שאלות פתוחות: תחום הגדרה: שורש במונה ובמכנה - כיתה י"א 5 יח"ל

תרגול תחום הגדרה של פונקציה שיש בה שורש במונה ובמכנה, לכיתה י"א, 5 יחידות. השאלות כוללות פונקציות כמו √(x²-4x)/(x-6) ו-√(16-x²)/√(x-m), שאלות שבהן תחום ההגדרה ידוע ומוצאים את הפרמטר, ומכנה ריבועי עם פרמטר c שקובע אילו נקודות יוצאות מהתחום. יש שאלות קלות, בינוניות וקשות, ורובן בינוניות. בוחרים מכאן לבוחן או לדף עבודה, וכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא שנשמר יחד איתה בקובץ Word.

51 שאלותקלה: 13בינונית: 31קשה: 7

שאלה 1 · תחום הגדרה: שורש במונה ובמכנהשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=x2−4xx−6f(x)=\frac{\sqrt{x^2-4x}}{x-6}f(x)=x−6x2−4x​​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של fff.

ב.

מצאו את תחומי החיוביות ואת תחומי השליליות של fff.

שאלה 2 · תחום הגדרה: שורש במונה ובמכנהשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=16−x2x−mf(x)=\frac{\sqrt{16-x^2}}{\sqrt{x-m}}f(x)=x−m​16−x2​​, כאשר mmm פרמטר. ידוע כי תחום ההגדרה של fff מכיל בדיוק 333 מספרים שלמים.

מצאו את כל ערכי mmm האפשריים.

שאלה 3 · תחום הגדרה: שורש במונה ובמכנהשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x−1x2−6x+cf(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{x^2-6x+c}f(x)=x2−6x+cx−1​​, כאשר ccc פרמטר.

מצאו את כל ערכי ccc שעבורם תחום ההגדרה של fff הוא כל x≥1x\ge1x≥1 פרט לנקודה אחת בדיוק.

שאלה 4 · פונקציית שורש במונה: קיצון בקצה התחום והפונקציה $\frac{1}{f}$ שאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=3x2−12x3f(x)=\frac{\sqrt{3x^2-12}}{x^3}f(x)=x33x2−12​​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ב.

הוכיחו כי f(x)f(x)f(x) אי-זוגית.

ג.

הראו כי f′(x)=36−6x2x43x2−12f'(x)=\frac{36-6x^2}{x^4\sqrt{3x^2-12}}f′(x)=x43x2−12​36−6x2​, ומצאו את שיעורי נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) (כולל בקצוות התחום) וקבעו את סוגן.

ד.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ה.

נתונה הפונקציה g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}g(x)=f(x)1​. מצאו את תחום ההגדרה של g(x)g(x)g(x) ואת משוואות האסימפטוטות האנכיות שלה.

שאלה 5 · תחום הגדרה: שורש במונה ובמכנהשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x−2x2−8x+cf(x)=\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x^2-8x+c}}f(x)=x2−8x+c​x−2​​, כאשר ccc פרמטר.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של fff עבור c=12c=12c=12.

ב.

מצאו את כל ערכי ccc שעבורם תחום ההגדרה של fff הוא x≥2x\ge2x≥2.

שאלה 6 · פונקציית שורש זוגית עם פרמטר: מספר נקודות המפגש של $f$ ו- $\frac{1}{f}$ שאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=x2−ax2f(x)=\frac{\sqrt{x^2-a}}{x^2}f(x)=x2x2−a​​, a>0a>0a>0 הוא פרמטר. נתונה גם הפונקציה g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}g(x)=f(x)1​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x), קבעו אם היא זוגית או אי-זוגית, ומצאו את משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

ב.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) (כולל בקצוות התחום) וקבעו את סוגן.

ג.

מצאו, לכל ערך של aaa, את מספר נקודות המפגש של הגרפים של f(x)f(x)f(x) ושל g(x)g(x)g(x).

ד.

עבור הערך של aaa שבעבורו יש לגרפים בדיוק שתי נקודות מפגש, מצאו את שיעורי נקודות המפגש, והראו שבכל אחת מהן יש לגרפים משיק משותף. מה משוואתו?

שאלה 7 · חקירה מודרכת של מנה עם שורש במכנה ושל ריבוע הפונקציהשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=x2+5x2−4f(x)=\frac{x^2+5}{\sqrt{x^2-4}}f(x)=x2−4​x2+5​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x), והוכיחו כי f(x)f(x)f(x) זוגית.

ב.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף f(x)f(x)f(x) עם הצירים (אם יש כאלה) ואת האסימפטוטות האנכיות שלה.

ג.

הראו כי f′(x)=x(x2−13)(x2−4)32f'(x)=\frac{x(x^2-13)}{(x^2-4)^{\frac32}}f′(x)=(x2−4)23​x(x2−13)​, ומצאו את נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) ואת סוגן.

