מבחן לדוגמה: אסימפטוטות אנכיות של פונקציות שורש - כיתה י"א 5 יח"ל

מצאו את נקודות החיתוך של גרף $f(x)$ עם הצירים (אם יש כאלה) ואת האסימפטוטות האנכיות שלה.

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)$, הראו כי $f(x)$ היא פונקציה אי-זוגית, והסבירו מדוע הגרף אינו חותך את הצירים.

מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים.

הראו כי $f'(x)=\frac{-4}{(x^2-4)^{\frac32}}$, ומצאו את תחומי העלייה והירידה של $f(x)$.

נתון כי לפונקציה $f(x)$ אין נקודות פיתול.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

קבעו איזה מן הגרפים I-IV שבסוף השאלה מתאר את גרף הנגזרת השנייה $f''(x)$. נמקו את קביעתכם.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף $f''(x)$, על ידי ציר ה-$x$ ועל ידי הישרים $x=3$ ו-$x=4$. היעזרו בכך ש-$f'(x)$ היא פונקציה קדומה של $f''(x)$.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה-$x$ (אם יש כאלה).

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה $f(x)$ (אם יש כאלה).

מצאו את האסימפטוטות של $f(x)$ המאונכות לציר ה-$x$.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

לפניכם שלושה ביטויים:

סדרו אותם מהקטן לגדול. פרטו את שיקוליכם.

חשבו את ערכו של הביטוי הגדול מבין השלושה.

הוכיחו באינדוקציה או בכל דרך אחרת כי בעבור כל $n$ טבעי מתקיים: $1^2+3^2+5^2+\ldots+(2n-1)^2=\frac{n\cdot(2n-1)\cdot(2n+1)}{3}$

במשולש חד-זווית $ABC$, הגבהים $BE$ ו-$CF$ נפגשים בנקודה $H$ (ראו סרטוט). נתון: $BC=12$, $AH=8$.

נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{2x+1}{\sqrt{x^2-2x-8}}+1$.

נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{a\cdot(x-1)}{x^2-9}$, המוגדרת עבור: $x\neq3$ ו-$x\neq-3$, $a\neq0$ הוא פרמטר. אחד מן הגרפים א-ה שלפניכם מתאים לפונקציה $f(x)$ בעבור $a>0$, ואחד מהם מתאים לפונקציה $f(x)$ בעבור $a<0$.

$f(x)=\frac{\sqrt{x^2-16}}{2x+3}$

$g(x)=\frac{\sqrt{16-x^2}}{x+4}$

נתונה גם הפונקציה: $g(x)=\frac{1}{f(x)}$.

מהו תחום ההגדרה של הפונקציה $g(x)$?

מה הן משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה $g(x)$, אם יש כאלה?

קבעו, לכל אחת מהאסימפטוטות האנכיות של $g(x)$, מאיזה צד (או מאילו צדדים) גרף הפונקציה $g(x)$ מתקרב אליה, והאם $g(x)$ שואפת שם ל-$\infty$ או ל-$-\infty$.