מבחן לדוגמה: משיק אנכי ונקודות שבהן הנגזרת אינה מוגדרת - כיתה י"א 5 יח"ל

מצאו את ערך $a$ שעבורו המשיק לגרף הפונקציה בנקודה $(-3,0)$ אינו אנכי, ומצאו עבורו את משוואת המשיק בנקודה זו.

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)$ ואת תחום ההגדרה של $f'(x)$.

הראו כי $f'(x)=2+\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}$, ומצאו את נקודת החיתוך של גרף $f'(x)$ עם ציר ה-$x$.

מצאו את נקודות הקיצון של $f(x)$ (כולל נקודות קצה של תחום ההגדרה) וקבעו את סוגן.

ידוע כי $f'(x)$ יורדת בכל אחד מהתחומים $x<-2$ ו-$x>2$.

מצאו את האסימפטוטות האופקיות של $f'(x)$, והסבירו מדוע אין לגרף $f(x)$ משיק ששיפועו 2.

מצאו את משוואות המשיקים האנכיים לגרף הפונקציה.

המשיק בנקודה שבה $x=t$ חותך את המשיק האנכי $x=4$ בנקודה $A$ ואת המשיק האנכי $x=-4$ בנקודה $B$. הביעו באמצעות $t$ את המכפלה $y_A\cdot y_B$ של שיעורי ה-$y$ של $A$ ושל $B$, ופשטו ככל האפשר.

בכמה נקודות על גרף $g$ המשיק אופקי, ובכמה נקודות המשיק אנכי? נמקו.

בסרטוט שלפניכם מעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $R$. דרך הנקודות $A$ ו-$E$ שעל המעגל העבירו שני משיקים, הנחתכים בנקודה $K$. אורך המשיק $KA$ גדול פי 2 מרדיוס המעגל. הקטע $KO$ חותך את המעגל בנקודה $B$.

קשת יורה חצים במטרה. כל חץ פוגע במרכז המטרה, פוגע בטבעת החיצונית של המטרה או מחטיא את המטרה. ההסתברות שחץ יפגע בטבעת החיצונית קבועה וגדולה פי 4 מן ההסתברות שהוא יפגע במרכז המטרה. נסמן ב-$p$ את ההסתברות שחץ יפגע במרכז המטרה. הקשת יורה שני חצים, והתוצאות של חצים שונים בלתי תלויות זו בזו.

נתונה הפונקציה $f(x)=\sqrt{x^2-9}-\sqrt{x+5}$.

נתונה סדרה אין-סופית שאיבריה מקיימים: $a_n=\frac{\cos\left(\frac{4^n\pi}{3}\right)}{3^n}$ לכל $n$ טבעי.

הראו כי $x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)$, ומצאו את תחום ההגדרה של $f(x)$.

מצאו את $f'(x)$, ומצאו את הנקודות שבתחום ההגדרה של $f(x)$ שבהן $f'(x)$ אינה מוגדרת.

קבעו בכל אחת מהנקודות שמצאתם בסעיף ב אם יש בה לגרף משיק אנכי. אם יש, כתבו את משוואתו; אם אין, מצאו את השיפועים של הגרף משני צדי הנקודה ותארו את הגרף בה. (היעזרו בכך ש-$\sqrt{(x-1)^2}=|x-1|$.)