ד.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ה.

מצאו את נקודות הקיצון של (f(x))2(f(x))^2(f(x))2 ושל 1(f(x))2\frac{1}{(f(x))^2}(f(x))21​, וקבעו את סוגן.

שאלה 8 · תחום הגדרה: שורש במונה ובמכנהשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=4−x2x2−af(x)=\frac{\sqrt{4-x^2}}{x^2-a}f(x)=x2−a4−x2​​, כאשר aaa פרמטר.

מצאו את תחום ההגדרה של fff, לפי ערכי aaa.

שאלה 9 · משפחה של מנות עם שורש: חיתוכים, קיצון ואסימפטוטות לפי פרמטרשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=x2+bx2−1f(x)=\frac{x^2+b}{\sqrt{x^2-1}}f(x)=x2−1​x2+b​, כאשר bbb הוא פרמטר (מספר ממשי כלשהו).

א.

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x). לאילו ערכים של bbb גרף הפונקציה חותך את ציר ה-xxx? מצאו את נקודות החיתוך באמצעות bbb.

ב.

חקרו: לאילו ערכים של bbb יש לפונקציה נקודות קיצון? מצאו אותן באמצעות bbb וקבעו את סוגן.

ג.

לאילו ערכים של bbb יש לגרף הפונקציה אסימפטוטות אנכיות? מה קורה לגרף ליד x=±1x=\pm1x=±1 בערך של bbb שבו אין אסימפטוטה?

ד.

ידוע כי ערך המינימום של f(x)f(x)f(x) הוא 4. מצאו את bbb, ומצאו את מספר הפתרונות של המשוואה f(x)=mf(x)=mf(x)=m לפי ערכי mmm.

שאלה 10 · שאלות קצרות בהדרכה: טרפז חסום, אינדוקציה, זוגיות וגרףשאלה מלאה · קלה

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א-ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.
הסרטוטים לסעיף ד:
סרטוט א
סרטוט ב
סרטוט ג
סרטוט ד

א.

הטרפז ABCDABCDABCD (AB∥CDAB\parallel CDAB∥CD) חסום במעגל, ו-∢DAB=70∘\sphericalangle DAB=70^\circ∢DAB=70∘. מצאו את שאר זוויות הטרפז, והסבירו מדוע הטרפז שווה שוקיים.

ב.

הוכיחו באינדוקציה שהביטוי 5n−15^n-15n−1 מתחלק ב-4 לכל nnn טבעי.

ג.

(1)

נתונה הפונקציה f(x)=x3−4xf(x)=x^3-4xf(x)=x3−4x. הראו ש-f(x)f(x)f(x) אי-זוגית.

(2)

קבעו אם הפונקציה g(x)=f(x)+4g(x)=f(x)+4g(x)=f(x)+4 זוגית, אי-זוגית או לא זוגית ולא אי-זוגית. היעזרו ב-g(1)g(1)g(1) וב-g(−1)g(-1)g(−1).

ד.

(1)

נתונה הפונקציה f(x)=xx2+4f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}f(x)=x2+4​x​. הסבירו מדוע f(x)f(x)f(x) מוגדרת לכל xxx, ומצאו את האסימפטוטות האופקיות שלה.

(2)

הראו ש-f(x)f(x)f(x) עולה לכל xxx, וקבעו איזה מהסרטוטים א-ד הוא גרף הפונקציה. נמקו.

עוד 24 שאלות על תחום הגדרה: שורש במונה ובמכנה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

