מבחן לדוגמה: קעירות ונקודות פיתול בפונקציה רציונלית - כיתה י"א 5 יח"ל

הראו כי $g''(x)=\frac{144(x^2-4)}{(x^2+12)^3}$, ומצאו את שיעורי נקודות הפיתול של הפונקציה $g(x)$.

מצאו את שיעורי נקודות הפיתול של הפונקציה (הביעו באמצעות $a$ אם יש צורך), והראו כי נקודות הפיתול של כל הפונקציות במשפחה (לכל $a>0$) נמצאות על ישר אחד שאינו תלוי ב-$a$. מצאו את משוואת הישר.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה $g(x)$, וקבעו את סוגן.

מצאו את שיעורי נקודות הפיתול של הפונקציה $g(x)$.

הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$, אם יש צורך.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

נתונה גם הפונקציה: $g(x)=|f(x)|-b$, $b$ הוא פרמטר חיובי. הפונקציה $g(x)$ מוגדרת באותו התחום כמו הפונקציה $f(x)$.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $g(x)$.

ידוע כי אחת מנקודות הקיצון של הפונקציה $g(x)$ היא: $(-2,-3.75)$.

מצאו את הערכים של $a$ ו-$b$.

נתונה גם הפונקציה: $s(x)=\int_{-2}^{x}g(t)\,dt$, המוגדרת בתחום: $x<-2$.

מהו סוג נקודת הקיצון של $s(x)$? נמקו את תשובתכם.

אחד מן הגרפים א-ג מתאר את פונקציית הנגזרת $f'(x)$. קבעו איזה מהם, ונמקו בקצרה.

קבעו כמה נקודות פיתול יש לפונקציה $f(x)$. נמקו את התשובה.

מצאו את שיעורי נקודות הפיתול של הפונקציה $g(x)$. הביעו באמצעות $k$ ו-$c$.

בנקודה $C(t,0)$, $t>0$, מעבירים אנך לציר ה-$x$. האנך חותך את גרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה A ואת הגרף של הפונקציה $g(x)$ בנקודה B.

הוכיחו כי לכל ערך של $k$ ושל $c$, מכפלת אורכי הקטעים AC ו-BC מקסימלית כאשר הנקודה B היא נקודת פיתול של הפונקציה $g(x)$.

נתון כי מכפלת אורכי הקטעים AC ו-BC מקבלת את ערכה המקסימלי, 1, כאשר $t=4$.

מצאו את $c$ ואת $k$.

עבור הערכים שמצאתם, מצאו את כל הערכים של $m$ שבעבורם יש בדיוק שתי נקודות $C(t,0)$, $t>0$, שבהן $AC\cdot BC=m$.