מבחן לדוגמה: תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון - כיתה י"א 5 יח"ל

מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של הפונקציה בתחום זה.

בנקודה $C(t,0)$, $t>0$, מעבירים אנך לציר ה-$x$. האנך חותך את גרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה A ואת הגרף של הפונקציה $g(x)$ בנקודה B.

הביעו באמצעות $t$ את מכפלת אורכי הקטעים AC ו-BC.

מצאו את $t$ שבעבורו מכפלת אורכי הקטעים AC ו-BC מקסימלית ואת הערך המקסימלי, והראו שבערך זה B היא נקודת פיתול של $g(x)$.

נתונה הפונקציה: $k(x)=\frac{24\sqrt{x+2}}{(x+2)^2+12}$, המוגדרת בתחום: $x\ge-2$.

הסבירו מדוע $k(x)$ מתקבלת מהביטוי שמצאתם בסעיף ב על ידי ההצבה $t=x+2$, ומצאו את שיעורי נקודת הקיצון הפנימית של $k(x)$ וקבעו את סוגה.

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של $f(x)$ וקבעו את סוגה.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של $f(x)$.

נתונות שתי פונקציות: $f'(x)$ ו-$g(x)$. $f'(x)$ היא פונקציית הנגזרת של $f(x)$, ו-$g(x)$ מקיימת: $g(x)=f(x)\cdot f'(x)$. הפונקציות $f'(x)$ ו-$g(x)$ מוגדרות באותו התחום כמו הפונקציה $f(x)$.

כל אחד מן הגרפים I-III שלפניכם מתאר את אחת הפונקציות: $f(x)$, $f'(x)$ ו-$g(x)$.

לכל אחת מן הפונקציות כתבו איזה גרף מתאר אותה. נמקו את התשובה.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של הפונקציה $g(x)$ עם ציר ה-$x$.

חשבו את השטח המוגבל על ידי הפונקציה $g(x)$, על ידי ציר ה-$x$ ועל ידי הישרים: $x=\frac12$ ו-$x=2$.

נתון: $a>1$ הוא פרמטר. חשבו את: $\int_{\frac1a}^{a}g(x)dx$.

נתונה הפונקציה: $h(x)=\int_1^x f'(t)dt$. נתון כי הפונקציה $h(x)$ מוגדרת בתחום $\frac12\le x$.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה $h(x)$, וקבעו את סוגן.

ידוע כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון בנקודה שבה $x=-1$.

מצאו את הערך של $m$.

הציבו בפונקציה $f(x)$ את הערך של $m$ שמצאתם וענו על סעיף ב.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$, וקבעו את סוגן.

הוכיחו כי לכל $n$ הפונקציה $f_n(x)$ אי-זוגית, ומצאו את משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של $f_n(x)$. הבחינו בין ערכים שונים של $n$ לפי הצורך.

בסעיף ג, $n=2$.

השטח הכלוא בין גרף הפונקציה $f_2(x)$, ציר ה-$x$ והישרים $x=-c$, $x=c$ ($0<c<1$) שווה ל-3. מצאו את $c$. (הדרכה: הנגזרת של $x^2-1$ היא $2x$.)

נתונה פונקציה $H(x)$ המקיימת $H'(x)=f_n(x)$, ומוגדרת באותו תחום כמו $f_n(x)$. קבעו, לכל $n$ טבעי, אם יש ל-$H(x)$ נקודת קיצון שבה $x=0$, ואם כן - מה סוגה. האם יש ל-$H(x)$ נקודות קיצון נוספות?