מבחן לדוגמה: תחום הגדרה: שורש במונה ובמכנה - כיתה י"א 5 יח"ל

מצאו את תחום ההגדרה של $f$.

מצאו את תחומי החיוביות ואת תחומי השליליות של $f$.

מהו תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$?

נתון כי השוויון $2+12+30+\ldots+n(n+1)=\frac{(n+1)(n+a)(2n+1)}{12}$ מתקיים בעבור $n=3$. $a$ הוא פרמטר.

בבית קפה בדקו מה קנו הלקוחות. נמצא כי מספר הלקוחות שקנו רק קפה גדול פי 2 ממספר הלקוחות שקנו גם קפה וגם מאפה. $\frac{2}{3}$ מן הלקוחות שקנו מאפה, קנו גם קפה. נסמן ב-$p$ את ההסתברות לבחור באקראי לקוח שקנה רק קפה.

נתונות הפונקציות: $f(x)=\frac{\sqrt{x^2-4}}{x}$, $g(x)=\frac{x^2-4}{\sqrt{x}}$, $h(x)=\sqrt{\frac{x^2-4}{x}}$.

הפונקציה $f(x)$ ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$, מוגדרות לכל $x$. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)$. נתון כי הפונקציה $f(x)$ היא זוגית, הגרף שלה חותך את ציר ה-$y$ בנקודה $(0,1)$, ובתחום $x>0$ יש לה נקודת קיצון אחת בלבד: נקודת מקסימום ששיעוריה $(2,4)$. לפונקציה $f(x)$ ולפונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ יש אסימפטוטה אופקית $y=0$.

הוכיחו כי כל מקבילית שחסומה במעגל היא מלבן.

הוכיחו באינדוקציה או בכל דרך אחרת שהביטוי $n^3+5n$ מתחלק ב-6 ללא שארית לכל $n$ טבעי.

נתון כי הפונקציה $f(x)$ אינה קבועה, מוגדרת לכל $x$ והיא אי-זוגית.

קבעו לגבי כל אחת מהפונקציות הבאות אם היא זוגית, אי-זוגית, לא זוגית ולא אי-זוגית או שלא ניתן לקבוע. נמקו.

I. $h(x)=x\cdot f(x)$

II. $k(x)=x^2\cdot f(x)$

III. $g(x)=f(x)+x^2$

נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+a}}$, $a>0$. איזה מהסרטוטים א-ד הוא גרף הפונקציה? נמקו בקצרה.

מצאו את $k$.

הציבו $k=25$, ומצאו את תחום ההגדרה של $f(x)$ ואת תחום ההגדרה של $g(x)$.

מצאו את כל ערכי $x$ שבהם $f(x)=g(x)$, ואת כל ערכי $x$ שבהם $g(x)$ מוגדרת ו-$f(x)$ אינה מוגדרת. האם $f(-3)$ מוגדר?

מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של $f(x)$ (לפי ערכי $a$).

מצאו את ערכי $a$ שבעבורם לפונקציה יש נקודת קיצון. הביעו באמצעות $a$ את שיעורי נקודת הקיצון וקבעו את סוגה.

נתון כי לפונקציה יש נקודת קיצון שבה ערך הפונקציה הוא $-\frac45$. מצאו את $a$.

הציבו את הערך של $a$ שמצאתם בסעיף ג.

מצאו את כל ערכי $m$ שבעבורם למשוואה $f(x)=m$ יש בדיוק שני פתרונות.