שאלות פתוחות: קעירות כלפי מעלה וכלפי מטה וסימן הנגזרת השנייה - כיתה י"א 5 יח"ל

הוכיחו באינדוקציה כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $1+2+2^2+\ldots+2^{n-1}=2^n-1$

מנקודה P שמחוץ למעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$ מעבירים שני משיקים למעגל. המשיקים נוגעים במעגל בנקודות A ו-B (ראו סרטוט).

נתונות הפונקציות: $f(x)=\sqrt{x^2(x+3)}$, $k(x)=x\sqrt{x+3}$.

לפניכם גרף של פונקציה $f(x)$, המוגדרת לכל $x\neq0$. הישרים $x=0$ ו-$y=0$ הם אסימפטוטות של $f(x)$, $f(x)>0$ בכל תחום הגדרתה, ו-$f(x)$ קעורה כלפי מעלה בכל תחום הגדרתה.

מצאו את כל ערכי $a$ שעבורם לפונקציה אין נקודות פיתול.

הציבו $a=5$, ומצאו את תחומי הקעירות כלפי מעלה ($\cup$) וכלפי מטה ($\cap$) של הפונקציה.

מצאו את תחום ההגדרה, את האסימפטוטות המאונכות לצירים ואת תחומי העלייה והירידה של $f(x)$.

מצאו את $g(x)$, את משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים ואת תחומי הקעירות שלה.

מצאו את מספר הפתרונות של המשוואה $g(x)=m$ לכל ערך של $m$.

השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $f(x)$, על ידי ציר ה-$x$ ועל ידי הישרים $x=0$ ו-$x=\sqrt{\frac a2}$ הוא $\frac32$. מצאו את $a$.

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)$, הראו כי $f(x)$ היא פונקציה אי-זוגית, והסבירו מדוע הגרף אינו חותך את הצירים.

מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים.

הראו כי $f'(x)=\frac{-4}{(x^2-4)^{\frac32}}$, ומצאו את תחומי העלייה והירידה של $f(x)$.

נתון כי לפונקציה $f(x)$ אין נקודות פיתול.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

קבעו איזה מן הגרפים I-IV שבסוף השאלה מתאר את גרף הנגזרת השנייה $f''(x)$. נמקו את קביעתכם.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף $f''(x)$, על ידי ציר ה-$x$ ועל ידי הישרים $x=3$ ו-$x=4$. היעזרו בכך ש-$f'(x)$ היא פונקציה קדומה של $f''(x)$.

מצאו את תחומי הקעירות כלפי מעלה ($\cup$) וכלפי מטה ($\cap$) של הפונקציה.

מצאו את שיעורי נקודות הפיתול של הפונקציה.

הוכיחו שגם הפונקציה $s(x)=f(x)+g(x)$ קעורה כלפי מעלה בכל התחום.

הפונקציות $f(x)=x^2$ ו-$g(x)=(x-1)^2$ קעורות כלפי מעלה בכל התחום. מצאו את התחום שבו המכפלה $h(x)=f(x)\cdot g(x)$ קעורה כלפי מטה ($\cap$), והסיקו שהטענה "מכפלה של שתי פונקציות קעורות כלפי מעלה קעורה כלפי מעלה" אינה נכונה.

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)$ ואת משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

הראו כי $f'(x)=\frac{-12(x^2+3)}{(x^2-9)^3}$, ומצאו את תחומי העלייה והירידה של $f(x)$.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

$g(x)$ היא פונקציה המקיימת $g'(x)=f(x)$, וגרפה עובר בנקודה $(0,0)$. מצאו את $g(x)$. (הדרכה: $4x=2\cdot2x$, ו-$2x$ היא הנגזרת של $x^2-9$.)

היעזרו בסעיף ב, ומצאו את תחומי הקעירות כלפי מעלה וכלפי מטה של $g(x)$.

מצאו את כל ערכי $a$ שעבורם הפונקציה קעורה כלפי מטה ($\cap$) בכל הקטע $0<x<1$.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה $f(x)$.

מצאו את תחומי הקעירות כלפי מעלה ($\cup$) וכלפי מטה ($\cap$) של הפונקציה $f(x)$ (אם יש כאלה).

מצאו את תחומי הקעירות כלפי מעלה ($\cup$) וכלפי מטה ($\cap$) של הפונקציה.