שאלות פתוחות: נקודות פיתול: הגדרה ומציאה - כיתה י"א 5 יח"ל

שאלות פתוחות על נקודות פיתול - הגדרה ומציאה - לכיתה י"א, 5 יחידות. לצד מציאת נקודת פיתול של פולינום כמו x³-6x²+9x, יש שאלות שבהן מוצאים פרמטרים לפי נקודות הקיצון, ושאלות שבהן נתון רק גרף של f' או של f'' וצריך להסיק ממנו היכן לפונקציה עצמה יש פיתול. השאלות פרושות בין רמה קלה, בינונית וקשה. מתאים למבחן בנגזרת השנייה, לבוחן או לדף עבודה; כל שאלה מגיעה עם פתרון מפורט ואפשר להוריד את הבחירה ל-Word.

45 שאלותקלה: 10בינונית: 24קשה: 11

שאלה 1 · נקודות פיתול: הגדרה ומציאהשאלה קצרה · קלה

לפונקציה f(x)=x3+ax2+bx+cf(x)=x^3+ax^2+bx+cf(x)=x3+ax2+bx+c יש נקודות קיצון בנקודות שבהן x=−1x=-1x=−1 ו-x=5x=5x=5.

א.

מצאו את aaa ואת bbb, ומצאו את שיעור ה-xxx של נקודת הפיתול של הפונקציה.

ב.

נתון גם כי נקודת הפיתול של הפונקציה נמצאת על ציר ה-xxx. מצאו את ccc.

שאלה 2 · נקודות פיתול: הגדרה ומציאהשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x3−6x2+9xf(x)=x^3-6x^2+9xf(x)=x3−6x2+9x.

א.

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת הפיתול שלה.

ב.

מצאו את כל הנקודות המשותפות למשיק ולגרף הפונקציה.

שאלה 3 · מגרף הנגזרת השנייה אל $f^{'}$ ו- $f$ : התאמת נוסחה והשוואת שטחים לפי פרמטרשאלה מלאה · קשה

לפניכם גרף הפונקציה f′′(x)f''(x)f′′(x). נתון כי f′′(x)=0f''(x)=0f′′(x)=0 רק בנקודות x=−bx=-bx=−b, x=0x=0x=0, x=bx=bx=b (b>0b>0b>0), וכי f′(−b)=f′(b)=0f'(-b)=f'(b)=0f′(−b)=f′(b)=0.
f′′(x)
-bb

א.

הוכיחו כי f′(x)≥0f'(x)\ge0f′(x)≥0 לכל xxx. מצאו את שיעורי ה-xxx של נקודות הפיתול של f(x)f(x)f(x), וקבעו אם יש ל-f(x)f(x)f(x) נקודות קיצון.

ב.

נתון כי אחת מהפונקציות f′′(x)f''(x)f′′(x), f′(x)f'(x)f′(x), f(x)f(x)f(x) היא: g(x)=(x2−a)2g(x)=(x^2-a)^2g(x)=(x2−a)2, aaa הוא פרמטר.

התאימו את הפונקציה g(x)g(x)g(x) לאחת מן הפונקציות הנ"ל ונמקו. הביעו את bbb באמצעות aaa.

ג.

מצאו את כל ערכי aaa שעבורם השטח הכלוא בין גרף f′(x)f'(x)f′(x) לבין ציר ה-xxx גדול מסכום השטחים הכלואים בין גרף f′′(x)f''(x)f′′(x) לבין ציר ה-xxx.

שאלה 4 · נקודות פיתול: הגדרה ומציאהשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=x4−2x3−12x2+xf(x)=x^4-2x^3-12x^2+xf(x)=x4−2x3−12x2+x.

מצאו את נקודות הפיתול של הפונקציה.

שאלה 5 · מגרף נגזרת אי-זוגית לגרפים של $f^{''}$ ושל $f$ , התאמת נוסחה ושטח עם פרמטרשאלה מלאה · בינונית

לפניכם גרף הפונקציה f′(x)f'(x)f′(x) (נתון כי f′(−b)=0f'(-b)=0f′(−b)=0, f′(0)=0f'(0)=0f′(0)=0 וכן f′(b)=0f'(b)=0f′(b)=0):
f′(x)
-bb

א.

