שאלות פתוחות: תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון - כיתה י"א 5 יח"ל

שאלות פתוחות על תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון של פונקציות רציונליות לכיתה י"א, 5 יחידות. יש שאלות שבהן מוצאים קיצון של פונקציות כמו (x²-3)/(x-2) ו-(x²+5)/(x+2), שאלות שבהן נתון שלפונקציה יש קיצון בנקודה מסוימת ומוצאים פרמטר, שאלה על ערך גדול וקטן בקטע סגור, ופונקציה חדשה שבנויה ממכפלת f ב-f'. המבחר גדול ומכסה רמה קלה, בינונית וקשה. אפשר לבחור מכאן למבחן או לבוחן, עם פתרון מלא לכל שאלה וייצוא ל-Word.

121 שאלותקלה: 57בינונית: 49קשה: 15

שאלה 1 · תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצוןשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=xx2+4f(x)=\frac{x}{x^2+4}f(x)=x2+4x​ בתחום −1≤x≤4-1\le x\le4−1≤x≤4.

מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של הפונקציה בתחום זה.

שאלה 2 · תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצוןשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x+kx2+1f(x)=\frac{x+k}{x^2+1}f(x)=x2+1x+k​, כאשר kkk פרמטר. ידוע כי לפונקציה יש נקודת קיצון שבה x=2x=2x=2.

א.

מצאו את kkk.

ב.

הציבו את הערך של kkk שמצאתם. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגן.

שאלה 3 · משפחת הפונקציות $\frac{x}{( x ^{2} - 1 ) ^{n}}$ : זוגיות של $n$ , שטח הפוך וקיצון של קדומהשאלה מלאה · קשה

לכל מספר טבעי nnn מגדירים את הפונקציה: fn(x)=x(x2−1)nf_n(x)=\frac{x}{(x^2-1)^n}fn​(x)=(x2−1)nx​.

א.

הוכיחו כי לכל nnn הפונקציה fn(x)f_n(x)fn​(x) אי-זוגית, ומצאו את משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

ב.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של fn(x)f_n(x)fn​(x). הבחינו בין ערכים שונים של nnn לפי הצורך.

ג.

בסעיף ג, n=2n=2n=2.

השטח הכלוא בין גרף הפונקציה f2(x)f_2(x)f2​(x), ציר ה-xxx והישרים x=−cx=-cx=−c, x=cx=cx=c (0<c<10<c<10<c<1) שווה ל-3. מצאו את ccc. (הדרכה: הנגזרת של x2−1x^2-1x2−1 היא 2x2x2x.)

ד.

נתונה פונקציה H(x)H(x)H(x) המקיימת H′(x)=fn(x)H'(x)=f_n(x)H′(x)=fn​(x), ומוגדרת באותו תחום כמו fn(x)f_n(x)fn​(x). קבעו, לכל nnn טבעי, אם יש ל-H(x)H(x)H(x) נקודת קיצון שבה x=0x=0x=0, ואם כן - מה סוגה. האם יש ל-H(x)H(x)H(x) נקודות קיצון נוספות?

שאלה 4 · תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצוןשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=x2−3x−2f(x)=\frac{x^2-3}{x-2}f(x)=x−2x2−3​.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה ואת שיעורי נקודות הקיצון שלה.

שאלה 5 · תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצוןשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x2+5x+2f(x)=\frac{x^2+5}{x+2}f(x)=x+2x2+5​. בשרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה.
y=f(x)

א.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגן.

ב.

ערך המקסימום המקומי שמצאתם קטן מערך המינימום המקומי. הסבירו מדוע אין בכך סתירה.

שאלה 6 · המשפחה $x + \frac{k}{x}$ : שטח של $f \cdot f^{'}$ כביטוי בפרמטר, בעיה הפוכה ומספר פתרונותשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x+kxf(x)=x+\frac kxf(x)=x+xk​, כאשר k>0k>0k>0 הוא פרמטר. נתונה גם הפונקציה g(x)=f(x)⋅f′(x)g(x)=f(x)\cdot f'(x)g(x)=f(x)⋅f′(x), המוגדרת באותו התחום כמו f(x)f(x)f(x).

א.

