מבחן לדוגמה: מחזוריות וסימטריה ככלי לחקירה בתחום מצומצם - כיתה י"א 5 יח"ל

הראו כי $f(x)$ זוגית ומחזורית עם מחזור $2\pi$. נתון כי בתחום $0\le x\le\pi$ הפונקציה מתאפסת רק ב-$x=0$ וב-$x=\frac{\pi}{3}$. היעזרו בזוגיות ובמחזוריות, ומצאו את כל נקודות האפס של $f(x)$ בתחום $-2\pi\le x\le2\pi$.

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)$ ואת האסימפטוטות שלה המאונכות לציר ה-$x$.

האם $f(x)$ זוגית, אי-זוגית או לא זוגית ולא אי-זוגית? הוכיחו.

הראו כי $f'(x)=-\frac{2\sin x}{(1-\cos x)^2}$, ומצאו את נקודות הקיצון של $f(x)$ בתחום הנתון וקבעו את סוגן.

נתון: $f''(x)=\frac{2(\cos x+2)}{(1-\cos x)^2}$.

הראו שלפונקציה אין נקודות פיתול, וסרטטו סקיצה של גרף $f(x)$ בתחום $-2\pi\le x\le2\pi$.

חשבו את השטח הכלוא בין גרף $f'(x)$ ובין ציר ה-$x$ בתחום $\frac{\pi}{2}\le x\le\pi$.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $g(x)$ בתחום: $-2\pi\le x\le2\pi$.

האם הפונקציה $f(x)$ היא זוגית או אי-זוגית? נמקו את תשובתכם.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה-$x$.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

הוכיחו כי $f(x)$ מחזורית עם מחזור $2\pi$, וכי $f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$.

הוכיחו כי $f(\pi-x)=-f(x)$ לכל $x$. היעזרו בכך, וקבעו אם $f(x)$ עולה או יורדת בתחום $\frac{\pi}{2}\le x\le\pi$, ובין אילו ערכים היא משתנה בו.

מצאו את כל נקודות הקיצון המקומי של $f(x)$ בתחום $-2\pi<x<2\pi$ וקבעו את סוגן, ומצאו את כל נקודות האפס של $f(x)$ בתחום זה.

מצאו את $f'(x)$, וקבעו את סוג נקודות הקיצון של $f(x)$ שבהן $x=\pm\pi$.

מצאו את כל ערכי $b$ שבעבורם ל-$f(x)$ יש בדיוק חמש נקודות קיצון.

הציבו $b=\frac{1}{16}$.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של $f(x)$, וקבעו את סוגן.

מצאו את כל ערכי $m$ שבעבורם למשוואה $f(x)=m$ יש בדיוק שישה פתרונות.