סרטטו סקיצה אפשרית של גרף הפונקציה f′′(x)f''(x)f′′(x). הסבירו את שיקוליכם.

ב.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) כאשר נתון: f(b)=0f(b)=0f(b)=0. סמנו בגרף את נקודות הפיתול ונקודות הקיצון (אם יש כאלה). הסבירו את שיקוליכם.

ג.

נתון כי אחת מהפונקציות f′′(x)f''(x)f′′(x), f′(x)f'(x)f′(x), f(x)f(x)f(x) היא: g(x)=x⋅(x2−a)2g(x)=x\cdot(x^2-a)^2g(x)=x⋅(x2−a)2, aaa הוא פרמטר.

(1)

התאימו את הפונקציה g(x)g(x)g(x) לאחת מן הפונקציות הנ"ל ונמקו את בחירתכם.

(2)

היעזרו בנתונים בשאלה, ובטאו את bbb באמצעות aaa.

ד.

נתון כי סכום השטחים הכלואים בין גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x) ובין ציר ה-xxx הוא 9.

חשבו את aaa.

שאלה 6 · שאלות קצרות מתקדמות: כל ערכי p, פיתול לפי פרמטר, אפסים וקיצון של הצטברות, המשולש של נקודות ההשקהשאלה מלאה · קשה

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א-ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

(1)

הוכיחו באינדוקציה כי לכל nnn טבעי הביטוי 5n−15^n-15n−1 מתחלק ב-4 ללא שארית.

(2)

מצאו את כל המספרים השלמים ppp שבעבורם הביטוי 5n+1+p5^{n+1}+p5n+1+p מתחלק ב-20 ללא שארית לכל nnn טבעי.

ב.

נתונה הפונקציה f(x)=(x+kx)3f(x)=\left(x+\frac kx\right)^3f(x)=(x+xk​)3, כאשר k≠0k\ne0k=0 הוא פרמטר.

(1)

מצאו את f′(x)f'(x)f′(x), וקבעו לאילו ערכי kkk יש לפונקציה f(x)f(x)f(x) נקודות קיצון. נמקו.

נתון: f′′(x)=6(x2+k)(x4−kx2+2k2)x5f''(x)=\frac{6(x^2+k)(x^4-kx^2+2k^2)}{x^5}f′′(x)=x56(x2+k)(x4−kx2+2k2)​.

(2)

קבעו, לפי ערכי kkk, כמה נקודות פיתול יש לפונקציה f(x)f(x)f(x). נמקו.

ג.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) המוגדרת בתחום 0≤x≤80\le x\le80≤x≤8, ונתונה הפונקציה h(t)=∫0tf(x) dxh(t)=\int_0^t f(x)\,dxh(t)=∫0t​f(x)dx בתחום זה.
2468-22

(1)

מצאו את כל הערכים של ttt בתחום 0<t≤80<t\le80<t≤8 שבעבורם h(t)=0h(t)=0h(t)=0.

(2)

מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של h(t)h(t)h(t) בתחום 0≤t≤80\le t\le80≤t≤8.

ד.

המעגל החסום במשולש DEF משיק לצלעות EF, DF ו-DE בנקודות A, B ו-C בהתאמה (ראו סרטוט). נסמן: ∠EDF=δ\angle EDF=\delta∠EDF=δ, ∠DEF=ε\angle DEF=\varepsilon∠DEF=ε.
ABCDEF

(1)

הביעו באמצעות δ\deltaδ ו-ε\varepsilonε את זוויות המשולש ABC.

(2)

הוכיחו כי המשולש ABC חד-זווית, יהיה המשולש DEF אשר יהיה.

