא 1 מטר ושטחה הוא $t+3$ מ"ר. האורך…
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מיקום הקיצון ביחס לאסימפטוטה, התאמת גרפים ושטח עם גבול פרמטרי (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x+2}{(x-a)^4}$ , המוגדרת בתחום: $x\neq a$ , $a$ הוא פרמטר שונה מ-0.
פונקציה רציונלית פשוטה עם פרמטר: חקירה ופונקציה שנגזרתה $f (x) - 1$ (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{(x-2)^2}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: משיק ושטח מינימלי של משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\frac{a}{x+1}+4$ . הפונקציה $f(x)$ מוגדרת בתחום $x\ne-1$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
חקירת $\frac{4 ( x + 1 ) ^{2}}{x ^{2} + 1}$ והשטח בין $\frac{- f ^{'}}{f ^{2}}$ לציר ה- $x$ (מודרך) (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{4(x+1)^2}{x^2+1}$ .
פונקציה רציונלית עם חזקה שלישית במכנה: משיק ושטח מינימלי של משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\frac{a}{(x-2)^3}+2$ . הפונקציה $f(x)$ מוגדרת בתחום $x\ne2$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
נגזרת של מנה וזוגיות של הנגזרת (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{8x}{x^2+4}$ .
פונקציה רציונלית עם $x^{4}$ ופרמטר: חקירה, פונקציה שנגזרתה $f (x) + 1$ וזיהוי גרף (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{4ax^3}{(x^4-9)^2}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציה רציונלית עם פרמטר ומכנה $x^{4}$ : קיצון, נקודה משותפת אחת עם ציר ה- $x$ ושטח של $g \cdot g^{'}$ (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{a(4x+3)}{x^4}$ , המוגדרת בתחום $x\neq0$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
חקירת $\frac{12 x}{x ^{2} + a}$ עם פרמטר, והשטח בין $\frac{- f ^{'}}{f ^{2}}$ לציר ה- $x$ (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{12x}{x^2+a}$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציה רציונלית עם פרמטר ומכנה בריבוע: חקירה, סקיצה ונפח גוף סיבוב (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $h(x)=ax^3+1$ .
נגזרת של מנה שהמכנה שלה בריבוע (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x}{(x^2-4)^2}$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שתי פונקציות רציונליות אי-זוגיות: חזקה זוגית ואי-זוגית במכנה, זיהוי גרף ושטח · בגרות 571 קיץ 2021 מועד א', שאלה 6
נתונות הפונקציות: $g(x)=\frac{x}{(x^2-2)^3}$ , $f(x)=\frac{x}{(x^2-2)^2}$ .
חקירת $3 x + \frac{3}{x}$ , זיהוי גרפים של $f$ , $f^{'}$ ו- $f \cdot f^{'}$ , ואינטגרל של $f \cdot f^{'}$ · בגרות 571 קיץ 2022 מועד א', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=3x+\frac3x$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: קיצון, סקיצה, $k \cdot f (x)$ ושטח · בגרות 571 חורף 2022, שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2}{(x^3-m)^2}$ , $m$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, גרף שנמצא מעל גרף אחר ושטח ביניהם · בגרות 571 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2-a^2}{(x-3)^2}$ , $0<a<3$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, פונקציה קדומה ומכפלה · בגרות 571 קיץ 2024 מועד א', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{6x}{(x^2-a)^2}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי. ענו על סעיפים א-ה. הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ אם יש צורך.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מיקום הקיצון ביחס לאסימפטוטה, התאמת גרפים ושטח עם גבול פרמטרי · בגרות 571 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x-1}{(x-a)^3}$ , המוגדרת בתחום: $x\neq a$ , $a$ הוא פרמטר שונה מ-0.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: משיק ושטח מינימלי של משולש · בגרות 571 קיץ 2025 מועד א', שאלה 8
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\frac{a}{(x-1)^2}+6$ . הפונקציה $f(x)$ מוגדרת בתחום $x\ne1$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, פונקציה שנגזרתה $f (x) + 1$ וזיהוי גרף · בגרות 571 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 6
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2ax}{(x^2-16)^2}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: קיצון, נקודה משותפת אחת עם ציר ה- $x$ ושטח של $g \cdot g^{'}$ · בגרות 571 קיץ 2026 מועד א', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{ax}{(x-3)^2}$ , המוגדרת בתחום $x\neq3$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
חקירת $\frac{6 ( x - 1 ) ^{2}}{x ^{2} + a}$ עם פרמטר, והשטח מתחת ל- $\frac{- f ^{'}}{f ^{2}}$ · בגרות 571 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{6(x-1)^2}{x^2+a}$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, סקיצה ונפח גוף סיבוב · מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 7
נתונה הפונקציה $h(x)=ax^3-1$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (25)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

שתי פונקציות רציונליות: זיהוי גרפים וקטע מקסימלי (שאלה מלאה · בינונית)
לפניך הגרפים של שתי הפונקציות: $f(x)=\frac{3}{x^2+1}$ , $g(x)=\frac{4x}{x^2+1}$ המוגדרות לכל $x$ .