מצאו באמצעות kkk את נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) ואת נקודות החיתוך של g(x)g(x)g(x) עם ציר ה-xxx.

בסעיפים ב-ד נתון k>1k>1k>1.

ב.

הביעו באמצעות kkk את השטח המוגבל על ידי גרף g(x)g(x)g(x), ציר ה-xxx והישרים x=1x=1x=1 ו-x=kx=kx=k.

ג.

נתון שהשטח שבסעיף ב שווה ל-16. מצאו את kkk.

ד.

עבור kkk שמצאתם בסעיף ג, נתונה הפונקציה h(x)=∫1xf′(t)dth(x)=\int_1^x f'(t)dth(x)=∫1x​f′(t)dt בתחום x≥1x\ge1x≥1.

מצאו את כל הערכים של mmm שבעבורם למשוואה h(x)=mh(x)=mh(x)=m יש בדיוק שני פתרונות.

שאלה 7 · פונקציה רציונלית אי-זוגית: חקירה מודרכת, התנהגות ליד אסימפטוטה ושטחשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=2x(x2−4)2f(x)=\frac{2x}{(x^2-4)^2}f(x)=(x2−4)22x​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x) ואת משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

ב.

הוכיחו כי f(x)f(x)f(x) היא פונקציה אי-זוגית.

ג.

הראו כי f′(x)=−2(3x2+4)(x2−4)3f'(x)=\frac{-2(3x^2+4)}{(x^2-4)^3}f′(x)=(x2−4)3−2(3x2+4)​, ומצאו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x)f(x).

ד.

קבעו לאן שואפת f(x)f(x)f(x) כאשר x→2−x\to2^-x→2−, כאשר x→2+x\to2^+x→2+, כאשר x→−2−x\to-2^-x→−2− וכאשר x→−2+x\to-2^+x→−2+, וסרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.

ה.

חשבו את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x), ציר ה-xxx והישרים x=−1x=-1x=−1, x=1x=1x=1. (הדרכה: הנגזרת של x2−4x^2-4x2−4 היא 2x2x2x.)

שאלה 8 · תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצוןשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x2+ax2−1f(x)=\frac{x^2+a}{x^2-1}f(x)=x2−1x2+a​, כאשר a≠−1a\ne-1a=−1 פרמטר.

מצאו את כל ערכי aaa שעבורם יש לפונקציה נקודת מינימום, והביעו באמצעות aaa את שיעורי נקודת המינימום.

שאלה 9 · משפחה של פונקציות רציונליות: מיון לפי סימן הפרמטר, שטח עם שני פתרונות ומספר פתרונותשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=x(x2+m)2f(x)=\frac{x}{(x^2+m)^2}f(x)=(x2+m)2x​, mmm הוא פרמטר שונה מ-0.

א.

מצאו עבור אילו ערכים של mmm יש לגרף f(x)f(x)f(x) אסימפטוטות אנכיות, וכתבו את משוואותיהן באמצעות mmm.

ב.

בסעיף ב m>0m>0m>0.

הביעו באמצעות mmm את שיעורי נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

ג.

מצאו את כל הערכים של mmm (m≠0m\neq0m=0) שבעבורם השטח המוגבל על ידי גרף f(x)f(x)f(x), על ידי ציר ה-xxx ועל ידי הישר x=1x=1x=1 הוא 112\frac{1}{12}121​.

ד.

הציבו m=2m=2m=2.

מצאו את מספר הפתרונות של המשוואה f(x)=tf(x)=tf(x)=t לכל ערך של ttt.

שאלה 10 · הפונקציה $x - \frac{4}{x}$ : מונוטוניות, אפסים של $f \cdot f^{'}$ ושטח בעזרת $\frac{1}{2} f^{2}$ שאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=x−4xf(x)=x-\frac4xf(x)=x−x4​.

א.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x), והראו ש-f(x)f(x)f(x) היא פונקציה אי-זוגית.

(2)

הראו ש-f(x)f(x)f(x) עולה בכל אחד מהתחומים x<0x<0x<0 ו-x>0x>0x>0, ושאין לה נקודות קיצון.

ב.

נתונה הפונקציה g(x)=f(x)⋅f′(x)g(x)=f(x)\cdot f'(x)g(x)=f(x)⋅f′(x), המוגדרת באותו התחום כמו f(x)f(x)f(x).