שאלה 7 · הנגזרת $x^{2} (x - 2)^{2}$ : נקודות פיתול בלי קיצון ושטח מתחת לגרף הנגזרתשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה f′(x)=x2(x−2)2f'(x)=x^2(x-2)^2f′(x)=x2(x−2)2, הנגזרת של פונקציה f(x)f(x)f(x). לפניכם הגרף של f′(x)f'(x)f′(x):
f′(x)

א.

מצאו את f′′(x)f''(x)f′′(x), ומצאו את תחומי העלייה והירידה של f′(x)f'(x)f′(x).

ב.

הסבירו מדוע אין ל-f(x)f(x)f(x) נקודות קיצון, ומצאו את שיעורי ה-xxx של נקודות הפיתול של f(x)f(x)f(x).

ג.

נתון: f(0)=0f(0)=0f(0)=0. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x), וסמנו עליה את נקודות הפיתול.

ד.

חשבו את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה f′(x)f'(x)f′(x) לבין ציר ה-xxx.

שאלה 8 · שאלות קצרות: אינדוקציה, מקבילית בטרפז, גרפים של $f$ , $f^{'}$ , $f^{''}$ ו- $\frac{1}{f}$ שאלה מלאה · בינונית

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א–ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

נתונות שתי סדרות המוגדרות לכל nnn טבעי: an=4na_n=4nan​=4n, bn=3nb_n=3^nbn​=3n. נסמן: Tn=a1b1+a2b2+…+anbnT_n=a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_nTn​=a1​b1​+a2​b2​+…+an​bn​.

(1)

הוכיחו כי: אם בעבור kkk טבעי כלשהו מתקיים: Tk=(2k−1)⋅3k+1T_k=(2k-1)\cdot3^{k+1}Tk​=(2k−1)⋅3k+1, אז מתקיים: Tk+1=(2k+1)⋅3k+2T_{k+1}=(2k+1)\cdot3^{k+2}Tk+1​=(2k+1)⋅3k+2.

לפניכם טענה: לכל nnn טבעי מתקיים: Tn=(2n−1)⋅3n+1T_n=(2n-1)\cdot3^{n+1}Tn​=(2n−1)⋅3n+1.

(2)

הסבירו מדוע טענה זו אינה נכונה.

ב.

בטרפז ABCDABCDABCD (AB∥CD)(AB\parallel CD)(AB∥CD) הקטע EFEFEF הוא קטע אמצעים. הקטע EFEFEF חותך את האלכסונים ACACAC ו-BDBDBD של הטרפז בנקודות HHH ו-GGG בהתאמה. נתון כי המרובע ABFGABFGABFG הוא מקבילית.
ABCDEFGHM

(1)

הוכיחו: GF=2HFGF=2HFGF=2HF.

המשך הישר AGAGAG חותך את הבסיס DCDCDC בנקודה MMM.

(2)

הוכיחו: הישר AMAMAM חוצה את הבסיס DCDCDC.

ג.

לפניכם הגרפים I-III, המייצגים את הפונקציה f(x)f(x)f(x), את פונקציית הנגזרת הראשונה f′(x)f'(x)f′(x), ואת פונקציית הנגזרת השנייה f′′(x)f''(x)f′′(x). הפונקציות מוגדרות עבור: 0≤x≤2.50\le x\le2.50≤x≤2.5.
I
(0,0)(1,3)(2,0)
II
(0,-1)(1,1)(2,3)
III
(0,6)(1,0)

(1)

התאימו כל אחד מן הגרפים I-III לכל אחת מן הפונקציות: f(x)f(x)f(x), f′(x)f'(x)f′(x), f′′(x)f''(x)f′′(x). נמקו.

ענו על התת-סעיפים (2)-(3) על פי הנתונים המופיעים בגרפים I-III.

(2)

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) בנקודת הפיתול שלה.

(3)

מצאו את הערך של האינטגרל: ∫01f′′(x) dx\int_0^{1}f''(x)\,dx∫01​f′′(x)dx.

ד.

