מבחן לדוגמה: קעירות כלפי מעלה וכלפי מטה וסימן הנגזרת השנייה - כיתה י"א 5 יח"ל

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)$ ואת משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

הראו כי $f'(x)=\frac{-12(x^2+3)}{(x^2-9)^3}$, ומצאו את תחומי העלייה והירידה של $f(x)$.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

$g(x)$ היא פונקציה המקיימת $g'(x)=f(x)$, וגרפה עובר בנקודה $(0,0)$. מצאו את $g(x)$. (הדרכה: $4x=2\cdot2x$, ו-$2x$ היא הנגזרת של $x^2-9$.)

היעזרו בסעיף ב, ומצאו את תחומי הקעירות כלפי מעלה וכלפי מטה של $g(x)$.

הוכיחו באינדוקציה כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $1+2+2^2+\ldots+2^{n-1}=2^n-1$

מנקודה P שמחוץ למעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$ מעבירים שני משיקים למעגל. המשיקים נוגעים במעגל בנקודות A ו-B (ראו סרטוט).

נתונות הפונקציות: $f(x)=\sqrt{x^2(x+3)}$, $k(x)=x\sqrt{x+3}$.

לפניכם גרף של פונקציה $f(x)$, המוגדרת לכל $x\neq0$. הישרים $x=0$ ו-$y=0$ הם אסימפטוטות של $f(x)$, $f(x)>0$ בכל תחום הגדרתה, ו-$f(x)$ קעורה כלפי מעלה בכל תחום הגדרתה.

קבעו באילו תחומים $f'(x)>0$ ובאילו $f'(x)<0$. נמקו.

האם $f'(x)$ עולה או יורדת בכל אחד מהתחומים $x<0$ ו-$x>0$? נמקו.

הראו כי $f'(x)=\frac{-12(x^2+3)}{(x^2-9)^3}$, ומצאו את תחומי העלייה והירידה של $f(x)$.

היעזרו בסעיף א, ומצאו את תחומי הקעירות כלפי מעלה וכלפי מטה של $g(x)$.

הוכיחו שגם הפונקציה $s(x)=f(x)+g(x)$ קעורה כלפי מעלה בכל התחום.

הפונקציות $f(x)=x^2$ ו-$g(x)=(x-1)^2$ קעורות כלפי מעלה בכל התחום. מצאו את התחום שבו המכפלה $h(x)=f(x)\cdot g(x)$ קעורה כלפי מטה ($\cap$), והסיקו שהטענה "מכפלה של שתי פונקציות קעורות כלפי מעלה קעורה כלפי מעלה" אינה נכונה.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה $f(x)$.

מצאו את תחומי הקעירות כלפי מעלה ($\cup$) וכלפי מטה ($\cap$) של הפונקציה $f(x)$ (אם יש כאלה).