מצאו את נקודות החיתוך של g(x)g(x)g(x) עם ציר ה-xxx.

ג.

(1)

הראו שהפונקציה G(x)=12f2(x)G(x)=\frac12f^2(x)G(x)=21​f2(x) היא פונקציה קדומה של g(x)g(x)g(x).

(2)

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף g(x)g(x)g(x), ציר ה-xxx והישרים x=1x=1x=1 ו-x=4x=4x=4.

ד.

נתונה הפונקציה h(x)=∫2xf′(t)dth(x)=\int_2^x f'(t)dth(x)=∫2x​f′(t)dt, המוגדרת בתחום x≥2x\ge2x≥2.

הראו ש-h(x)=f(x)h(x)=f(x)h(x)=f(x) בתחום ההגדרה של hhh, ומצאו את נקודת הקיצון של h(x)h(x)h(x) וקבעו את סוגה.

עוד 40 שאלות על תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2+8}{x-1}$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מספר הפתרונות של $∣ f (x) ∣ = b$ ובעיה הפוכה (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a-x^2}{x^3}$ , המוגדרת עבור $x\neq0$ . $a$ הוא פרמטר חיובי. נתונה גם הפונקציה $g(x)=|f(x)|-b$ , $b$ הוא פרמטר חיובי,…
פונקציה רציונלית: נגזרת נתונה, מונוטוניות לפי סימן המכנה, סקיצה ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x}{(x^2-4)^2}$ .
שתי פונקציות רציונליות אי-זוגיות עם $x^{4}$ : חזקה זוגית ואי-זוגית במכנה, זיהוי גרף ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונות הפונקציות: $g(x)=\frac{4x^3}{(x^4-1)^3}$ , $f(x)=\frac{4x^3}{(x^4-1)^2}$ .
משפחת פונקציות רציונליות: סוג הקיצון לפי הפרמטר, שטח הפוך ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2+2x-a}{(x-1)^2}$ , כאשר $a$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית אי-זוגית, הגרף של $∣ f (x) ∣ - 3$ ופונקציית הצטברות (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2-4}{x}$ , המוגדרת עבור $x\neq0$ .
חקירת $x^{3} + \frac{1}{x ^{3}}$ , זיהוי גרפים של $f$ , $f^{'}$ ו- $f \cdot f^{'}$ , ואינטגרל של $f \cdot f^{'}$ (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^3+\frac{1}{x^3}$ .
משפחה רציונלית: סוג הקיצון לפי סימן הפרמטר, מספר פתרונות ושטח בשני צדי האפס (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{ax-1}{x^3}$ , המוגדרת בתחום: $x\neq0$ , $a$ הוא פרמטר שונה מ-0.
חקירת פונקציה רציונלית עם מכנה בריבוע ושטח בין שני גרפים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2-9}{(x+1)^2}$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: קיצון, סקיצה, $k \cdot f (x)$ ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^4}{(2x^5-m)^2}$ , $m$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציה שנגזרתה $f (x) + m$ : מספר נקודות הקיצון לפי הפרמטר ובעיה הפוכה (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{6x}{(x^2-1)^2}$ . נתונה גם הפונקציה $g(x)$ שפונקציית הנגזרת שלה היא $g'(x)=f(x)+m$ , כאשר $m$ הוא פרמטר. תחום…
מכפלת קטעים אנכיים ונקודת הפיתול: גרסה מודרכת (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\sqrt x$ , המוגדרת בתחום: $x\ge0$ , ונתונה הפונקציה: $g(x)=\frac{24}{x^2+12}$ , המוגדרת לכל $x$ .
תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x}{(x-2)^2}$ .
משפחת פונקציות רציונליות מתוך הנגזרת: מיון לפי סימן הפרמטר, בעיה הפוכה ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתון כי $f'(x)=\frac{-6x}{(x^2+k)^4}$ היא פונקציית הנגזרת של הפונקציה $f(x)$ . $k$ הוא פרמטר שונה מאפס. הפונקציות $f(x)$ ו- $f'(x)$ מוגדרות…
פונקציה רציונלית פשוטה עם פרמטר: חקירה ופונקציה שנגזרתה $f (x) - 1$ (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{(x-2)^2}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציה רציונלית אי-זוגית עם פרמטר, הגרף של $∣ f (x) ∣ - b$ ופונקציית הצטברות (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^4-a^2}{x^3}$ , המוגדרת עבור $x\neq0$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציה רציונלית זוגית עם פרמטר: מספר הפתרונות של $f (x) = m$ ושטח של $g \cdot g^{'}$ (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a-x^2}{x^4}$ , המוגדרת בתחום $x\neq0$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציה רציונלית מתוך נגזרתה: מונוטוניות, אינטגרל מודרך ונקודת אי-רציפות סליקה (שאלה מלאה · קלה)