שאלות קצרות: זווית בין חותכים, אינדוקציה, זהות פונקציות שורש ופונקציית הצטברות (שאלה מלאה · בינונית)
שני ישרים יוצאים מהנקודה $P$ שמחוץ למעגל. הישר הראשון חותך את המעגל בנקודות $A$ ו- $B$ , והישר השני חותך אותו בנקודות $C$ ו- $D$ ( $A$ בין $P$ …
משפחת פונקציות עם שורש במכנה: אסימפטוטות וקיצון לפי הפרמטר ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x+a}{\sqrt{x^2-1}}$ , כאשר $a$ הוא פרמטר.
פונקציית שורש: צמצום, חקירה וגרף של $- f (x + 2)$ (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{(x-3)^2(x+2)}{\sqrt{x+2}}$ .
חקירת $\frac{x ^{3}}{x ^{2} - a ^{2}}$ עם פרמטר, הפונקציות $f^{2}$ ו- $\frac{1}{f ^{2}}$ ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^3}{\sqrt{x^2-a^2}}$ , $a>0$ הוא פרמטר. הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ אם יש צורך.
פונקציית שורש עם פרמטר: מספר נקודות חיתוך עם ישר אופקי ובעיה הפוכה (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{\sqrt{3x^2-kx}}{x^2}$ , $k$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציית שורש וגרף הנגזרת שלה: מונוטוניות, פיתול ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{x^2}$ . בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ , המוגדרת בתחום $x>-1$ , $x\neq0$ . לגרף $f'(x)$ …
שאלות קצרות: מקבילית חסומה, אינדוקציה, זוגיות וגרף של פונקציית שורש (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו כי כל מקבילית שחסומה במעגל היא מלבן.
חיתוך עם ציר ה- $x$ רק בתוך תחום ההגדרה (שאלה קצרה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2+b}{\sqrt{x^2-1}}$ , כאשר $b$ הוא פרמטר (מספר ממשי כלשהו).
פונקציה אי-זוגית עם שורש במכנה: חקירה מודרכת, גרף $f^{''}$ ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}$ . בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים, I-IV: גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:
שאלות קצרות: סכום ריבועי האי-זוגיים, מרובעים בני חסימה, אסימפטוטות של שורש ומשפחה רציונלית (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה או בכל דרך אחרת כי בעבור כל $n$ טבעי מתקיים: $1^2+3^2+5^2+\ldots+(2n-1)^2=\frac{n\cdot(2n-1)\cdot(2n+1)}{3}$
מנת שורשים מול שורש של מנה, עם פרמטר (שאלת ביניים · קשה)
נתונות הפונקציות $f(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x^2-k}}$ ו- $g(x)=\sqrt{\frac{x+2}{x^2-k}}$ , כאשר $k$ פרמטר. נתון כי $g(-3)=\frac14$ .
פונקציית שורש יורדת כנגזרת של $\frac{x}{x + 2}$ : קיצון בקצה, משיקים ואינטגרל של $g \cdot g^{'}$ (מודרך) (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\sqrt x+4}{2(\sqrt x+2)^2}$ .
פונקציית שורש עם פרמטר: היעדר אסימפטוטות, חקירה, $- f (x + 1)$ ו- $∣ f (x) ∣$ ואינטגרלים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{(x-3)(x+2)^2}{\sqrt{x+a}}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי.
שאלות קצרות מודרכות: אינדוקציה על $n$ זוגי, הסתברות מותנית, תחומי הגדרה של שורש, $f^{2} f^{'}$ (שאלה מלאה · קלה)
בדקו כי השוויון מתקיים בעבור $n=2$ ובעבור $n=4$ .
פונקציית שורש מתוך גרף הנגזרת: מונוטוניות, פיתול, זיהוי ביטוי, פרמטר משיפוע ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)$ המוגדרת בתחום: $x\le a$ , $x\neq0$ . $a$ הוא פרמטר חיובי. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . פונקציית…
תחום הגדרה כשהשורש במכנה (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{2x+1}{\sqrt{x^2-2x-8}}+1$ .
פונקציה עם שורש במכנה: חקירה, זיהוי גרף $f^{''}$ ושטח מתחתיו (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x+3}{\sqrt{x^2-1}}$ . בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים, I-IV: גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:
שאלות קצרות: אינדוקציה על מספרים אי-זוגיים, מיתרים נחתכים ודמיון, אסימפטוטות של פונקציית שורש, גרף הפונקציה וגרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת שלכל $n$ טבעי אי-זוגי מתקיים: $6+54+150+\dots+6n^2=n(n+1)(n+2)$
חקירת $\frac{x ( x - 2 )}{( x - 1 ) ^{3}}$ כנגזרת של $\frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ^{2}}$ : קיצון בקצה, משיקים, פיתול ואינטגרל (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x(\sqrt x-2)}{(\sqrt x-1)^3}$ .
פונקציית שורש עם פרמטר: אסימפטוטות שונות ב- $\pm \infty$ , קיצון בקצה, הגרף של $f^{4}$ ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{x}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי. ענו על הסעיפים א-ו. הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ , אם יש צורך.
שאלות קצרות: אינדוקציה על $n$ אי-זוגי, הסתברות מותנית, תחומי הגדרה של פונקציות שורש, $f^{2} f^{'}$ כש- $f$ זוגית (שאלה מלאה · בינונית)
מצאו את הערך של $a$ .
פונקציה עם שורש של שבר: חקירה עם פרמטר, $(f (x))^{2}$ והשוואת אינטגרלים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac1x\sqrt{\frac{3x-k}{x}}$ , $k$ הוא פרמטר חיובי.
שאלות קצרות: אסימפטוטות של פונקציות שורש, סכום סדרה חשבונית, מקסימום של סינוס וקוסינוס ומשפט הסינוסים (שאלה מלאה · בינונית)
$f(x)=\frac{\sqrt{x^2-16}}{2x+3}$
שורש במונה, שורש במכנה ושורש של מנה: תחום, סימן וגרף (שאלת ביניים · בינונית)
נתונות הפונקציות: $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+2}}$ , $g(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{x}$ , $h(x)=\sqrt{\frac{x+2}{x}}$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