לפניכם הגרף של הפונקציה f(x)f(x)f(x). הפונקציה f(x)f(x)f(x) מוגדרת עבור: x≠−2x\ne-2x=−2, x≠2x\ne2x=2. משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x)f(x)f(x) הן: x=2x=2x=2, x=−2x=-2x=−2, y=ky=ky=k, 0<k<10<k<10<k<1. שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-yyy הם: (0,a)(0,a)(0,a), aaa הוא מספר חיובי.
f(x)
(0,a)

(1)

מצאו עבור אילו ערכים של aaa יש לגרפים של הפונקציות f(x)f(x)f(x) ו-1f(x)\frac1{f(x)}f(x)1​ בדיוק שתי נקודות חיתוך. נמקו.

(2)

נתון כי המרחק בין האסימפטוטות האופקיות של הפונקציות f(x)f(x)f(x) ו-1f(x)\frac1{f(x)}f(x)1​ הוא 83\frac8338​. מהו הערך של kkk? נמקו.

שאלה 9 · משפחת הפונקציות $\frac{a + c o s x}{s i n x}$ : מתי יש קיצון, טווח לפי הפרמטר ומתי יש פיתולשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=a+cos⁡(x)sin⁡(x)f(x)=\frac{a+\cos(x)}{\sin(x)}f(x)=sin(x)a+cos(x)​, כאשר a>0a>0a>0 פרמטר, בתחום 0<x<2π0<x<2\pi0<x<2π, x≠πx\neq\pix=π.

א.

מצאו את כל ערכי aaa שבעבורם לפונקציה יש נקודות קיצון.

ב.

עבור a>1a>1a>1, מצאו את נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) (הביעו באמצעות aaa) וקבעו את סוגן.

ג.

מצאו את ערך a>1a>1a>1 שבעבורו למשוואה f(x)=mf(x)=mf(x)=m אין פתרון בדיוק כאשר −4<m<4-4<m<4−4<m<4.

ד.

מצאו את כל ערכי a>0a>0a>0 שבעבורם לפונקציה יש נקודות פיתול.

שאלה 10 · שאלות קצרות מודרכות: אינדוקציה, קטע אמצעים בטרפז, $f$ , $f^{'}$ , $f^{''}$ ו- $\frac{1}{f}$ שאלה מלאה · קלה

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א–ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

נתונות הסדרות an=na_n=nan​=n ו-bn=2nb_n=2^nbn​=2n (nnn טבעי). נסמן: Tn=a1b1+a2b2+…+anbnT_n=a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_nTn​=a1​b1​+a2​b2​+…+an​bn​.

(1)

הראו כי Tk+1=Tk+(k+1)⋅2k+1T_{k+1}=T_k+(k+1)\cdot2^{k+1}Tk+1​=Tk​+(k+1)⋅2k+1, והוכיחו: אם בעבור kkk טבעי כלשהו Tk=(k−1)⋅2k+1T_k=(k-1)\cdot2^{k+1}Tk​=(k−1)⋅2k+1, אז Tk+1=k⋅2k+2T_{k+1}=k\cdot2^{k+2}Tk+1​=k⋅2k+2.

(2)

חשבו את T1T_1T1​ ואת T2T_2T2​, ובדקו אם הם מקיימים את הנוסחה Tn=(n−1)⋅2n+1T_n=(n-1)\cdot2^{n+1}Tn​=(n−1)⋅2n+1. האם הנוסחה נכונה לכל nnn טבעי? נמקו.

(3)

מצאו מספר ccc כך שהנוסחה Tn=(n−1)⋅2n+1+cT_n=(n-1)\cdot2^{n+1}+cTn​=(n−1)⋅2n+1+c תהיה נכונה לכל nnn טבעי, והסבירו מדוע היא נכונה.

ב.

בטרפז ABCDABCDABCD (AB∥CD)(AB\parallel CD)(AB∥CD) נתון: AB=5AB=5AB=5, DC=15DC=15DC=15. הקטע EFEFEF הוא קטע אמצעים (EEE על ADADAD, FFF על BCBCBC), והוא חותך את האלכסונים ACACAC ו-BDBDBD בנקודות HHH ו-GGG בהתאמה.
ABCDEFGH

(1)

חשבו את האורכים EFEFEF, EGEGEG, HFHFHF ו-GHGHGH.