נתון כי $f'(x)=\frac{8x}{(x^2-4)^3}$ היא פונקציית הנגזרת של הפונקציה $f(x)$ . הפונקציות $f(x)$ ו- $f'(x)$ מוגדרות באותו התחום.
פונקציה רציונלית עם פרמטר במכנה: חקירה, גרף מעל גרף ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2-4}{(x-a)^2}$ , $0<a<2$ הוא פרמטר.
משפחת הפונקציות $\frac{3 ( x + 2 ) ^{2}}{x ^{2} + a}$ : מספר הפתרונות של $f (x) = 4$ ושטח כפונקציה של $a$ (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{3(x+2)^2}{x^2+a}$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציה רציונלית בלי פרמטר: קיצון, סקיצה ושטח של $g \cdot g^{'}$ בהדרכה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{8x}{(x-2)^2}$ , המוגדרת בתחום $x\neq2$ .
תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2+a}{(x+2)^2}$ , כאשר $a>0$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מספר פתרונות ושטח נתון (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2}{(x^3-a)^2}$ , כאשר $a>0$ פרמטר.
חקירת $\frac{4 ( x + 1 ) ^{2}}{x ^{2} + 1}$ והשטח בין $\frac{- f ^{'}}{f ^{2}}$ לציר ה- $x$ (מודרך) (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{4(x+1)^2}{x^2+1}$ .
חקירת $\frac{16 x}{x ^{2} + 3}$ , מכפלת קטעים אנכיים שמקסימלית בנקודת הפיתול, והזזה ומתיחה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\sqrt x$ , המוגדרת בתחום: $x\ge0$ , ונתונה הפונקציה: $g(x)=\frac{16x}{x^2+3}$ , המוגדרת לכל $x$ .
משפחת פונקציות רציונליות עם נקודה ריקה: משיק דרך נקודה קבועה ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{(x-a)^2(x+2a)}{x^3-ax^2}$ , כאשר $a>0$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית: חקירה מודרכת ונפח גוף סיבוב (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x}{x^3-8}$ .
חקירת $\frac{x ( x - 2 )}{( x - 1 ) ^{3}}$ כנגזרת של $\frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ^{2}}$ : קיצון בקצה, משיקים, פיתול ואינטגרל (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x(\sqrt x-2)}{(\sqrt x-1)^3}$ .
תחומי עלייה וירידה של פונקציה רציונלית עם פרמטר - טבלת סימנים (שאלה קצרה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{3x^2}{(x^3-a)^2}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי. הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ אם יש צורך.
נקודת קיצון של פונקציה רציונלית - סימן הנגזרת לפי מונה ומכנה (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2-9}{(x+1)^2}$ .
פונקציה רציונלית עם $x^{4}$ ופרמטר: חקירה, פונקציה שנגזרתה $f (x) + 1$ וזיהוי גרף (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{4ax^3}{(x^4-9)^2}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי.
מציאת פרמטר מנקודת קיצון ומציאת כל נקודות הקיצון (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^4}{(2x^5-m)^2}$ , $m$ הוא פרמטר חיובי.
תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{1}{(x^2-4)^2}$ .
פונקציה רציונלית מתוך נגזרתה: אינטגרל, אסימפטוטה, נקודת אי-רציפות סליקה והתאמת גרפים (שאלה מלאה · בינונית)
נתון כי $f'(x)=\frac{-6x^2}{(x^3-a^3)^3}$ היא פונקציית הנגזרת של הפונקציה $f(x)$ . $a$ הוא פרמטר חיובי. הפונקציות $f(x)$ ו- $f'(x)$ מוגדרות…
תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון (שאלה קצרה · בינונית)
נתון כי $f'(x)=\frac{x-1}{(x^2-4)^3}$ היא פונקציית הנגזרת של הפונקציה $f(x)$ , ושתיהן מוגדרות באותו התחום.
פונקציה רציונלית עם פרמטר ומכנה $x^{4}$ : קיצון, נקודה משותפת אחת עם ציר ה- $x$ ושטח של $g \cdot g^{'}$ (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{a(4x+3)}{x^4}$ , המוגדרת בתחום $x\neq0$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
חקירת $\frac{12 x}{x ^{2} + a}$ עם פרמטר, והשטח בין $\frac{- f ^{'}}{f ^{2}}$ לציר ה- $x$ (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{12x}{x^2+a}$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציה רציונלית עם פרמטר ומכנה בריבוע: חקירה, סקיצה ונפח גוף סיבוב (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $h(x)=ax^3+1$ .
תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2}{x^3+4}$ .
תחומי עלייה וירידה ונקודת קיצון מתוך ביטוי הנגזרת (שאלה קצרה · בינונית)
נתון כי $f'(x)=\frac{8x}{(x^2-4)^3}$ היא פונקציית הנגזרת של הפונקציה $f(x)$ . הפונקציות $f(x)$ ו- $f'(x)$ מוגדרות באותו התחום.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שתי פונקציות רציונליות אי-זוגיות: חזקה זוגית ואי-זוגית במכנה, זיהוי גרף ושטח · בגרות 571 קיץ 2021 מועד א', שאלה 6
נתונות הפונקציות: $g(x)=\frac{x}{(x^2-2)^3}$ , $f(x)=\frac{x}{(x^2-2)^2}$ .
חקירת $3 x + \frac{3}{x}$ , זיהוי גרפים של $f$ , $f^{'}$ ו- $f \cdot f^{'}$ , ואינטגרל של $f \cdot f^{'}$ · בגרות 571 קיץ 2022 מועד א', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=3x+\frac3x$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: קיצון, סקיצה, $k \cdot f (x)$ ושטח · בגרות 571 חורף 2022, שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2}{(x^3-m)^2}$ , $m$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציה רציונלית אי-זוגית עם פרמטר, הגרף של $∣ f (x) ∣ - b$ ופונקציית הצטברות · בגרות 571 קיץ 2023 מועד א', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{2a-x^2}{x}$ , המוגדרת עבור $x\neq0$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, גרף שנמצא מעל גרף אחר ושטח ביניהם · בגרות 571 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2-a^2}{(x-3)^2}$ , $0<a<3$ הוא פרמטר.
חקירת $\frac{16}{x ^{2} + 3}$ , מכפלת קטעים אנכיים שמקסימלית בנקודת הפיתול, והזזה ומתיחה של פונקציית המטרה · בגרות 571 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 8
נתונה הפונקציה: $f(x)=\sqrt x$ , המוגדרת בתחום: $x\ge0$ , ונתונה הפונקציה: $g(x)=\frac{16}{x^2+3}$ , המוגדרת לכל $x$ .
חקירת $\frac{x - 4}{( x - 2 ) ^{2}}$ כנגזרת של $\frac{2 x}{x - 2}$ : קיצון בקצה, משיקים, פיתול ואינטגרל של $g \cdot g^{'}$ · בגרות 571 חורף 2024, שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\sqrt x-4}{(\sqrt x-2)^2}$ .
פונקציית שורש עם פרמטר: אסימפטוטות שונות ב- $\pm \infty$ , אי-זוגיות, הגרף של $\frac{1}{f ^{2}}$ ושטח · בגרות 571 קיץ 2025 מועד א', שאלה 6
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-a^2}}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי. ענו על הסעיפים א-ו. הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ , אם יש צורך.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, פונקציה שנגזרתה $f (x) + 1$ וזיהוי גרף · בגרות 571 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 6
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2ax}{(x^2-16)^2}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציה רציונלית מתוך נגזרתה: אינטגרל, אסימפטוטה, נקודת אי-רציפות סליקה והתאמת גרפים · בגרות 571 חורף 2025, שאלה 6
נתון כי $f'(x)=\frac{-4x}{(x^2-a^2)^3}$ היא פונקציית הנגזרת של הפונקציה $f(x)$ . $a$ הוא פרמטר חיובי. הפונקציות $f(x)$ ו- $f'(x)$ מוגדרות באותו התחום. בסעיפים א-ג…
פונקציה רציונלית עם פרמטר: קיצון, נקודה משותפת אחת עם ציר ה- $x$ ושטח של $g \cdot g^{'}$ · בגרות 571 קיץ 2026 מועד א', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{ax}{(x-3)^2}$ , המוגדרת בתחום $x\neq3$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
חקירת $\frac{6 ( x - 1 ) ^{2}}{x ^{2} + a}$ עם פרמטר, והשטח מתחת ל- $\frac{- f ^{'}}{f ^{2}}$ · בגרות 571 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{6(x-1)^2}{x^2+a}$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, סקיצה ונפח גוף סיבוב · מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 7
נתונה הפונקציה $h(x)=ax^3-1$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (58)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