פונקציית שורש עם פרמטר: קיצון בקצה התחום, הפונקציה $\frac{1}{f}$ ומשיק משותף · בגרות 571 קיץ 2021 מועד א', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\sqrt{3x^2-4a}}{x^3}$ , $a>0$ הוא פרמטר. בסעיפים א-ה, בטאו את תשובותיכם באמצעות $a$ לפי הצורך.
חקירת $\frac{x ^{2}}{x ^{2} - a ^{2}}$ עם פרמטר, הפונקציות $f^{2}$ ו- $\frac{1}{f ^{2}}$ ושטח · בגרות 571 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{x^2-a^2}}$ , $a>0$ הוא פרמטר. הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ אם יש צורך.
שאלות קצרות: טרפז חסום, אינדוקציה, זוגיות וגרף של פונקציית שורש · בגרות 571 חורף 2021 מועד נבצרים, שאלה 1
הוכיחו כי כל טרפז שחסום במעגל הוא שווה שוקיים.
שאלות קצרות: אינדוקציה, גבהים במשולש, אסימפטוטות של פונקציית שורש והתאמת גרף · בגרות 571 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 1
הוכיחו באינדוקציה או בכל דרך אחרת כי בעבור כל $n$ טבעי מתקיים: $1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2=\frac{n\cdot(n+1)\cdot(2n+1)}{6}$
פונקציית שורש עם פרמטר: היעדר אסימפטוטות, חקירה, $- f (x + 2)$ ו- $∣ f (x) ∣$ ואינטגרלים · בגרות 571 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2-9}{\sqrt{x+a}}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציית שורש מתוך גרף הנגזרת: מונוטוניות, פיתול, זיהוי ביטוי, פרמטר משיפוע ושטח · בגרות 571 קיץ 2023 מועד א', שאלה 7
נתונה הפונקציה $f(x)$ המוגדרת בתחום: $x\le a$ , $x\neq0$ . $a$ הוא פרמטר חיובי. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . פונקציית הנגזרת $f'(x)$ מוגדרת…
פונקציה עם שורש במכנה: אסימפטוטות שונות ב- $\pm \infty$ , זיהוי גרף $f^{''}$ ושטח מתחתיו · בגרות 571 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{4x}{\sqrt{x^2+x}}$ . בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים, I-IV: גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:
שאלות קצרות: אינדוקציה על מספרים זוגיים, מרובע חסום ודמיון, אסימפטוטות של פונקציית שורש, גרף הפונקציה וגרף הנגזרת · בגרות 571 חורף 2024, שאלה 1
הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת שלכל $n$ טבעי זוגי מתקיים: $48+144+288+\dots+6n(n+2)=n(n+2)(n+4)$
חקירת $\frac{x - 4}{( x - 2 ) ^{2}}$ כנגזרת של $\frac{2 x}{x - 2}$ : קיצון בקצה, משיקים, פיתול ואינטגרל של $g \cdot g^{'}$ · בגרות 571 חורף 2024, שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\sqrt x-4}{(\sqrt x-2)^2}$ .
פונקציית שורש עם פרמטר: אסימפטוטות שונות ב- $\pm \infty$ , אי-זוגיות, הגרף של $\frac{1}{f ^{2}}$ ושטח · בגרות 571 קיץ 2025 מועד א', שאלה 6
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-a^2}}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי. ענו על הסעיפים א-ו. הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ , אם יש צורך.
שאלות קצרות: אינדוקציה על $n$ זוגי, הסתברות מותנית, תחומי הגדרה של פונקציות שורש, $f^{2} f^{'}$ כש- $f$ נתונה בגרף · בגרות 571 חורף 2025, שאלה 1
מצאו את הערך של $a$ .
פונקציית שורש במונה: חקירה עם פרמטר, $(f (x))^{2}$ והשוואת אינטגרלים · בגרות 571 חורף 2026, שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\sqrt{5x^2-kx}}{x^3}$ , $k$ הוא פרמטר חיובי.
שאלות קצרות: אסימפטוטות של פונקציות שורש, סכום סדרה חשבונית, מקסימום של סינוס ומשפט הסינוסים · מבחן לדוגמה 3 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 1
ענה על שלושה מארבעת הסעיפים בשאלה.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (4)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

חקירת פונקציה עם שורש במכנה והזזה אנכית (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{3}{\sqrt{1-x^2}}$ .
חקירת פונקציה עם שורש במכנה והזזה אנכית (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}$ .
פונקציה עם שורש ופרמטר: משיק דרך הראשית (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{4}{\sqrt{a-x^2}}$ , $a>0$ הוא פרמטר.
עלייה, ירידה ונקודות קיצון, כולל קיצון בקצה תחום ההגדרה (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{6}{\sqrt{x^2-6x+13}}$ .