מבחן לדוגמה: נגזרת וחקירה: מנה עם שורש - כיתה י"א 5 יח"ל

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)$ ואת משוואות האסימפטוטות של $f(x)$ המקבילות לציר ה-$x$. (היעזרו בכך ש-$\sqrt{x^2}=|x|$.)

הוכיחו כי $f(x)$ היא פונקציה אי-זוגית.

הראו כי $f'(x)=\frac{10}{(x^2+5)^{\frac32}}$, וקבעו את תחומי העלייה והירידה של $f(x)$.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{1}{(f(x))^2}$, המוגדרת לכל $x\ne0$.

הראו כי $g(x)=\frac14+\frac{5}{4x^2}$, וחשבו את השטח המוגבל על ידי גרף $g(x)$, ציר ה-$x$ והישרים $x=1$ ו-$x=5$.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$.

הוכיחו כי $f(x)$ אי-זוגית.

הראו כי $f'(x)=\frac{36-6x^2}{x^4\sqrt{3x^2-12}}$, ומצאו את שיעורי נקודות הקיצון של $f(x)$ (כולל בקצוות התחום) וקבעו את סוגן.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{1}{f(x)}$. מצאו את תחום ההגדרה של $g(x)$ ואת משוואות האסימפטוטות האנכיות שלה.

מצאו את ערכי $a$ שעבורם יש לפונקציה נקודת קיצון שאינה בקצה תחום ההגדרה. עבור ערכים אלה מצאו את שיעורי הנקודה (הביעו באמצעות $a$) וקבעו את סוגה.

מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגן.

מצאו את ערכי $k$ שעבורם למשוואה $f(x)=k$ יש בדיוק ארבעה פתרונות.

הראו כי $f'(x)=-\frac{\sqrt x+6}{4\sqrt x(\sqrt x+2)^3}$, ומצאו את נקודת הקיצון של $f(x)$ וקבעו את סוגה.

נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{x}{\sqrt x+2}$, המוגדרת לכל $x\ge0$.

הראו כי לכל $x>0$ מתקיים $g'(x)=f(x)$.

קבעו אם יש לגרף הפונקציה $g(x)$ משיק ששיפועו 1, ואם יש לפונקציה $g(x)$ נקודת פיתול. נמקו.

הביעו באמצעות $k$ את תחום ההגדרה של $f(x)$, ומצאו את משוואות האסימפטוטות של $f(x)$ המאונכות לצירים.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של $f(x)$ וקבעו את סוגן (הביעו באמצעות $k$).

נתון כי הישר $y=\frac14$ חותך את גרף הפונקציה $f(x)$ בדיוק בשתי נקודות. מצאו את $k$.

עבור $k$ שמצאתם, חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $g(x)=(f(x))^2$, על ידי ציר ה-$x$ ועל ידי הישר $x=4$.