שאלות פתוחות: נגזרת וחקירה: מנה עם שורש - כיתה י"א 5 יח"ל

תרגול נגזרת וחקירה של מנה עם שורש לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות חוקרים פונקציות כמו (x+5)/√(x+1), x/√(x-1) ו-(x²+3)/√(x²-1), חלקן עם שרטוט נתון, ופונקציות עם פרמטר שבהן בודקים כיצד הפרמטר משפיע על מספר נקודות הקיצון. רוב השאלות בינוניות, ויש קלות וקשות. אפשר להרכיב מהן מבחן בחקירת פונקציות שורש, בוחן או דף עבודה, עם פתרונות מלאים וייצוא ל-Word.

51 שאלותקלה: 12בינונית: 30קשה: 9

שאלה 1 · נגזרת וחקירה: מנה עם שורששאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=x+5x+1f(x)=\frac{x+5}{\sqrt{x+1}}f(x)=x+1​x+5​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה ואת משוואת האסימפטוטה האנכית שלה.

ב.

מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה.

שאלה 2 · נגזרת וחקירה: מנה עם שורששאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=xx−1f(x)=\frac{x}{\sqrt{x-1}}f(x)=x−1​x​. בסרטוט שלפניכם גרף הפונקציה.
y=f(x)
2468246

האם קיים משיק לגרף הפונקציה העובר דרך ראשית הצירים? אם כן - מצאו את נקודת ההשקה; אם לא - נמקו.

שאלה 3 · פונקציית שורש זוגית עם פרמטר: מספר נקודות המפגש של $f$ ו- $\frac{1}{f}$ שאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=x2−ax2f(x)=\frac{\sqrt{x^2-a}}{x^2}f(x)=x2x2−a​​, a>0a>0a>0 הוא פרמטר. נתונה גם הפונקציה g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}g(x)=f(x)1​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x), קבעו אם היא זוגית או אי-זוגית, ומצאו את משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

ב.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) (כולל בקצוות התחום) וקבעו את סוגן.

ג.

מצאו, לכל ערך של aaa, את מספר נקודות המפגש של הגרפים של f(x)f(x)f(x) ושל g(x)g(x)g(x).

ד.

עבור הערך של aaa שבעבורו יש לגרפים בדיוק שתי נקודות מפגש, מצאו את שיעורי נקודות המפגש, והראו שבכל אחת מהן יש לגרפים משיק משותף. מה משוואתו?

שאלה 4 · פונקציית שורש במונה: קיצון בקצה התחום והפונקציה $\frac{1}{f}$ שאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=3x2−12x3f(x)=\frac{\sqrt{3x^2-12}}{x^3}f(x)=x33x2−12​​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ב.

הוכיחו כי f(x)f(x)f(x) אי-זוגית.

ג.

הראו כי f′(x)=36−6x2x43x2−12f'(x)=\frac{36-6x^2}{x^4\sqrt{3x^2-12}}f′(x)=x43x2−12​36−6x2​, ומצאו את שיעורי נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) (כולל בקצוות התחום) וקבעו את סוגן.

ד.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ה.

נתונה הפונקציה g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}g(x)=f(x)1​. מצאו את תחום ההגדרה של g(x)g(x)g(x) ואת משוואות האסימפטוטות האנכיות שלה.

שאלה 5 · נגזרת וחקירה: מנה עם שורששאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x2+3x2−1f(x)=\frac{x^2+3}{\sqrt{x^2-1}}f(x)=x2−1​x2+3​.

א.

מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגן.

ב.

מצאו את ערכי kkk שעבורם למשוואה f(x)=kf(x)=kf(x)=k יש בדיוק ארבעה פתרונות.

שאלה 6 · משפחה של מנות עם שורש: חיתוכים, קיצון ואסימפטוטות לפי פרמטרשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=x2+bx2−1f(x)=\frac{x^2+b}{\sqrt{x^2-1}}f(x)=x2−1​x2+b​, כאשר bbb הוא פרמטר (מספר ממשי כלשהו).

א.

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x). לאילו ערכים של bbb גרף הפונקציה חותך את ציר ה-xxx? מצאו את נקודות החיתוך באמצעות bbb.

ב.

חקרו: לאילו ערכים של bbb יש לפונקציה נקודות קיצון? מצאו אותן באמצעות bbb וקבעו את סוגן.

ג.

לאילו ערכים של bbb יש לגרף הפונקציה אסימפטוטות אנכיות? מה קורה לגרף ליד x=±1x=\pm1x=±1 בערך של bbb שבו אין אסימפטוטה?