חקירת פונקציה רציונלית זוגית ושיקוף עם הזזה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{4x^2-1}{x^2-1}$ .
חקירת פונקציה רציונלית זוגית עם מינימום, ושיקוף עם הזזה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2-9}{x^2-4}$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מונוטוניות, פרמטר משטח וספירת פתרונות (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{2x-b}{x-4}$ , $b\neq8$ הוא פרמטר.
חקירת פונקציה רציונלית עם פרמטר, גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{4}{4x^2-1}+b$ , $b$ הוא פרמטר.
חקירת פונקציה רציונלית עם פרמטר, גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{-12}{x^2-4}+b$ , $b$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית וערך מוחלט: חקירה ומספר פתרונות (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2-4x+5}{x-2}$ .
פונקציה רציונלית וערך מוחלט: מינימומים בגבהים שונים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2+3}{x-1}$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מספר הפתרונות של |f(x)|=4 (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2-2x+a}{x-1}$ , כאשר $a$ פרמטר ו- $a>1$ . נתונה גם הפונקציה $g(x)=|f(x)|$ .
חקירת פונקציה רציונלית והקיצון של פונקציה שהנגזרת שלה נתונה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{16-9x^2}{1-x^2}$ .
חקירת פונקציה רציונלית והקיצון של g כש-g'=f (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{36-4x^2}{4-x^2}$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מתי יש קיצון? (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{3x}{x^2-a}$ . $a\ne0$ הוא פרמטר.
חקירת פונקציה רציונלית וזיהוי גרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{2x^2}{x^2-9}+4$ .
חקירת פונקציה רציונלית וזיהוי גרף הנגזרת: אסימפטוטות ב-±2 (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{3x^2}{x^2-4}+1$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: קיצון, משיק אופקי ופונקציה קדומה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x+8}{10x-x^2}-b$ . $b$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: קיצון, משיק ונגזרת (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{6x+54}{16x-x^2}-b$ . $b$ הוא פרמטר.
חקירת פונקציה רציונלית, זיהוי גרף הנגזרת ושטח מתחתיו (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2-9}{x^2+1}+1$ , המוגדרת לכל $x$ .
חקירת פונקציה רציונלית, זיהוי גרף הנגזרת ושטח מתחתיו (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2-33}{x^2+3}+2$ , המוגדרת לכל $x$ . בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף…
חקירת פונקציה רציונלית: קיצון, סקיצה, ישר אופקי והזזה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{12x}{(x+4)^2}$ .
חקירת פונקציה רציונלית: קיצון, סקיצה, ישר אופקי והזזה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{18x}{(x-3)^2}$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר, וקיצון של g כש-g'=f-11 (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2+x+a}{x}$ , $a\neq0$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית עם פרמטר, וקיצון של g כש-g'=f-0.5 (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2+4x+a}{x^2}$ , $a\neq0$ הוא פרמטר.
חקירת פונקציה רציונלית המוגדרת לכל x, והגרף של |f(x)| (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{72-18x}{x^2+9}-1$ , המוגדרת לכל $x$ .
חקירת פונקציה רציונלית המוגדרת לכל x, והגרף של |f(x)| (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{30x}{x^2+9}-3$ , המוגדרת לכל $x$ .
פונקציה רציונלית זוגית עם פרמטר: חקירה והזזה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{4x^2}{x^2-9}+a$ . $a$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית זוגית עם פרמטר: חקירה והזזה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{3x^2}{x^2-4}+a$ . $a$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חיתוכים ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2}{x^2-4}+k$ , כאשר $k$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מיון לפי הפרמטר (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{4x+4}{8x-x^2}-b$ . $b$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: שטח מתחת לנגזרת ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2-a}{x^2+1}+1$ , המוגדרת לכל $x$ . $a$ הוא פרמטר, $a>1$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מספר נקודות חיתוך (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2x^2}{x^2-4}+a$ , ו- $a$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: משטח לפרמטר ולמספר פתרונות (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x+\frac{a}{x^2}$ , ו- $a>0$ הוא פרמטר. השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, על ידי הישרים $x=2$ …
