שאלות פתוחות: נגזרת של הרכבה: פולינום ושורש על פונקציה טריגונומטרית - כיתה י"א 5 יח"ל

שאלות על נגזרת של הרכבה - פולינום ושורש על פונקציה טריגונומטרית - לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות גוזרים פונקציות כמו sin³x, cos⁴x ו-√(1+sin²x), מוצאים פרמטר k לפי שיפוע המשיק לגרף של √(k+2sin x), וחוקרים את (a sin x+1)² ואת sin x/√(1-2cos x) בתחום נתון. רוב השאלות בינוניות, וחלק ניכר קשות. מתאים להכנה לבגרות ולמבחן בפרק; המורה מסמן את השאלות הרצויות, והן יוצאות לקובץ Word יחד עם הפתרונות המלאים.

39 שאלותקלה: 8בינונית: 20קשה: 11

שאלה 1 · נגזרת של הרכבה: פולינום ושורש על פונקציה טריגונומטריתשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=1+sin⁡2xf(x)=\sqrt{1+\sin^2x}f(x)=1+sin2x​, המוגדרת לכל xxx.

חשבו את f′′(0)f''(0)f′′(0).

שאלה 2 · נגזרת של הרכבה: פולינום ושורש על פונקציה טריגונומטריתשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=k+2sin⁡xf(x)=\sqrt{k+2\sin x}f(x)=k+2sinx​ בתחום 0≤x≤π0\le x\le\pi0≤x≤π, כאשר k>0k>0k>0 פרמטר. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=π6x=\frac{\pi}{6}x=6π​ הוא 12\frac1221​.

א.

מצאו את kkk.

ב.

מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של הפונקציה בתחום.

שאלה 3 · נגזרת של הרכבה: פולינום ושורש על פונקציה טריגונומטריתשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡3xf(x)=\sin^3xf(x)=sin3x.

מצאו את השיפוע הגדול ביותר של משיק לגרף הפונקציה.

שאלה 4 · נגזרת של הרכבה: פולינום ושורש על פונקציה טריגונומטריתשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=cos⁡4xf(x)=\cos^4xf(x)=cos4x.

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=π4x=\frac{\pi}{4}x=4π​.

שאלה 5 · חקירת $\frac{s i n x}{1 - 2 c o s x}$ בתחום $[0, 2 π]$ והשוואת אינטגרליםשאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה: f(x)=sin⁡(x)1−2cos⁡(x)f(x)=\frac{\sin(x)}{\sqrt{1-2\cos(x)}}f(x)=1−2cos(x)​sin(x)​. ענו על הסעיפים הבאים עבור התחום: 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ב.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-xxx (אם יש כאלה).

ג.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x)f(x)f(x) (אם יש כאלה).

ד.

מצאו את האסימפטוטות של f(x)f(x)f(x) המאונכות לציר ה-xxx.

ה.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ו.

לפניכם שלושה ביטויים:
(1) ∫π2πf(x)dx(2) ∫π4π3f(x)dx(3) ∫π24π3f(x)dx(1)\ \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}f(x)dx\qquad(2)\ \int_{\pi}^{\frac{4\pi}{3}}f(x)dx\qquad(3)\ \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{4\pi}{3}}f(x)dx(1) ∫2π​π​f(x)dx(2) ∫π34π​​f(x)dx(3) ∫2π​34π​​f(x)dx

סדרו אותם מהקטן לגדול. פרטו את שיקוליכם.

ז.

חשבו את ערכו של הביטוי הגדול מבין השלושה.

שאלה 6 · נגזרת של הרכבה: פולינום ושורש על פונקציה טריגונומטריתשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=(asin⁡x+1)2f(x)=(a\sin x+1)^2f(x)=(asinx+1)2 בתחום 0<x<2π0<x<2\pi0<x<2π, כאשר a≠0a\ne0a=0 פרמטר.

מצאו את כל ערכי aaa שעבורם יש לפונקציה בדיוק שתי נקודות קיצון בתחום.

שאלה 7 · חקירה מודרכת של $\frac{c o s x}{2 s i n x - 1}$ ושטחשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=cos⁡(x)2sin⁡(x)−1f(x)=\frac{\cos(x)}{\sqrt{2\sin(x)-1}}f(x)=2sin(x)−1​cos(x)​. ענו על הסעיפים הבאים עבור התחום: 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ב.

הראו כי f′(x)=−sin⁡2x−sin⁡x+1(2sin⁡x−1)2sin⁡x−1f'(x)=-\frac{\sin^2x-\sin x+1}{(2\sin x-1)\sqrt{2\sin x-1}}f′(x)=−(2sinx−1)2sinx−1​sin2x−sinx+1​, והסבירו מדוע f(x)f(x)f(x) יורדת בכל תחום ההגדרה שלה.