(2)

הוכיחו כי המרובע ABHGABHGABHG הוא מקבילית.

המשך הקטע AGAGAG חותך את הקטע DHDHDH בנקודה MMM.

(3)

היעזרו במשולש DBHDBHDBH, והוכיחו כי MMM היא אמצע הקטע DHDHDH.

ג.

נתונה הפונקציה f(x)=x3−3x2+1f(x)=x^3-3x^2+1f(x)=x3−3x2+1 בתחום 0≤x≤30\le x\le30≤x≤3. לפניכם הגרפים I-III, המייצגים את f(x)f(x)f(x), את f′(x)f'(x)f′(x) ואת f′′(x)f''(x)f′′(x), לא בהכרח בסדר זה.
I
-0.50.51.01.52.02.53.03.5-6-4-224681012
II
-0.50.51.01.52.02.53.03.5-6-4-224681012
III
-0.50.51.01.52.02.53.03.5-6-4-224681012

(1)

מצאו את f′(x)f'(x)f′(x) ואת f′′(x)f''(x)f′′(x), והתאימו כל אחד מהגרפים I-III לפונקציה שהוא מייצג. נמקו.

(2)

מצאו את נקודת הפיתול של f(x)f(x)f(x) ואת משוואת המשיק לגרף f(x)f(x)f(x) בנקודה זו.

(3)

חשבו את ∫01f′′(x) dx\int_0^1f''(x)\,dx∫01​f′′(x)dx בשתי דרכים: בעזרת הפונקציה הקדומה f′(x)f'(x)f′(x), ובעזרת השטח שבין גרף f′′f''f′′ לציר ה-xxx.

ד.

נתונה הפונקציה f(x)=3x2+12x2−2f(x)=\frac{3x^2+1}{2x^2-2}f(x)=2x2−23x2+1​.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה ואת האסימפטוטות של f(x)f(x)f(x), ואת נקודת החיתוך של גרף f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-yyy.

(2)

הראו כי בנקודות החיתוך של הגרפים של f(x)f(x)f(x) ו-1f(x)\frac1{f(x)}f(x)1​ מתקיים f(x)=1f(x)=1f(x)=1 או f(x)=−1f(x)=-1f(x)=−1, ומצאו את נקודות החיתוך.

(3)

מצאו את האסימפטוטה האופקית של 1f(x)\frac1{f(x)}f(x)1​ ואת המרחק בינה לבין האסימפטוטה האופקית של f(x)f(x)f(x).

עוד 26 שאלות על נקודות פיתול: הגדרה ומציאה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

