שאלות פתוחות: תכונות משיקים ומיתרים בפונקציה קעורה - כיתה י"א 5 יח"ל

משיקים ומיתרים בפונקציה קעורה הם הנושא של השאלות כאן, לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות מראים שמשיק לפונקציה קעורה כלפי מעלה נמצא מתחת לגרף, משווים מיתר בין שתי נקודות לערכי הפונקציה בתוך הקטע, מעבירים משיקים ל-1/x ובודקים איפה הם נחתכים, ומוצאים פרמטר כשהמשיק בנקודת הפיתול מקיים תנאי נתון. השאלות ברמה קלה, בינונית וקשה. מתאים להעשרה בפרק הנגזרת השנייה; ניתן לבחור מהן לדף עבודה או לבוחן, עם פתרון כתוב וייצוא ל-Word.

9 שאלותקלה: 2בינונית: 5קשה: 2

שאלה 1 · תכונות משיקים ומיתרים בפונקציה קעורהשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x}f(x)=x1​ בתחום x>0x>0x>0. מעבירים משיקים לגרף בנקודות שבהן x=1x=1x=1 ו-x=4x=4x=4, והם נחתכים בנקודה PPP.

א.

מצאו את שיעורי הנקודה PPP.

ב.

קבעו אם הנקודה PPP נמצאת מעל גרף הפונקציה או מתחתיו. נמקו בעזרת הקעירות.

שאלה 2 · תכונות משיקים ומיתרים בפונקציה קעורהשאלה קצרה · בינונית

פונקציה f(x)f(x)f(x) גזירה פעמיים ומקיימת f′′(x)>0f''(x)>0f′′(x)>0 לכל xxx. נתון: f(0)=1f(0)=1f(0)=1, f(4)=4f(4)=4f(4)=4.

א.

האם ייתכן ש-f(2)=3f(2)=3f(2)=3? אם כן - תנו דוגמה לפונקציה כזאת; אם לא - נמקו.

ב.

נתון גם f′(4)=1f'(4)=1f′(4)=1. הוכיחו כי f(2)>2f(2)>2f(2)>2.

שאלה 3 · תכונות משיקים ומיתרים בפונקציה קעורהשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x3+ax2f(x)=x^3+ax^2f(x)=x3+ax2 בתחום x>0x>0x>0, כאשר aaa פרמטר.

מצאו את כל ערכי aaa שעבורם כל מיתר המחבר שתי נקודות על גרף הפונקציה בתחום זה נמצא מעל הגרף (בין שתי הנקודות).

שאלה 4 · משיק בנקודה שבה הפונקציה קעורה כלפי מעלהשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=x3−3x2f(x)=x^3-3x^2f(x)=x3−3x2. מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=3x=3x=3.

מצאו את משוואת המשיק, ונמקו בעזרת הקעירות מדוע בסביבת x=3x=3x=3 גרף הפונקציה נמצא מעל המשיק.

שאלה 5 · תכונות משיקים ומיתרים בפונקציה קעורהשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x3−3x2f(x)=x^3-3x^2f(x)=x3−3x2. מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=3x=3x=3.

א.

מצאו את משוואת המשיק, ונמקו בעזרת הקעירות מדוע בסביבת x=3x=3x=3 גרף הפונקציה נמצא מעל המשיק.

ב.

מצאו את כל ערכי xxx שעבורם גרף הפונקציה נמצא מעל המשיק.

שאלה 6 · המשיק בנקודת הפיתול חוצה את הגרףשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x3+3x2+kxf(x)=x^3+3x^2+kxf(x)=x3+3x2+kx, כאשר kkk פרמטר. ידוע כי המשיק לגרף הפונקציה בנקודת הפיתול שלה מקביל לישר y=2xy=2xy=2x.

א.

מצאו את שיעור ה-xxx של נקודת הפיתול ואת הערך של kkk.

ב.

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת הפיתול.

ג.

מצאו את כל ערכי xxx שעבורם גרף הפונקציה נמצא מעל המשיק, ואת כל ערכי xxx שעבורם הוא נמצא מתחת למשיק. הסבירו כיצד התוצאה מתאימה לתחומי הקעירות של הפונקציה.

שאלה 7 · הפונקציה $\frac{c o s x - a}{( c o s x + 1 ) ^{2}}$ : פרמטר מהשקה לציר $x$ , חקירה בשני מחזורים והערכת אינטגרל בעזרת קעירותשאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה: f(x)=cos⁡(x)−a(cos⁡(x)+1)2f(x)=\frac{\cos(x)-a}{(\cos(x)+1)^2}f(x)=(cos(x)+1)2cos(x)−a​, aaa הוא פרמטר חיובי. הפונקציה f(x)f(x)f(x) מוגדרת לכל xxx המקיים: cos⁡(x)≠−1\cos(x)\ne-1cos(x)=−1. נתון כי הגרף של הפונקציה f(x)f(x)f(x) משיק לציר xxx בכל נקודות הקיצון שלה.

א.

מצאו את הערך של aaa.

הציבו: a=1a=1a=1, וענו על הסעיפים ב-ה עבור התחום: −2π≤x≤2π-2\pi\le x\le2\pi−2π≤x≤2π.

ב.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

(2)

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם הצירים.

(3)

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

ג.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ד.

כמה פתרונות יש למשוואה: f(x)=−6f(x)=-6f(x)=−6 בתחום הנתון? נמקו את תשובתכם.

ה.

ידוע כי הפונקציה f(x)f(x)f(x) קעורה כלפי מטה בכל אחד מחלקי תחום הגדרתה.

קבעו אם הטענה שלפניכם נכונה או לא נכונה. נמקו את קביעתכם. ∫0π2f(x) dx>−π4\int_0^{\frac\pi2}f(x)\,dx>-\frac\pi4∫02π​​f(x)dx>−4π​.

שאלה 8 · משיק ומיתר בפונקציה עם שני סוגי קעירותשאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x4−8x3+18x2f(x)=x^4-8x^3+18x^2f(x)=x4−8x3+18x2.

א.

מצאו את תחומי הקעירות כלפי מעלה וכלפי מטה של הפונקציה, ואת שיעורי נקודות הפיתול שלה.

ב.

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=4x=4x=4. היעזרו בסעיף א וקבעו אם בסביבת נקודת ההשקה הגרף נמצא מעל המשיק או מתחתיו.

ג.

המיתר ABABAB מחבר את שתי נקודות הפיתול שמצאתם בסעיף א. מצאו את משוואת המיתר, קבעו בעזרת הקעירות אם בתחום 1<x<31<x<31<x<3 גרף הפונקציה נמצא מעל המיתר או מתחתיו, ובדקו את קביעתכם בנקודה שבה x=2x=2x=2.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

הפונקציה $\frac{s i n x - a}{s i n x + a}$ : פרמטר מהשקה לציר $x$ בקיצונים, חקירה בשני מחזורים והערכת אינטגרל בעזרת קעירות · בגרות 571 חורף 2024, שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\sin(x)-a}{\sin(x)+a}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי. הפונקציה $f(x)$ מוגדרת לכל $x$ המקיים: $\sin(x)\ne-a$ . נתון כי הגרף של הפונקציה $f(x)$ …