מבחן לדוגמה: נקודות פיתול: הגדרה ומציאה - כיתה י"א 5 יח"ל

מבחן במתמטיקה - כיתה י"א 5 יח"ל

נקודות פיתול: הגדרה ומציאה

6 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון

שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · נקודות פיתול: הגדרה ומציאהשאלה קצרה · קלה

לפונקציה f(x)=x3+ax2+bx+cf(x)=x^3+ax^2+bx+cf(x)=x3+ax2+bx+c יש נקודות קיצון בנקודות שבהן x=−1x=-1x=−1 ו-x=5x=5x=5.

א.

מצאו את aaa ואת bbb, ומצאו את שיעור ה-xxx של נקודת הפיתול של הפונקציה.

ב.

נתון גם כי נקודת הפיתול של הפונקציה נמצאת על ציר ה-xxx. מצאו את ccc.

שאלה 2 · חקירת $\frac{2}{1 - c o s x}$ : אסימפטוטות, זוגיות, קיצון, קעירות ושטח מתחת לגרף הנגזרתשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=21−cos⁡(x)f(x)=\frac{2}{1-\cos(x)}f(x)=1−cos(x)2​, בתחום −2π≤x≤2π-2\pi\le x\le2\pi−2π≤x≤2π.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x) ואת האסימפטוטות שלה המאונכות לציר ה-xxx.

ב.

האם f(x)f(x)f(x) זוגית, אי-זוגית או לא זוגית ולא אי-זוגית? הוכיחו.

ג.

הראו כי f′(x)=−2sin⁡x(1−cos⁡x)2f'(x)=-\frac{2\sin x}{(1-\cos x)^2}f′(x)=−(1−cosx)22sinx​, ומצאו את נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) בתחום הנתון וקבעו את סוגן.

ד.

נתון: f′′(x)=2(cos⁡x+2)(1−cos⁡x)2f''(x)=\frac{2(\cos x+2)}{(1-\cos x)^2}f′′(x)=(1−cosx)22(cosx+2)​.

הראו שלפונקציה אין נקודות פיתול, וסרטטו סקיצה של גרף f(x)f(x)f(x) בתחום −2π≤x≤2π-2\pi\le x\le2\pi−2π≤x≤2π.

ה.

חשבו את השטח הכלוא בין גרף f′(x)f'(x)f′(x) ובין ציר ה-xxx בתחום π2≤x≤π\frac{\pi}{2}\le x\le\pi2π​≤x≤π.

שאלה 3 · נקודות פיתול: הגדרה ומציאהשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x3−6x2+9xf(x)=x^3-6x^2+9xf(x)=x3−6x2+9x.

א.

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת הפיתול שלה.

ב.

מצאו את כל הנקודות המשותפות למשיק ולגרף הפונקציה.

שאלה 4 · משיק בנקודת פיתול והנקודה הנוספת שבה הוא פוגש את הגרףשאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x4−4x3+10f(x)=x^4-4x^3+10f(x)=x4−4x3+10.

א.

מצאו את נקודות הפיתול של הפונקציה.

ב.

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת הפיתול שבה המשיק אינו מקביל לציר ה-xxx.

ג.

המשיק שמצאתם בסעיף ב חותך את גרף הפונקציה בנקודה נוספת. מצאו את שיעוריה.

שאלה 5 · נקודת הפיתול כפונקציה של פרמטר: רביע, היעדר קיצון ושטח מלבןשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x3−3kx2+3xf(x)=x^3-3kx^2+3xf(x)=x3−3kx2+3x, המוגדרת לכל xxx. kkk הוא פרמטר שונה מ-0.
הנקודה A היא נקודת הפיתול של הפונקציה f(x)f(x)f(x).
דרך הנקודה A העבירו אנך לציר ה-xxx החותך אותו בנקודה B, ואנך לציר ה-yyy החותך אותו בנקודה C. (O ראשית הצירים; שטח המלבן OBAC שווה ל-xA⋅yAx_A\cdot y_AxA​⋅yA​.)

א.

הביעו באמצעות kkk את שיעורי הנקודה A.

ב.

מצאו את כל ערכי kkk שבעבורם הנקודה A נמצאת ברביע הראשון ולפונקציה f(x)f(x)f(x) אין נקודות קיצון.

ג.

מצאו את כל ערכי kkk שבעבורם A ברביע הראשון ושטח המלבן OBAC שווה ל-1.

שאלה 6 · נגזרת עם פרמטר: קיצון, נקודות פיתול ומספר פתרונותשאלה מלאה · קשה

הנגזרת של הפונקציה f(x)f(x)f(x) היא f′(x)=x2(x−k)f'(x)=x^2(x-k)f′(x)=x2(x−k), כאשר k>0k>0k>0 פרמטר.

א.

מצאו את שיעורי ה-xxx של נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) וקבעו את סוגן.

ב.

מצאו את נקודות הפיתול של f(x)f(x)f(x) (שיעורי xxx), והביעו באמצעות kkk את שיפוע המשיק בכל אחת מהן.

ג.

נתון גם f(0)=0f(0)=0f(0)=0. מצאו את f(x)f(x)f(x).

ד.

הביעו באמצעות kkk: לאילו ערכים של mmm יש למשוואה f(x)=mf(x)=mf(x)=m שני פתרונות, לאילו פתרון אחד, ולאילו אין פתרון.

שאלה 1 · נקודות פיתול: הגדרה ומציאהשאלה קצרה · קלה

שאלה 2 · חקירת 1−cosx2​: אסימפטוטות, זוגיות, קיצון, קעירות ושטח מתחת לגרף הנגזרתשאלה מלאה · קלה

שאלה 3 · נקודות פיתול: הגדרה ומציאהשאלה קצרה · בינונית

שאלה 4 · משיק בנקודת פיתול והנקודה הנוספת שבה הוא פוגש את הגרףשאלת ביניים · בינונית

שאלה 5 · נקודת הפיתול כפונקציה של פרמטר: רביע, היעדר קיצון ושטח מלבןשאלת ביניים · קשה

שאלה 6 · נגזרת עם פרמטר: קיצון, נקודות פיתול ומספר פתרונותשאלה מלאה · קשה

רוצים להשלים את חוויית הלמידה?

כל האתר במבט אחד

שאלה 2 · חקירת $\frac{2}{1 - c o s x}$ : אסימפטוטות, זוגיות, קיצון, קעירות ושטח מתחת לגרף הנגזרתשאלה מלאה · קלה