חקירת $\frac{s i n x + s i n x c o s ^{2} x}{1 - c o s ^{2} x}$ : אסימפטוטות, אי-זוגיות, היעדר פיתול ושטח מתחת לגרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{\sin(x)+\sin(x)\cos^2(x)}{1-\cos^2(x)}$ , בתחום $-2\pi\le x\le2\pi$ .
משפחת פונקציות $\frac{k}{x ^{2} + c}$ : הוכחה כללית שהמקסימום בנקודת הפיתול, בעיה הפוכה ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\sqrt x$ , המוגדרת בתחום: $x\ge0$ , ונתונה הפונקציה: $g(x)=\frac{k}{x^2+c}$ , המוגדרת לכל $x$ . $k$ ו- $c$ הם פרמטרים…
חקירת $\frac{2}{1 - c o s x}$ : אסימפטוטות, זוגיות, קיצון, קעירות ושטח מתחת לגרף הנגזרת (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2}{1-\cos(x)}$ , בתחום $-2\pi\le x\le2\pi$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה, $f^{''}$ ו- $h^{'} = f^{''} - e$ , ערך מוחלט עם פרמטר, דמיון במשולש חסום (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה מתמטית או בדרך אחרת כי השוויון שלפניכם מתקיים בעבור כל $n$ טבעי: $2+7+\ldots+\frac{3n^2+n}{2}=\frac{n(n+1)^2}{2}$ .
הפונקציה $a \cdot f^{'} (x)$ כש- $f = 4 cos x + cos 2 x$ והסימן של $a$ לא ידוע (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=4\cos x+\cos(2x)$ , המוגדרת בתחום $-\pi\le x\le\pi$ . נתונה גם הפונקציה $g(x)=\sqrt{a\cdot f^{\prime}(x)}$ , כאשר…
שאלות קצרות מודרכות: אינדוקציה, $f^{''}$ , ערך מוחלט ודמיון במעגל (שאלה מלאה · קלה)
בדקו שהשוויון מתקיים בעבור $n=1$ ובעבור $n=2$ , וכתבו את האיבר שמתווסף לאגף השמאלי במעבר מ- $n=k$ ל- $n=k+1$ .
חקירת $\frac{16 x}{x ^{2} + 3}$ , מכפלת קטעים אנכיים שמקסימלית בנקודת הפיתול, והזזה ומתיחה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\sqrt x$ , המוגדרת בתחום: $x\ge0$ , ונתונה הפונקציה: $g(x)=\frac{16x}{x^2+3}$ , המוגדרת לכל $x$ .
פולינום עם פרמטר במקדם $x^{2}$ : נקודת פיתול, תנאי לאי-קיום קיצון ומלבן מקסימלי (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^3-3kx^2+3x$ , המוגדרת לכל $x$ . $k$ הוא פרמטר שונה מ-0. הנקודה A היא נקודת הפיתול של הפונקציה $f(x)$ .
מכפלת קטעים אנכיים ונקודת הפיתול: גרסה מודרכת (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\sqrt x$ , המוגדרת בתחום: $x\ge0$ , ונתונה הפונקציה: $g(x)=\frac{24}{x^2+12}$ , המוגדרת לכל $x$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה, טרפז בר-חסימה, גרפים של $f$ , $f^{'}$ , $f^{''}$ ופונקציה רציונלית (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $1\cdot3+3\cdot5+5\cdot7+\ldots+(2n-1)(2n+1)=\frac{n(4n^2+6n-1)}{3}$ .
נגזרת עם פרמטר: קיצון, נקודות פיתול ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
הנגזרת של הפונקציה $f(x)$ היא $f'(x)=x^2(x-k)$ , כאשר $k>0$ פרמטר.
שאלות קצרות מודרכות: אינדוקציה, טרפז שווה שוקיים, $f$ , $f^{'}$ , $f^{''}$ ושטח (שאלה מלאה · קלה)
בדקו שהטענה נכונה עבור $n=1$ ועבור $n=2$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה, טרפז ואנך אמצעי, גרפים של $f$ , $f^{'}$ , $f^{''}$ ופונקציה רציונלית (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $1\cdot4+2\cdot7+3\cdot10+\ldots+n(3n+1)=n(n+1)^2$ .
גרף הנגזרת ומספר נקודות הקיצון של $f (x) - m x$ (שאלה מלאה · קשה)
נתונה פונקציה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$ , ונגזרתה היא: $f'(x)=\frac{100x^2}{(x^2+4)^2}$ . בסרטוט מוצג גרף הנגזרת. נגדיר: $h(x)=f(x)-mx$ , כאשר $m$ …
נקודת פיתול עם פרמטר וסכום שטחים מינימלי (מודרך) (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=kx^3-3x^2+kx$ , $k>0$ . הנקודה A היא נקודת הפיתול של הפונקציה.
נקודת פיתול של פולינום עם פרמטר ובעיית קיצון של סכום שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=kx^3-3x^2-x+\frac12$ , המוגדרת לכל $x$ . $k$ הוא פרמטר שונה מ-0. הנקודה A היא נקודת הפיתול של הפונקציה $f(x)$ .
g'=-f כש-f זוגית: זוגיות של g, קיצון ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
לפניכם חלק מגרף של פונקציה זוגית $f(x)$ , המוגדרת לכל $x$ : (בסרטוט: $f(0)=-2$ , נקודת המינימום $(2,-6)$ , ו- $f(4)=0$ ; לכל $x>2$ הפונקציה עולה…
תכונות $f$ מגרף נגזרת פרבולי (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מוצג גרף הנגזרת $f'(x)$ של פונקציה $f(x)$ המוגדרת לכל $x$ . גרף הנגזרת הוא פרבולה שחותכת את ציר ה- $x$ בנקודות $(1,0)$ …
נקודות פיתול: הגדרה ומציאה (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^3+kx^2-2$ , $k$ הוא פרמטר.
נקודות הפיתול של פונקציה רציונלית עם שני פרמטרים (שאלה קצרה · קשה)
נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{k}{x^2+c}$ , המוגדרת לכל $x$ . $k$ ו- $c$ הם פרמטרים חיוביים.
נקודת פיתול של פולינום עם $k^{2}$ ו- $k$ ובעיית קיצון של סכום שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=k^2x^3-3kx^2+2$ , המוגדרת לכל $x$ . $k$ הוא פרמטר שונה מ-0. הנקודה A היא נקודת הפיתול של הפונקציה $f(x)$ .
נקודת הפיתול כפונקציה של פרמטר: רביע, היעדר קיצון ושטח מלבן (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^3-3kx^2+3x$ , המוגדרת לכל $x$ . $k$ הוא פרמטר שונה מ-0. הנקודה A היא נקודת הפיתול של הפונקציה $f(x)$ . דרך הנקודה A…
מגרף הנגזרת לפונקציה: קיצון, קעירות, נקודות פיתול ואינטגרל של $f^{''}$ (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט מתואר גרף נגזרת של פונקציה: $f'(x)$ . על-פי הנתונים בסרטוט:
תכונות $f$ מגרף הנגזרת: אסימפטוטות ב- $x = \pm 2$ ונקודת פיתול אחת (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מוצג גרף הנגזרת $f'(x)$ של הפונקציה $f(x)$ . הגרף סימטרי ביחס לציר ה- $y$ . הישר $x=2$ הוא אסימפטוטה אנכית לגרף הפונקציה.…
נקודות פיתול ושיפוע המשיק בהן כשהנגזרת נתונה עם פרמטר (שאלה קצרה · בינונית)
הנגזרת של הפונקציה $f(x)$ היא $f'(x)=x^2(x-k)$ , כאשר $k>0$ פרמטר.
משיק בנקודת פיתול והנקודה הנוספת שבה הוא פוגש את הגרף (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=x^4-4x^3+10$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

