מבחן לדוגמה: חקירה מלאה וסקיצה - כיתה י"א 5 יח"ל

נתון שלפונקציה אין נקודות קיצון. סרטטו סקיצה של גרף $f(x)$.

מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של $f(x)$.

הראו כי $f'(x)=\frac{-8(x+2)}{(x-2)^3}$, ומצאו את נקודת הקיצון של $f(x)$ ואת סוגה.

סרטטו סקיצה של גרף $f(x)$, והסבירו בעזרתה מדוע לישר $y=-1$ ולגרף $f(x)$ יש נקודה משותפת אחת בלבד.

נתונות הפונקציות $g(x)=f(x)+1$ ו-$h(x)=g(x)\cdot g'(x)$, המוגדרות בתחום $x\neq2$.

הראו כי $f'(x)=\frac{-8(x+2)}{(x-2)^3}$, ומצאו את נקודת הקיצון של $f(x)$ ואת סוגה.

סרטטו סקיצה של גרף $f(x)$, והסבירו בעזרתה מדוע לישר $y=-1$ ולגרף $f(x)$ יש נקודה משותפת אחת בלבד.

הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$, אם יש צורך.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

נתונה גם הפונקציה: $g(x)=|f(x)|-b$, $b$ הוא פרמטר חיובי. הפונקציה $g(x)$ מוגדרת באותו התחום כמו הפונקציה $f(x)$.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $g(x)$.

ידוע כי אחת מנקודות הקיצון של הפונקציה $g(x)$ היא: $(-2,-3.75)$.

מצאו את הערכים של $a$ ו-$b$.

נתונה גם הפונקציה: $s(x)=\int_{-2}^{x}g(t)\,dt$, המוגדרת בתחום: $x<-2$.

מהו סוג נקודת הקיצון של $s(x)$? נמקו את תשובתכם.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה, את משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים, ואת תחומי העלייה והירידה שלה.

מצאו את כל ערכי $k$ שעבורם למשוואה $f(x)=k$ אין פתרון.

מצאו את ערכי $a$ שבעבורם לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון. בעבור ערכים אלה הביעו באמצעות $a$ את שיעורי נקודת הקיצון, וקבעו את סוגה לפי ערכי $a$.

מצאו את ערכי $a$ שבעבורם נקודת הקיצון נמצאת מתחת לציר ה-$x$.

נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{(x+1)^2}{(x-1)^2}$.

מצאו את כל ערכי $a$ שבעבורם השטח המוגבל על ידי הגרפים של $f(x)$ ו-$g(x)$, על ידי ציר ה-$y$ ועל ידי הישר $x=-2$ שווה ל-2.

הציבו $a=2$.

מצאו את כל ערכי $m$ שבעבורם למשוואה $f(x)=m$ יש בדיוק שני פתרונות.