מבחן לדוגמה: נגזרת של הרכבה: פולינום ושורש על פונקציה טריגונומטרית - כיתה י"א 5 יח"ל

חשבו את $f''(0)$.

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)$, והראו כי $f(x)$ זוגית.

הראו כי $f'(x)=\sin x\left(\frac{1}{\sqrt{2\cos x}}-1\right)$, ומצאו את שיעורי נקודות הקיצון של $f(x)$ וקבעו את סוגן.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף $f(x)$ עם הצירים, ואת תחומי החיוביות והשליליות של $f(x)$.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

נסמן ב-$S$ את השטח המוגבל על ידי גרף $f(x)$ ועל ידי ציר ה-$x$ בתחום $0\le x\le\frac\pi2$. נתונה הפונקציה $g(x)=1-f(x)$, המוגדרת באותו התחום כמו $f(x)$.

הראו כי $g(x)>f(x)$ בכל התחום, והביעו באמצעות $S$ את השטח המוגבל על ידי הגרפים של $f(x)$ ו-$g(x)$ ועל ידי הישרים $x=-\frac\pi2$ ו-$x=\frac\pi2$.

מצאו את $k$.

מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של הפונקציה בתחום.

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)$ ואת האסימפטוטות האנכיות שלה.

הראו כי $f'(x)=\frac{\sin x}{2\cos x\sqrt{\cos x}}$, ומצאו את תחומי העלייה והירידה ואת נקודת הקיצון של $f(x)$.

נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{1}{\sqrt{\sin x}}$. הראו כי $g(x)=f\left(x-\frac{\pi}{2}\right)$, ומצאו את תחום ההגדרה של $g$ בתחום הנתון ואת נקודת הקיצון שלה.

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)$, והראו כי $f(x)$ זוגית לכל $a$.

מצאו את ערכי $a$ שבעבורם יש ל-$f(x)$ נקודות קיצון שאינן בקצוות התחום ואינן ב-$x=0$, והביעו באמצעות $a$ את שיעוריהן ואת סוגן.

נתון כי ערך המינימום של $f(x)$ הוא $-\frac{9}{16}$. מצאו את $a$ ואת שיעורי נקודות המינימום (דייקו 2 ספרות אחרי הנקודה העשרונית), וקבעו את סוג הקיצון של $f(x)$ בנקודה שבה $x=0$.

לאילו ערכים של $a$ יש לגרף $f(x)$ אסימפטוטות אנכיות בתחום? מה הן במקרה זה?

מצאו את כל הערכים של $a$ שעבורם $f(x)$ עולה בכל תחום ההגדרה שלה.

נתון $a=-\frac54$. מצאו את נקודות הקיצון של $f(x)$ בתחום $-\pi\le x\le\pi$ (כולל קצוות) וקבעו את סוגן.

עבור $a=-\frac54$, חשבו את השטח הכלוא בין הגרף של $f(x)$ לבין ציר ה-$x$ בתחום $-\pi\le x\le\pi$.