מגרף הנגזרת לגרפים של $f^{''}$ ושל $f$ , התאמת נוסחה ושטח עם פרמטר · בגרות 571 חורף 2021 מועד נבצרים, שאלה 6
לפניכם גרף הפונקציה $f'(x)$ (נתון כי $f'(0)=0$ וכן $f'(b)=0$ ):
שאלות קצרות: אינדוקציה, קטע אמצעים בטרפז, גרפים של $f$ , $f^{'}$ , $f^{''}$ ו- $\frac{1}{f}$ · בגרות 571 קיץ 2023 מועד א', שאלה 1
הוכיחו כי: אם בעבור $k$ טבעי כלשהו מתקיים: $T_k=(2k-3)\cdot2^{k+1}$ , אז מתקיים: $T_{k+1}=(2k-1)\cdot2^{k+2}$ .
חקירת $\frac{4 s i n x}{c o s ^{2} x - 1}$ : אסימפטוטות, אי-זוגיות, היעדר פיתול ושטח מתחת לגרף הנגזרת · בגרות 571 חורף 2023, שאלה 7
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{4\sin(x)}{\cos^2(x)-1}$ , בתחום $-2\pi\le x\le2\pi$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה, $f^{''}$ ו- $h^{'} = f^{''} - e$ , ערך מוחלט עם פרמטר, דמיון במרובע חסום · בגרות 571 קיץ 2024 מועד א', שאלה 1
הוכיחו באינדוקציה מתמטית או בדרך אחרת כי השוויון שלפניכם מתקיים בעבור כל $n$ טבעי: $4+13+\ldots+\frac{5n^2+3n}{2}=\frac{n(n+1)(5n+7)}{6}$ .
חקירת $\frac{16}{x ^{2} + 3}$ , מכפלת קטעים אנכיים שמקסימלית בנקודת הפיתול, והזזה ומתיחה של פונקציית המטרה · בגרות 571 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 8
נתונה הפונקציה: $f(x)=\sqrt x$ , המוגדרת בתחום: $x\ge0$ , ונתונה הפונקציה: $g(x)=\frac{16}{x^2+3}$ , המוגדרת לכל $x$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה, טרפז שווה שוקיים, גרפים של $f$ , $f^{'}$ , $f^{''}$ ופונקציה רציונלית · בגרות 571 קיץ 2025 מועד א', שאלה 1
הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל $n$ טבעי מתקיים: $2^2+4^2+6^2+8^2+\ldots+(2n)^2=\frac{2n(2n+1)(n+1)}{3}$ .
נקודת פיתול של פולינום עם פרמטר ובעיית קיצון של סכום שטחים · בגרות 571 חורף 2026, שאלה 8
נתונה הפונקציה: $f(x)=kx^3-3x^2+0.5kx$ , המוגדרת לכל $x$ . $k$ הוא פרמטר שונה מ-0. הנקודה A היא נקודת הפיתול של הפונקציה $f(x)$ .
מגרף הנגזרת לפונקציה: קיצון, קעירות, נקודות פיתול ואינטגרל של $f^{''}$ · מבחן לדוגמה 3 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 5
בסרטוט מתואר גרף נגזרת של פונקציה: $f'(x)$ . על-פי הנתונים בסרטוט:
תכונות $f$ מגרף הנגזרת: מונוטוניות, קיצון, פיתול, משיקים ואינטגרל של $f^{''}$ · מבחן לדוגמה 4 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 5
בסרטוט שלפניך מוצג גרף הנגזרת $f'(x)$ של הפונקציה $f(x)$ . הגרף סימטרי ביחס לציר ה- $y$ . הישר $x=3$ הוא אסימפטוטה אנכית לגרף הפונקציה. לפונקציה $f(x)$ ולנגזרתה יש…