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מספר פתרונות ושטח הפוך (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2}{-x^2+ax-8}$ , $a$ הוא פרמטר. ידוע שהישר $x=1$ הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, סקיצה ושיקוף (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{2x}{x^2-a}$ . $a$ הוא פרמטר. נתון כי גרף הפונקציה $f(x)$ עובר דרך הנקודה $(3,1.2)$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, סקיצה ושיקוף (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x+1}{x^2-a}$ . $a$ הוא פרמטר. נתון כי גרף הפונקציה $f(x)$ עובר דרך הנקודה…
מציאת פרמטר על סמך נתון (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $g(x)=2x+\frac{8}{x}+c$ , $c$ הוא פרמטר. גרף הפונקציה משיק לציר ה- $x$ .
הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x+\frac9x$ .
חקירה בשילוב טרנספורמציות (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{4}{x^2-4}$ .
הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x+1}{3x-x^2}$ .
חקירה מלאה וסרטוט סקיצה (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{6x}{x^2+9}$ .
הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2x^2+18}{x}$ . $g(x)$ היא פונקציה המוגדרת לכל $x\neq0$ , ונגזרתה מקיימת…
הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{-4}{(x-2)^2}$ , המוגדרת בתחום $x\ne2$ . בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV: גרף I:…
פונקציה רציונלית עם פרמטר: גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{x^2}+2$ , $a$ הוא פרמטר. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה $x=2$ הוא $-2$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{x^2}-1$ , $a$ הוא פרמטר. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה $x=-2$ הוא $1$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{(x-5)^2}$ , המוגדרת בתחום $x\ne5$ . $a$ הוא פרמטר חיובי. נתון כי בנקודה שבה $x=7$ ,…
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{(x-4)^2}$ , המוגדרת בתחום $x\ne4$ . $a$ הוא פרמטר חיובי. נתון כי בנקודה שבה $x=6$ ,…
פונקציה רציונלית עם פרמטר: גרף הנגזרת, שטח ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{(x-2)^2}$ , המוגדרת בתחום $x\ne2$ . $a$ הוא פרמטר חיובי. בסוף השאלה מופיעים ארבעה…
פונקציה רציונלית עם פרמטר: משיקה לציר ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{4}{x}+ax$ , $a>0$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית עם פרמטר במונה: מהשטח לפונקציה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{x^2-4}$ , $a\neq0$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חיתוכים, שטח ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{ax}{x^2+4}+1$ , כאשר $a>0$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מספר פתרונות ומשיקים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{ax}{(x+4)^2}$ , ו- $a>0$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מספר נקודות הקיצון של g (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2+a}{x}$ , $a>0$ הוא פרמטר. $g(x)$ היא פונקציה המוגדרת לכל $x\neq0$ , ונגזרתה…
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מתי |f| נוגעת בציר (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{24-16x}{x^2+4}+c$ , המוגדרת לכל $x$ . $c$ הוא פרמטר. נתונה גם הפונקציה…
תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2}{x^2+2x-8}$ .
תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{(x+2)^2}{x^2}$ .
תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2+3}{x-1}$ .
תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x-2}{x^2-16}$ .
תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{5x^2}{x^2-25}+1$ .
תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{8x-6}{x^2+1}$ , המוגדרת לכל $x$ .
חקירה בשילוב טרנספורמציות (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{4x}{(x-2)^2}$ .