ד.

ידוע כי ערך המינימום של f(x)f(x)f(x) הוא 4. מצאו את bbb, ומצאו את מספר הפתרונות של המשוואה f(x)=mf(x)=mf(x)=m לפי ערכי mmm.

שאלה 7 · חקירה מודרכת של מנה עם שורש במכנה ושל ריבוע הפונקציהשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=x2+5x2−4f(x)=\frac{x^2+5}{\sqrt{x^2-4}}f(x)=x2−4​x2+5​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x), והוכיחו כי f(x)f(x)f(x) זוגית.

ב.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף f(x)f(x)f(x) עם הצירים (אם יש כאלה) ואת האסימפטוטות האנכיות שלה.

ג.

הראו כי f′(x)=x(x2−13)(x2−4)32f'(x)=\frac{x(x^2-13)}{(x^2-4)^{\frac32}}f′(x)=(x2−4)23​x(x2−13)​, ומצאו את נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) ואת סוגן.

ד.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ה.

מצאו את נקודות הקיצון של (f(x))2(f(x))^2(f(x))2 ושל 1(f(x))2\frac{1}{(f(x))^2}(f(x))21​, וקבעו את סוגן.

שאלה 8 · נגזרת וחקירה: מנה עם שורששאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=xx−af(x)=\frac{\sqrt{x}}{x-a}f(x)=x−ax​​, כאשר a≠0a\ne0a=0 פרמטר.

מצאו את ערכי aaa שעבורם יש לפונקציה נקודת קיצון שאינה בקצה תחום ההגדרה. עבור ערכים אלה מצאו את שיעורי הנקודה (הביעו באמצעות aaa) וקבעו את סוגה.

שאלה 9 · משפחת פונקציות שורש עם חזקה טבעית: זוגיות החזקה מגרף הנגזרתשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=a−xxnf(x)=\frac{\sqrt{a-x}}{x^n}f(x)=xna−x​​, המוגדרת בתחום x≤ax\le ax≤a, x≠0x\neq0x=0, כאשר aaa פרמטר חיובי ו-nnn מספר טבעי. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x) (בתחום x<ax<ax<a, x≠0x\neq0x=0).
f′(x)
a

א.

הביעו את f′(x)f'(x)f′(x) באמצעות aaa ו-nnn.

ב.

היעזרו בסרטוט וקבעו אם nnn זוגי או אי-זוגי. נמקו.

ג.

נתון: f(−1)=2f(-1)=2f(−1)=2, ושיפוע המשיק לגרף f(x)f(x)f(x) בנקודה שבה x=−1x=-1x=−1 הוא 314\frac{31}4431​.

מצאו את aaa ואת nnn.

ד.

הציבו את הערכים שמצאתם וחשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה (f(x))2(f(x))^2(f(x))2, על ידי ציר ה-xxx ועל ידי הישר x=1x=1x=1.

שאלה 10 · פונקציה אי-זוגית עם שורש במכנה: חקירה מודרכת, גרף $f^{''}$ ושטחשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=xx2−4f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}f(x)=x2−4​x​.
בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים, I-IV:
גרף I
גרף II
גרף III
גרף IV

א.

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x), הראו כי f(x)f(x)f(x) היא פונקציה אי-זוגית, והסבירו מדוע הגרף אינו חותך את הצירים.

ב.

מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים.

ג.

הראו כי f′(x)=−4(x2−4)32f'(x)=\frac{-4}{(x^2-4)^{\frac32}}f′(x)=(x2−4)23​−4​, ומצאו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x)f(x).

ד.

נתון כי לפונקציה f(x)f(x)f(x) אין נקודות פיתול.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ה.

קבעו איזה מן הגרפים I-IV שבסוף השאלה מתאר את גרף הנגזרת השנייה f′′(x)f''(x)f′′(x). נמקו את קביעתכם.

ו.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף f′′(x)f''(x)f′′(x), על ידי ציר ה-xxx ועל ידי הישרים x=3x=3x=3 ו-x=4x=4x=4. היעזרו בכך ש-f′(x)f'(x)f′(x) היא פונקציה קדומה של f′′(x)f''(x)f′′(x).