ג.

מצאו את נקודות החיתוך של גרף f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-xxx ואת האסימפטוטות של f(x)f(x)f(x) המאונכות לציר ה-xxx.

ד.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ה.

הראו כי F(x)=2sin⁡x−1F(x)=\sqrt{2\sin x-1}F(x)=2sinx−1​ היא פונקציה קדומה של f(x)f(x)f(x), וחשבו את השטח המוגבל על ידי גרף f(x)f(x)f(x), ציר ה-xxx והישר x=π4x=\frac{\pi}{4}x=4π​.

שאלה 8 · פונקציה טריגונומטרית זוגית: זווית כפולה, חסמים, קיצון של $f (2 x)$ ואינטגרל של נגזרותשאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה: f(x)=cos⁡(2x)−2cos⁡(x)+1f(x)=\cos(2x)-2\cos(x)+1f(x)=cos(2x)−2cos(x)+1, המוגדרת לכל xxx.

א.

האם הפונקציה f(x)f(x)f(x) זוגית? נמקו.

ב.

הוכיחו כי לכל xxx מתקיים: −12≤f(x)≤4-\frac12\le f(x)\le4−21​≤f(x)≤4.

ג.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם הצירים בתחום: −π≤x≤π-\pi\le x\le\pi−π≤x≤π.

ד.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) בתחום: −π≤x≤π-\pi\le x\le\pi−π≤x≤π.

ה.

נתונה הפונקציה: g(x)=f(2x)g(x)=f(2x)g(x)=f(2x), המוגדרת לכל xxx.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה g(x)g(x)g(x) בתחום −π2≤x≤π2-\frac\pi2\le x\le\frac\pi2−2π​≤x≤2π​, וקבעו את סוגן.

ו.

נתון כי: ∫0π8(g′(x)−f′(x))dx=S\int_0^{\frac\pi8}\left(g'(x)-f'(x)\right)dx=S∫08π​​(g′(x)−f′(x))dx=S. הביעו באמצעות SSS את: ∫−π8π4(g′(x)−f′(x))dx\int_{-\frac\pi8}^{\frac\pi4}\left(g'(x)-f'(x)\right)dx∫−8π​4π​​(g′(x)−f′(x))dx. הסבירו את התשובה.

שאלה 9 · משפחת הפונקציות $\frac{c o s x}{s i n x + k}$ : קיצון לפי פרמטר, בעיה הפוכה ושטחשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=cos⁡(x)sin⁡(x)+kf(x)=\frac{\cos(x)}{\sqrt{\sin(x)+k}}f(x)=sin(x)+k​cos(x)​, כאשר k>1k>1k>1 הוא פרמטר. ענו על הסעיפים הבאים עבור התחום: 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π.

א.

הסבירו מדוע f(x)f(x)f(x) מוגדרת בכל התחום 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π, ומצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-xxx.

ב.

הוכיחו כי לכל k>1k>1k>1 יש ל-f(x)f(x)f(x) בדיוק שתי נקודות קיצון בתחום 0<x<2π0<x<2\pi0<x<2π, ושתיהן בתחום π<x<2π\pi<x<2\piπ<x<2π.

ג.

נתון כי x=7π6x=\frac{7\pi}{6}x=67π​ היא נקודת קיצון של f(x)f(x)f(x).

מצאו את kkk, ומצאו את שיעורי שתי נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) בתחום 0<x<2π0<x<2\pi0<x<2π וקבעו את סוגן.

ד.

עבור kkk שמצאתם, חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף f(x)f(x)f(x), ציר ה-xxx והישרים x=0x=0x=0 ו-x=2πx=2\pix=2π.

שאלה 10 · חקירת $cos x - 2 cos x$ בתחום סגור ושטח בעזרת זוגיותשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=cos⁡x−2cos⁡xf(x)=\cos x-\sqrt{2\cos x}f(x)=cosx−2cosx​, בתחום: −π≤x≤π-\pi\le x\le\pi−π≤x≤π.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x), והראו כי f(x)f(x)f(x) זוגית.

ב.

הראו כי f′(x)=sin⁡x(12cos⁡x−1)f'(x)=\sin x\left(\frac{1}{\sqrt{2\cos x}}-1\right)f′(x)=sinx(2cosx​1​−1), ומצאו את שיעורי נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) וקבעו את סוגן.

ג.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף f(x)f(x)f(x) עם הצירים, ואת תחומי החיוביות והשליליות של f(x)f(x)f(x).

ד.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ה.

