שאלות פתוחות: נגזרת של cos x ושל tan x - כיתה י"א 5 יח"ל

מצאו את כל השיפועים האפשריים של משיקים לגרף הפונקציה.

מצאו את ערך ה-$x$ בתחום $0\le x\le2\pi$ שבו שיפוע המשיק הוא הגדול ביותר, ואת משוואת המשיק בנקודה זו.

מצאו את $a$.

מצאו את משוואת המשיק.

מצאו את כל ערכי $m$ שעבורם יש לגרף הפונקציה בדיוק שלושה משיקים ששיפועם $m$, ואת כל ערכי $m$ שעבורם יש לגרף בדיוק משיק אחד ששיפועו $m$.

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה $x=\frac{\pi}{4}$.

לגרף הפונקציה יש בתחום משיק נוסף המקביל למשיק שמצאתם בסעיף א'. מצאו את משוואתו.

מצאו את $a$.

מצאו את כל נקודות הקיצון של $f(x)$ בתחום, וקבעו את סוגן.

הביעו באמצעות $a$, $b$ ו-$\theta$ את הסכום $OA+OB$.

מצאו, באמצעות $a$ ו-$b$, את הערך המינימלי של הסכום $OA+OB$.

ידוע כי הסכום המינימלי הוא 9, וכי הישר שבעבורו הוא מתקבל חותך את ציר ה-$y$ בנקודה $(0,3)$. מצאו את שיעורי הנקודה $P$.

מצאו את כל הנקודות $P$ שבעבורן הישר שנותן את הסכום $OA+OB$ המינימלי הוא גם הישר שנותן את שטח המשולש $OAB$ המינימלי.

כמה פתרונות יש למשוואה $f(x)=\sqrt3$ בתחום $0\le x\le2\pi$? נמקו.

הסבירו מדוע $f'(x)\le0$ בקטע $\frac{5\pi}6\le x\le\frac{4\pi}3$, וחשבו את השטח המוגבל על ידי גרף $f'(x)$, ציר ה-$x$ והישרים $x=\frac{5\pi}6$ ו-$x=\frac{4\pi}3$.

הביעו באמצעות $a$, $b$ ו-$x$ את שטח החלקה $OAB$.

נתון כי: $a=2b$.

מצאו את $x$ שבעבורו שטח החלקה $OAB$ יהיה מינימלי.

ידוע כי השטח המינימלי של החלקה הוא 36. מצאו את $b$.

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)$ בתחום $0\le x\le2\pi$, והוכיחו כי בתחום $0<x\le2\pi$ יש ל-$f(x)$ נקודת אפס אחת בלבד. נסמן אותה ב-$t$; הראו כי $\pi<t<\frac{3\pi}{2}$.

מצאו את נקודות הקיצון של $g(x)$ בתחום $0<x<2\pi$ וקבעו את סוגן. הראו כי ערך הפונקציה בנקודת הקיצון שווה ל-$\cos t$.

הוכיחו כי $\cos t>-\frac1\pi$, וקבעו אם למשוואה $g(x)=-\frac1\pi$ יש פתרון בתחום $0<x\le2\pi$.

מצאו, לפי ערכי $m$, את מספר הפתרונות של המשוואה $g(x)=m$ בתחום $-2\pi\le x\le2\pi$, $x\neq0$. הביעו את תשובתכם באמצעות $t$.

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)$ ואת משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לציר ה-$x$.

נתון כי בתחום $0<x<\frac{3\pi}{2}$ גרף $f(x)$ חותך את ציר ה-$x$ בנקודה אחת בלבד, $x\approx2.029$.

הראו כי $f(x)$ עולה בכל אחד מהקטעים של תחום ההגדרה, ומצאו את תחומי החיוביות והשליליות של $f(x)$.

נתונה הפונקציה $g(x)=x\sin(x)$, המוגדרת לכל $x$.

האם $g(x)$ זוגית, אי-זוגית, או לא זוגית ולא אי-זוגית? הוכיחו.