מבחן לדוגמה: תחום הגדרה: שורש בסכום ובמכפלה - כיתה י"א 5 יח"ל

מצאו את $k$.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף $f$ עם הצירים.

הסרטוט לסעיף א:

במעגל שבסרטוט המיתרים $AB$ ו-$CD$ נחתכים בנקודה $P$. נתון: הקשת $AC$ (שאינה מכילה את $B$ ואת $D$) היא $80^\circ$, והקשת $BD$ (שאינה מכילה את $A$ ואת $C$) היא $120^\circ$. מעבירים את המיתר $BC$. חשבו את $\sphericalangle ABC$, את $\sphericalangle BCD$ ואת $\sphericalangle BPD$.

הוכיחו באינדוקציה כי לכל $n$ טבעי: $\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}$.

נתון גרף הפונקציה $f(x)$ בתחום $-3\le x\le5$, ונתונה הפונקציה $h(a)=\int_{-1}^{a}f(x)\,dx$ עבור $a>-1$.

מצאו את תחום ההגדרה של $f$ עבור $a=5$.

מצאו את כל ערכי $a$ שעבורם תחום ההגדרה של $f$ הוא בדיוק $x\le-2$.

הנקודה A נמצאת על גרף הפונקציה $f(x)$, והנקודה B נמצאת על גרף הפונקציה $g(x)$ כך שהקטע AB מקביל לציר ה-$x$. נתון כי שיעור ה-$x$ של הנקודה A נמצא בין שיעורי ה-$x$ של נקודות החיתוך של הפונקציה $f(x)$ עם הפונקציה $g(x)$. נסמן ב-$p$ את שיעור ה-$x$ של הנקודה A. $p$ הוא פרמטר.

הביעו באמצעות $p$ את אורך הקטע AB.

הנקודה O היא ראשית הצירים. מצאו את השטח המקסימלי של המשולש OAB.

האם השטח המקסימלי של המשולש OAB מתקבל כאשר אורך הקטע AB הוא מקסימלי? נמקו את התשובה.

בעבור כל אחת מן הפונקציות, קבעו איזה מן הגרפים מתאר אותה. נמקו את קביעותיכם.

נתונה הפונקציה: $g(x)=x^n\sqrt{4-x^2}$, $n$ הוא פרמטר טבעי גדול מ-1.

מצאו עבור אילו ערכים של $n$, הגרף הנותר מתאר את הפונקציה $g(x)$.

הוכיחו כי $a<0$, ומצאו את תחום ההגדרה של $f(x)$ באמצעות $a$ ו-$b$. הבחינו בין מקרים.

ידוע כי $\left(6,3\sqrt3\right)$ היא נקודת מקסימום של $f(x)$. מצאו את $a$ ואת $b$, ואת תחום ההגדרה.

הנקודה $P$ נמצאת על הגרף של $f(x)$. $M$ היא נקודת החיתוך של האנך מ-$P$ לציר ה-$x$ עם ציר ה-$x$, ו-$O$ ראשית הצירים. מצאו את שיעור ה-$x$ של $P$ שבעבורו שטח המשולש $PMO$ מקסימלי, ואת השטח המקסימלי.

נניח ששיעור ה-$x$ של $P$ מוגבל לקטע $0\le x\le t$ (כאשר $0<t\le8$). לאילו ערכים של $t$ השטח המקסימלי של המשולש מתקבל ב-$x=t$? מהו השטח המקסימלי כאשר $P$ מוגבלת לתחום שבו $f(x)$ עולה?