שאלות פתוחות: קעירות ונקודות פיתול בפונקציה רציונלית - כיתה י"א 5 יח"ל

בנקודה $C(t,0)$, $t>0$, מעבירים אנך לציר ה-$x$. האנך חותך את גרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה A ואת הגרף של הפונקציה $g(x)$ בנקודה B.

הביעו באמצעות $t$ את מכפלת אורכי הקטעים AC ו-BC.

מצאו את $t$ שבעבורו מכפלת אורכי הקטעים AC ו-BC מקסימלית ואת הערך המקסימלי, והראו שבערך זה B היא נקודת פיתול של $g(x)$.

נתונה הפונקציה: $k(x)=\frac{24\sqrt{x+2}}{(x+2)^2+12}$, המוגדרת בתחום: $x\ge-2$.

הסבירו מדוע $k(x)$ מתקבלת מהביטוי שמצאתם בסעיף ב על ידי ההצבה $t=x+2$, ומצאו את שיעורי נקודת הקיצון הפנימית של $k(x)$ וקבעו את סוגה.

מצאו את $a$.

הציבו את הערך של $a$ שמצאתם. מצאו את תחומי הקעירות כלפי מעלה ($\cup$) וכלפי מטה ($\cap$) של הפונקציה, ואת שיעורי נקודת הפיתול.

מצאו את שיעורי נקודות הפיתול של הפונקציה $g(x)$. הביעו באמצעות $k$ ו-$c$.

בנקודה $C(t,0)$, $t>0$, מעבירים אנך לציר ה-$x$. האנך חותך את גרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה A ואת הגרף של הפונקציה $g(x)$ בנקודה B.

הוכיחו כי לכל ערך של $k$ ושל $c$, מכפלת אורכי הקטעים AC ו-BC מקסימלית כאשר הנקודה B היא נקודת פיתול של הפונקציה $g(x)$.

נתון כי מכפלת אורכי הקטעים AC ו-BC מקבלת את ערכה המקסימלי, 1, כאשר $t=4$.

מצאו את $c$ ואת $k$.

עבור הערכים שמצאתם, מצאו את כל הערכים של $m$ שבעבורם יש בדיוק שתי נקודות $C(t,0)$, $t>0$, שבהן $AC\cdot BC=m$.

הראו כי $g''(x)=\frac{144(x^2-4)}{(x^2+12)^3}$, ומצאו את שיעורי נקודות הפיתול של הפונקציה $g(x)$.

מצאו את שיעורי נקודות הפיתול של הפונקציה.

האם כל נקודות הפיתול של הפונקציה נמצאות על ישר אחד? אם כן - מצאו את משוואת הישר; אם לא - נמקו.

מצאו את $a$.

מצאו את שיעורי נקודות הפיתול של הפונקציה.

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת הפיתול.

אחד מן הגרפים א-ג מתאר את פונקציית הנגזרת $f'(x)$. קבעו איזה מהם, ונמקו בקצרה.

קבעו כמה נקודות פיתול יש לפונקציה $f(x)$. נמקו את התשובה.

מצאו את שיעורי נקודות הפיתול של הפונקציה (הביעו באמצעות $a$ אם יש צורך), והראו כי נקודות הפיתול של כל הפונקציות במשפחה (לכל $a>0$) נמצאות על ישר אחד שאינו תלוי ב-$a$. מצאו את משוואת הישר.

מצאו את תחומי הקעירות כלפי מעלה ($\cup$) וכלפי מטה ($\cap$) של הפונקציה, ואת שיעורי נקודות הפיתול שלה.