מבחן לדוגמה: נגזרת של cos x ושל tan x - כיתה י"א 5 יח"ל

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)$ ואת משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לציר ה-$x$.

נתון כי בתחום $0<x<\frac{3\pi}{2}$ גרף $f(x)$ חותך את ציר ה-$x$ בנקודה אחת בלבד, $x\approx2.029$.

הראו כי $f(x)$ עולה בכל אחד מהקטעים של תחום ההגדרה, ומצאו את תחומי החיוביות והשליליות של $f(x)$.

נתונה הפונקציה $g(x)=x\sin(x)$, המוגדרת לכל $x$.

האם $g(x)$ זוגית, אי-זוגית, או לא זוגית ולא אי-זוגית? הוכיחו.

כמה פתרונות יש למשוואה $f(x)=\sqrt3$ בתחום $0\le x\le2\pi$? נמקו.

הסבירו מדוע $f'(x)\le0$ בקטע $\frac{5\pi}6\le x\le\frac{4\pi}3$, וחשבו את השטח המוגבל על ידי גרף $f'(x)$, ציר ה-$x$ והישרים $x=\frac{5\pi}6$ ו-$x=\frac{4\pi}3$.

מצאו את $a$.

מצאו את כל נקודות הקיצון של $f(x)$ בתחום, וקבעו את סוגן.

הראו כי $f'(x)=\sqrt3\cos x-\sin x$.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ (כולל נקודות הקצה), וקבעו את סוגן.

כמה פתרונות יש למשוואה $f(x)=\sqrt3$ בתחום $0\le x\le2\pi$? נמקו.

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)$ בתחום $0\le x\le2\pi$, והוכיחו כי בתחום $0<x\le2\pi$ יש ל-$f(x)$ נקודת אפס אחת בלבד. נסמן אותה ב-$t$; הראו כי $\pi<t<\frac{3\pi}{2}$.

הראו כי $f'(x)=\tan^2x-1$.

מצאו את נקודות הקיצון של $f(x)$ בתחום, וקבעו את סוגן.

הראו כי לכל $x$ בתחום $0<x<\frac{\pi}{4}$ מתקיים $\tan x<2x$. האם אי-השוויון $\tan x<2x$ נכון לכל $x$ בתחום $0<x<\frac{\pi}{2}$? נמקו.