שאלה 1 · נקודות פיתול: הגדרה ומציאהשאלה קצרה · קלה

שאלה 2 · נקודות פיתול: הגדרה ומציאהשאלה קצרה · בינונית

שאלה 3 · מגרף הנגזרת השנייה אל f′ ו-f: התאמת נוסחה והשוואת שטחים לפי פרמטרשאלה מלאה · קשה

שאלה 4 · נקודות פיתול: הגדרה ומציאהשאלה קצרה · קלה

שאלה 5 · מגרף נגזרת אי-זוגית לגרפים של f′′ ושל f, התאמת נוסחה ושטח עם פרמטרשאלה מלאה · בינונית

שאלה 6 · שאלות קצרות מתקדמות: כל ערכי p, פיתול לפי פרמטר, אפסים וקיצון של הצטברות, המשולש של נקודות ההשקהשאלה מלאה · קשה

שאלה 7 · הנגזרת x2(x−2)2: נקודות פיתול בלי קיצון ושטח מתחת לגרף הנגזרתשאלה מלאה · קלה

שאלה 8 · שאלות קצרות: אינדוקציה, מקבילית בטרפז, גרפים של f, f′, f′′ ו-f1​שאלה מלאה · בינונית

שאלה 9 · משפחת הפונקציות sinxa+cosx​: מתי יש קיצון, טווח לפי הפרמטר ומתי יש פיתולשאלה מלאה · קשה

שאלה 10 · שאלות קצרות מודרכות: אינדוקציה, קטע אמצעים בטרפז, f, f′, f′′ ו-f1​שאלה מלאה · קלה