שתי פונקציות רציונליות: זיהוי גרפים וקטע מקסימלי (שאלה מלאה · קלה)
לפניך הגרפים של שתי הפונקציות: $f(x)=\frac{15}{x^2+5}$ , $g(x)=\frac{5x+5}{x^2+5}$ המוגדרות לכל $x$ .
שתי פונקציות רציונליות עם פרמטר: קטע מקסימלי (שאלה מלאה · קלה)
נתונות הפונקציות: $f(x)=\frac{8}{x^2+4}$ , $g(x)=\frac{mx}{x^2+4}$ , כאשר $m>0$ הוא פרמטר. הגרפים נחתכים בנקודה…
פונקציה רציונלית: חקירה, זיהוי גרף הנגזרת ושטח מתחת לגרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{1}{(4x-1)^2}-4$ .
פונקציה רציונלית יורדת-עולה: זיהוי גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=2-\frac{8}{(2x+3)^2}$ .
משולש עם קודקוד על גרף רציונלי: שטח מינימלי (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה: $f(x)=\frac{x+2}{x-4}$ . הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקציה $f(x)$ ברביע…
משולש עם קודקוד על גרף רציונלי: שטח מינימלי (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה: $f(x)=\frac{(x+1)^2}{x-3}$ . הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקציה $f(x)$ ברביע…
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, סקיצה ושיקוף (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{2x}{x^2-a}$ . $a$ הוא פרמטר. נתון כי גרף הפונקציה $f(x)$ עובר דרך הנקודה $(3,1.2)$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, סקיצה ושיקוף (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x+1}{x^2-a}$ . $a$ הוא פרמטר. נתון כי גרף הפונקציה $f(x)$ עובר דרך הנקודה…
היפרבולה, משיק ובעיית קיצון של קטע אנכי (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\frac{a}{x-4}$ המוגדרת בתחום $x\neq4$ . $a$ הוא פרמטר שונה מ-0. הנקודה…
היפרבולה, משיק ובעיית קיצון של קטע אנכי (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\frac{a}{x-3}$ המוגדרת בתחום $x\neq3$ . $a$ הוא פרמטר שונה מ-0. הנקודה…
הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2+3}{x-1}$ . לפניכם ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:
הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=3-\frac{6x}{x^2+9}$ .
הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{3x^2}{x^2-1}$ .
הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2}{x^2+4}$ , המוגדרת לכל $x$ . בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף II:…
בעיית קיצון עם פרמטר: מתי היחס בין השטחים מקסימלי (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מתוארת גינה המחולקת לשני מתחמים, $ABCD$ ו- $BFGH$ , שכל אחד מהם בצורת מלבן. נסמן ב- $x$ את אורך…
טרפז ישר זווית עם שיפוע כפרמטר (שאלה מלאה · קלה)
המרובע $ABCO$ הוא טרפז ישר זווית ( $\angle C=90^\circ$ , $AB\parallel OC$ ). משוואת הצלע $AB$ היא $y=-mx+6$ …
בעיית קיצון עם פרמטר: מינימום שאינו תלוי ביחס (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\frac{x-9}{x-12}$ בתחום $x>12$ . $O$ ראשית הצירים. הנקודה $A$ על הגרף, ושיעור…
בעיית קיצון: משולש שקודקודו על גרף פונקציה רציונלית (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\frac{x-6}{x-8}$ בתחום $x>8$ . הנקודה $O$ היא ראשית הצירים. הנקודה $A$ …
בעיית קיצון: משולש שקודקודו על גרף פונקציה רציונלית (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\frac{x-5}{x-9}$ בתחום $x>9$ . הנקודה $O$ היא ראשית הצירים. הנקודה $A$ …
בעיית קיצון: יחס בין שטחים של שני מתחמים בגינה (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתוארת גינה ציבורית המחולקת לשני מתחמים. מתחם $ABCD$ ובו דשא, ומתחם $BFGH$ ובו מתקנים לילדים.…
בעיית קיצון: יחס בין שטחים של שני מתחמים (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מתואר מגרש המחולק לשני מתחמים: מתחם $ABCD$ ובו חניה, ומתחם $BFGH$ ובו מחסן. כל אחד מן המתחמים…
בעיות קיצון בפונקציות וגרפים - פונקציה רציונלית (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x}{x-4}$ בתחום $x>4$ . הנקודה $A$ על גרף הפונקציה, ושיעור ה- $x$ שלה הוא $t$ . האנך…
בעיות קיצון גאומטריות במישור - פונקציה רציונלית (שאלה קצרה · קלה)
חלקה מלבנית $ABCD$ מוקפת בגדר שאורכה 24 מטרים. נסמן $AB=x$ . בהמשך הצלע $AB$ , צמוד לצלע $BC$ , נבנה מחסן מלבני…
תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{8x-6}{x^2+1}$ , המוגדרת לכל $x$ .