נסמן ב-SSS את השטח המוגבל על ידי גרף f(x)f(x)f(x) ועל ידי ציר ה-xxx בתחום 0≤x≤π20\le x\le\frac\pi20≤x≤2π​. נתונה הפונקציה g(x)=1−f(x)g(x)=1-f(x)g(x)=1−f(x), המוגדרת באותו התחום כמו f(x)f(x)f(x).

הראו כי g(x)>f(x)g(x)>f(x)g(x)>f(x) בכל התחום, והביעו באמצעות SSS את השטח המוגבל על ידי הגרפים של f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x) ועל ידי הישרים x=−π2x=-\frac\pi2x=−2π​ ו-x=π2x=\frac\pi2x=2π​.

עוד 22 שאלות על נגזרת של הרכבה: פולינום ושורש על פונקציה טריגונומטרית

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

חקירת $sin^{3} x cos^{3} x$ , הפונקציה $\frac{1}{f}$ ומרחק מינימלי בין הגרפים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\sin^3(x)\cdot\cos^3(x)$ המוגדרת בתחום: $-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$ .
חקירת $sin^{2} x cos x$ : שני ענפים של $\frac{1}{f}$ , מספר חיתוכים עם $y = m$ ומרחק מינימלי (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\sin^2(x)\cdot\cos(x)$ המוגדרת בתחום: $-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$ , ונתונה הפונקציה…
חקירה מודרכת של $2 cos x + \frac{1}{c o s ^{2} x}$ : תחום, זוגיות, קיצון וסקיצה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=2\cos x+\frac{1}{\cos^2x}$ , בתחום $-\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}$ .
חקירת $cos^{2} x - cos x$ : קיצון בקצוות, גרף הנגזרת ושטח בעזרת זוגיות (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\cos^2x-\sqrt{\cos x}$ , בתחום: $-\pi\le x\le\pi$ .
משפחת הפונקציות $cos x - a cos x$ : חיתוכים וקיצון לפי הפרמטר (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\cos x-a\sqrt{\cos x}$ , בתחום: $-\pi\le x\le\pi$ , כאשר $a>0$ הוא פרמטר.
חקירת $x + sin 2 x$ בתחום סגור והפונקציה $- f^{'} (x)$ (מודרך) (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x+\sin(2x)$ , המוגדרת בתחום $-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$ .
נגזרת של הרכבה: פולינום ושורש על פונקציה טריגונומטרית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\sqrt{\sin x}-\sin x$ , בתחום $0\le x\le2\pi$ .
פונקציה טריגונומטרית עם ריבוע: מציאת פרמטר עם פסילה, מספר פתרונות ושטח מתחת לנגזרת (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\sin x\,(b+\cos x)^2$ , המוגדרת בתחום: $-\pi\le x\le\pi$ , $b$ הוא פרמטר.
הפונקציה $\frac{1}{c o s x}$ : חקירה מודרכת, הזזה ואינטגרל של הנגזרת (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{1}{\sqrt{\cos x}}$ . ענו על כל הסעיפים עבור התחום $-\frac{\pi}{2}\le x\le\pi$ .
נגזרת של הרכבה: פולינום ושורש על פונקציה טריגונומטרית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=2\sqrt{\cos x}-\cos x$ , בתחום $-\frac\pi2\le x\le\frac\pi2$ . בסעיף ב מופיעים ארבעה גרפים I-IV.
משפחת הפונקציות $cos x + \frac{b}{c o s ^{2} x}$ : מספר נקודות הקיצון לפי $b$ ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\cos x+\frac{b}{\cos^2x}$ , בתחום $-\frac{3\pi}{2}<x<\frac{3\pi}{2}$ , $x\ne\pm\frac{\pi}{2}$ . $b$ הוא פרמטר חיובי.
נגזרת של $\frac{1}{c o s ^{2} x}$ לפי כלל השרשרת (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=2\cos x+\frac{1}{\cos^2x}$ , בתחום $-\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}$ .
פונקציה טריגונומטרית $16 cos x + \frac{1}{c o s ^{2} x}$ : חקירה בתחום, זהות הזווית הכפולה ונקודה חסרה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=16\cos x+\frac{1}{\cos^2x}$ בתחום $-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$ .
הפונקציה $a \cdot f^{'} (x)$ כש- $f = 4 cos x + cos 2 x$ והסימן של $a$ לא ידוע (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=4\cos x+\cos(2x)$ , המוגדרת בתחום $-\pi\le x\le\pi$ . נתונה גם הפונקציה $g(x)=\sqrt{a\cdot f^{\prime}(x)}$ , כאשר…
פונקציה טריגונומטרית עם $\frac{1}{c o s x}$ : זוגיות, משיק אופקי, מקסימום מתחת למינימום ומפגש של $g$ עם $\frac{4}{g}$ (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\cos x+\frac{1}{\cos x}+a$ , בתחום $-\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}$ . $a$ הוא פרמטר.
משפחה $sin^{2} x + a cos x$ : מספר נקודות הקיצון לפי פרמטר, בעיה הפוכה וספירת אסימפטוטות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(\sin x)^2+a\cos x$ , המוגדרת בתחום $-\pi\le x\le\pi$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציה טריגונומטרית זוגית: חקירה בתחום, ו- $\frac{1}{f ( x ) + b}$ עם שתי אסימפטוטות (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=2(\sin x)^2+\cos x-1$ , המוגדרת בתחום $-\pi\le x\le\pi$ .
משפחה $\frac{s i n x}{c o s x - a}$ : מתי יש אסימפטוטות, מתי הפונקציה עולה, וקיצון בקצוות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{\sin x}{\sqrt{\cos x-a}}$ , כאשר $a<1$ פרמטר. ענו על כל הסעיפים עבור התחום $-\pi\le x\le\pi$ .
פונקציות טריגונומטריות עם $2 cos x - 1$ במכנה: חקירה, הזזה ושיקוף, ואינטגרל (שאלה מלאה · בינונית)
נתונות הפונקציות $f(x)=\frac{\sin x}{\sqrt{2\cos x-1}}$ , $g(x)=\frac{\cos x}{\sqrt{2\sin x-1}}$ .
נקודות קיצון של $cos x - a cos x$ ומציאת הפרמטר מערך המינימום (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\cos x-a\sqrt{\cos x}$ , בתחום: $-\pi\le x\le\pi$ , כאשר $a>0$ הוא פרמטר.
נגזרת של מנה עם שורש של פונקציה טריגונומטרית, והוכחת ירידה (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\cos(x)}{\sqrt{2\sin(x)-1}}$ . ענו על הסעיף הבא עבור התחום: $0\le x\le2\pi$ . תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ בתחום…
הפונקציה $\frac{1}{c o s x}$ : תחום, עלייה וירידה, והזזה (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{1}{\sqrt{\cos x}}$ . ענו על כל הסעיפים עבור התחום $-\frac{\pi}{2}\le x\le\pi$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