עוד 28 שאלות על נגזרת וחקירה: מנה עם שורש

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

נגזרת וחקירה: מנה עם שורש (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x+a}{\sqrt{x^2+4}}$ , כאשר $a$ פרמטר.
משפחת פונקציות עם שורש במכנה: אסימפטוטות וקיצון לפי הפרמטר ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x+a}{\sqrt{x^2-1}}$ , כאשר $a$ הוא פרמטר.
פונקציית שורש יורדת כנגזרת של $\frac{x}{x + 2}$ : קיצון בקצה, משיקים ואינטגרל של $g \cdot g^{'}$ (מודרך) (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\sqrt x+4}{2(\sqrt x+2)^2}$ .
נגזרת וחקירה: מנה עם שורש (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\sqrt{x^2-4x+8}$ .
פונקציית שורש עם פרמטר במונה: אסימפטוטה שנעלמת, קיום קיצון ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x+b}{\sqrt{x^2-4}}$ , כאשר $b$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציית שורש: אסימפטוטות שונות ב- $\pm \infty$ , אי-זוגיות ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2x}{\sqrt{x^2+5}}$ .
נגזרת וחקירה: מנה עם שורש (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\sqrt{x-2}}{x}$ .
פונקציית שורש עם פרמטר: מספר נקודות חיתוך עם ישר אופקי ובעיה הפוכה (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{\sqrt{3x^2-kx}}{x^2}$ , $k$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציית שורש מעל $x^{2}$ : חקירה, $(f (x))^{2}$ והשוואת אינטגרלים (מודרך) (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{\sqrt{x-3}}{x^2}$ .
חקירת $\frac{x ^{3}}{x ^{2} - a ^{2}}$ עם פרמטר, הפונקציות $f^{2}$ ו- $\frac{1}{f ^{2}}$ ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^3}{\sqrt{x^2-a^2}}$ , $a>0$ הוא פרמטר. הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ אם יש צורך.
משפחת פונקציות שורש: ישר דרך הראשית, מספר נקודות חיתוך ושטח (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+a}}$ , כאשר $a>0$ הוא פרמטר.
נגזרת של מנה עם שורש במונה: קיצון פנימי וקיצון בקצה (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{\sqrt{x-3}}{x^2}$ , המוגדרת בתחום $x\ge3$ .
נגזרת וחקירה: מנה עם שורש (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x+2}{\sqrt{x-1}}$ .
קיצון של מנה אי-זוגית עם שורש בשני ענפים (שאלה קצרה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\sqrt{3x^2-12}}{x^3}$ . תחום ההגדרה של הפונקציה: $x\le-2$ או $x\ge2$ , והפונקציה אי-זוגית.
שאלות קצרות: מקבילית חסומה, אינדוקציה, זוגיות וגרף של פונקציית שורש (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו כי כל מקבילית שחסומה במעגל היא מלבן.
נגזרת של מנה עם שורש, פונקציה קדומה שהיא מנה, ומשיקים ונקודות פיתול (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\sqrt x+4}{2(\sqrt x+2)^2}$ , המוגדרת בתחום $x\ge0$ . ידוע כי $f(x)>0$ לכל $x$ בתחום, וכי $f(0)=\frac12$ .
פונקציית שורש עם פרמטר: היעדר אסימפטוטות, חקירה, $- f (x + 1)$ ו- $∣ f (x) ∣$ ואינטגרלים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{(x-3)(x+2)^2}{\sqrt{x+a}}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציית שורש מתוך גרף הנגזרת: מונוטוניות, פיתול, זיהוי ביטוי, פרמטר משיפוע ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)$ המוגדרת בתחום: $x\le a$ , $x\neq0$ . $a$ הוא פרמטר חיובי. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . פונקציית…
נגזרת וחקירה: מנה עם שורש (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{\sqrt{a-x}}{x}$ , המוגדרת בתחום $x\le a$ , $x\neq0$ . $a$ הוא פרמטר חיובי. שיפוע המשיק לגרף $f(x)$ בנקודה שבה $x=-2$ …
פונקציה עם שורש במכנה: חקירה, זיהוי גרף $f^{''}$ ושטח מתחתיו (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x+3}{\sqrt{x^2-1}}$ . בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים, I-IV: גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:
חקירת $\frac{x ( x - 2 )}{( x - 1 ) ^{3}}$ כנגזרת של $\frac{x ^{2}}{( x - 1 ) ^{2}}$ : קיצון בקצה, משיקים, פיתול ואינטגרל (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x(\sqrt x-2)}{(\sqrt x-1)^3}$ .
משפחת הפונקציות $\frac{x + k}{x}$ : משיקים לפי שיפוע, משיק בנקודת פיתול ואינטגרל שמתאפס (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{x+k}{\sqrt x}$ , כאשר $k>0$ הוא פרמטר. נסמן $f(x)=g'(x)$ .
פונקציית שורש עם פרמטר: אסימפטוטות שונות ב- $\pm \infty$ , קיצון בקצה, הגרף של $f^{4}$ ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{x}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי. ענו על הסעיפים א-ו. הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ , אם יש צורך.
נגזרת וחקירה: מנה עם שורש (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{x^2-4}}$ .
פונקציה עם שורש של שבר: חקירה עם פרמטר, $(f (x))^{2}$ והשוואת אינטגרלים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac1x\sqrt{\frac{3x-k}{x}}$ , $k$ הוא פרמטר חיובי.
נגזרת וחקירה: מנה עם שורש (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{\sqrt{x^2-9}}{x^2}$ .
מנה עם שורש במכנה: אפס של הנגזרת מחוץ לתחום (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x+3}{\sqrt{x^2-1}}$ . תחום ההגדרה של הפונקציה: $x<-1$ או $x>1$ .
קיצון, סקיצה וריבוע של פונקציה עם שורש של מנה (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac1x\sqrt{\frac{3x-9}{x}}$ . תחום ההגדרה של הפונקציה: $x<0$ או $x\ge3$ . הישר $x=0$ הוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

