מבחן לדוגמה: תכונות משיקים ומיתרים בפונקציה קעורה - כיתה י"א 5 יח"ל

מבחן במתמטיקה - כיתה י"א 5 יח"ל

תכונות משיקים ומיתרים בפונקציה קעורה

6 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון

שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · משיק בנקודה שבה הפונקציה קעורה כלפי מעלהשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=x3−3x2f(x)=x^3-3x^2f(x)=x3−3x2. מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=3x=3x=3.

מצאו את משוואת המשיק, ונמקו בעזרת הקעירות מדוע בסביבת x=3x=3x=3 גרף הפונקציה נמצא מעל המשיק.

שאלה 2 · תכונות משיקים ומיתרים בפונקציה קעורהשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x}f(x)=x1​ בתחום x>0x>0x>0. מעבירים משיקים לגרף בנקודות שבהן x=1x=1x=1 ו-x=4x=4x=4, והם נחתכים בנקודה PPP.

א.

מצאו את שיעורי הנקודה PPP.

ב.

קבעו אם הנקודה PPP נמצאת מעל גרף הפונקציה או מתחתיו. נמקו בעזרת הקעירות.

שאלה 3 · משיק ומיתר בפונקציה עם שני סוגי קעירותשאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x4−8x3+18x2f(x)=x^4-8x^3+18x^2f(x)=x4−8x3+18x2.

א.

מצאו את תחומי הקעירות כלפי מעלה וכלפי מטה של הפונקציה, ואת שיעורי נקודות הפיתול שלה.

ב.

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=4x=4x=4. היעזרו בסעיף א וקבעו אם בסביבת נקודת ההשקה הגרף נמצא מעל המשיק או מתחתיו.

ג.

המיתר ABABAB מחבר את שתי נקודות הפיתול שמצאתם בסעיף א. מצאו את משוואת המיתר, קבעו בעזרת הקעירות אם בתחום 1<x<31<x<31<x<3 גרף הפונקציה נמצא מעל המיתר או מתחתיו, ובדקו את קביעתכם בנקודה שבה x=2x=2x=2.

שאלה 4 · הפונקציה $\frac{c o s x - a}{( c o s x + 1 ) ^{2}}$ : פרמטר מהשקה לציר $x$ , חקירה בשני מחזורים והערכת אינטגרל בעזרת קעירותשאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה: f(x)=cos⁡(x)−a(cos⁡(x)+1)2f(x)=\frac{\cos(x)-a}{(\cos(x)+1)^2}f(x)=(cos(x)+1)2cos(x)−a​, aaa הוא פרמטר חיובי. הפונקציה f(x)f(x)f(x) מוגדרת לכל xxx המקיים: cos⁡(x)≠−1\cos(x)\ne-1cos(x)=−1. נתון כי הגרף של הפונקציה f(x)f(x)f(x) משיק לציר xxx בכל נקודות הקיצון שלה.

א.

מצאו את הערך של aaa.

הציבו: a=1a=1a=1, וענו על הסעיפים ב-ה עבור התחום: −2π≤x≤2π-2\pi\le x\le2\pi−2π≤x≤2π.

ב.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

(2)

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם הצירים.

(3)

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

ג.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ד.

כמה פתרונות יש למשוואה: f(x)=−6f(x)=-6f(x)=−6 בתחום הנתון? נמקו את תשובתכם.

ה.

ידוע כי הפונקציה f(x)f(x)f(x) קעורה כלפי מטה בכל אחד מחלקי תחום הגדרתה.

קבעו אם הטענה שלפניכם נכונה או לא נכונה. נמקו את קביעתכם. ∫0π2f(x) dx>−π4\int_0^{\frac\pi2}f(x)\,dx>-\frac\pi4∫02π​​f(x)dx>−4π​.

שאלה 5 · תכונות משיקים ומיתרים בפונקציה קעורהשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x3+ax2f(x)=x^3+ax^2f(x)=x3+ax2 בתחום x>0x>0x>0, כאשר aaa פרמטר.

מצאו את כל ערכי aaa שעבורם כל מיתר המחבר שתי נקודות על גרף הפונקציה בתחום זה נמצא מעל הגרף (בין שתי הנקודות).

שאלה 6 · המשיק בנקודת הפיתול חוצה את הגרףשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x3+3x2+kxf(x)=x^3+3x^2+kxf(x)=x3+3x2+kx, כאשר kkk פרמטר. ידוע כי המשיק לגרף הפונקציה בנקודת הפיתול שלה מקביל לישר y=2xy=2xy=2x.

א.

מצאו את שיעור ה-xxx של נקודת הפיתול ואת הערך של kkk.

ב.

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת הפיתול.

ג.

מצאו את כל ערכי xxx שעבורם גרף הפונקציה נמצא מעל המשיק, ואת כל ערכי xxx שעבורם הוא נמצא מתחת למשיק. הסבירו כיצד התוצאה מתאימה לתחומי הקעירות של הפונקציה.

שאלה 1 · משיק בנקודה שבה הפונקציה קעורה כלפי מעלהשאלה קצרה · קלה

שאלה 2 · תכונות משיקים ומיתרים בפונקציה קעורהשאלה קצרה · קלה

שאלה 3 · משיק ומיתר בפונקציה עם שני סוגי קעירותשאלת ביניים · בינונית

שאלה 4 · הפונקציה (cosx+1)2cosx−a​: פרמטר מהשקה לציר x, חקירה בשני מחזורים והערכת אינטגרל בעזרת קעירותשאלה מלאה · בינונית

שאלה 5 · תכונות משיקים ומיתרים בפונקציה קעורהשאלה קצרה · קשה

שאלה 6 · המשיק בנקודת הפיתול חוצה את הגרףשאלת ביניים · קשה

רוצים להשלים את חוויית הלמידה?

כל האתר במבט אחד

שאלה 4 · הפונקציה $\frac{c o s x - a}{( c o s x + 1 ) ^{2}}$ : פרמטר מהשקה לציר $x$ , חקירה בשני מחזורים והערכת אינטגרל בעזרת קעירותשאלה מלאה · בינונית