פונקציית שורש עם פרמטר: קיצון בקצה התחום, הפונקציה $\frac{1}{f}$ ומשיק משותף · בגרות 571 קיץ 2021 מועד א', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\sqrt{3x^2-4a}}{x^3}$ , $a>0$ הוא פרמטר. בסעיפים א-ה, בטאו את תשובותיכם באמצעות $a$ לפי הצורך.
חקירת $\frac{x ^{2}}{x ^{2} - a ^{2}}$ עם פרמטר, הפונקציות $f^{2}$ ו- $\frac{1}{f ^{2}}$ ושטח · בגרות 571 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{x^2-a^2}}$ , $a>0$ הוא פרמטר. הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ אם יש צורך.
פונקציית שורש עם פרמטר: היעדר אסימפטוטות, חקירה, $- f (x + 2)$ ו- $∣ f (x) ∣$ ואינטגרלים · בגרות 571 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2-9}{\sqrt{x+a}}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציית שורש מתוך גרף הנגזרת: מונוטוניות, פיתול, זיהוי ביטוי, פרמטר משיפוע ושטח · בגרות 571 קיץ 2023 מועד א', שאלה 7
נתונה הפונקציה $f(x)$ המוגדרת בתחום: $x\le a$ , $x\neq0$ . $a$ הוא פרמטר חיובי. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . פונקציית הנגזרת $f'(x)$ מוגדרת…
פונקציה עם שורש במכנה: אסימפטוטות שונות ב- $\pm \infty$ , זיהוי גרף $f^{''}$ ושטח מתחתיו · בגרות 571 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{4x}{\sqrt{x^2+x}}$ . בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים, I-IV: גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:
חקירת $\frac{x - 4}{( x - 2 ) ^{2}}$ כנגזרת של $\frac{2 x}{x - 2}$ : קיצון בקצה, משיקים, פיתול ואינטגרל של $g \cdot g^{'}$ · בגרות 571 חורף 2024, שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\sqrt x-4}{(\sqrt x-2)^2}$ .
פונקציית שורש עם פרמטר: אסימפטוטות שונות ב- $\pm \infty$ , אי-זוגיות, הגרף של $\frac{1}{f ^{2}}$ ושטח · בגרות 571 קיץ 2025 מועד א', שאלה 6
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-a^2}}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי. ענו על הסעיפים א-ו. הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ , אם יש צורך.
פונקציית שורש במונה: חקירה עם פרמטר, $(f (x))^{2}$ והשוואת אינטגרלים · בגרות 571 חורף 2026, שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\sqrt{5x^2-kx}}{x^3}$ , $k$ הוא פרמטר חיובי.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (5)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

חקירת פונקציה עם שורש במכנה והזזה אנכית (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{3}{\sqrt{1-x^2}}$ .
חקירת פונקציה עם שורש במכנה והזזה אנכית (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}$ .
פונקציה עם שורש ופרמטר: משיק דרך הראשית (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{4}{\sqrt{a-x^2}}$ , $a>0$ הוא פרמטר.
עלייה, ירידה ונקודות קיצון, כולל קיצון בקצה תחום ההגדרה (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{6}{\sqrt{x^2-6x+13}}$ .
מציאת פרמטר על סמך נתון (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{8}{\sqrt{16-x^2}}$ .