חקירת $\frac{c o s x}{s i n x}$ בתחום $[0, 2 π]$ והשוואת אינטגרלים · בגרות 571 חורף 2021 מועד נבצרים, שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\cos(x)}{\sqrt{\sin(x)}}$ . ענו על הסעיפים הבאים עבור התחום: $0\le x\le2\pi$ .
פונקציה טריגונומטרית זוגית: זווית כפולה, חסמים, קיצון של $f (2 x)$ ואינטגרל של נגזרות · בגרות 571 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=\sin^2(x)-\cos^2(x)-1$ , המוגדרת לכל $x$ .
חקירת $sin x cos^{3} x$ , הפונקציה $\frac{1}{f}$ ומרחק מינימלי בין הגרפים · בגרות 571 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\sin(x)\cdot\cos^3(x)$ המוגדרת בתחום: $-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$ .
חקירת $cos x - cos x$ : קיצון בקצוות, גרף הנגזרת ושטח בעזרת זוגיות · בגרות 571 קיץ 2024 מועד א', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=\cos x-\sqrt{\cos x}$ , בתחום: $-\pi\le x\le\pi$ .
פונקציה טריגונומטרית עם $\frac{4}{c o s ^{2} x}$ : זוגיות, משיק אופקי, שלושה מינימומים ומפגש של $g$ עם $\frac{1}{g}$ · בגרות 571 חורף 2025, שאלה 7
נתונה הפונקציה $f(x)=\cos x+\frac{4}{(\cos x)^2}+a$ , בתחום $-\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}$ . $a$ הוא פרמטר.
פונקציה טריגונומטרית זוגית: חקירה בתחום, ו- $\frac{1}{f ( x ) + b}$ עם שתי אסימפטוטות · בגרות 571 חורף 2026, שאלה 7
נתונה הפונקציה $f(x)=(\sin x)^2+\cos x-1$ , המוגדרת בתחום $-\pi\le x\le\pi$ .
פונקציות טריגונומטריות עם שורש במכנה: חקירה, הזזה ושיקוף, ואינטגרל של פונקציה אי-זוגית · מבחן לדוגמה 2 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 6
נתונות הפונקציות $f(x)=\frac{\sin x}{\sqrt{\cos x}}$ , $g(x)=\frac{\cos x}{\sqrt{\sin x}}$ .

שאלה 1 · נגזרת של הרכבה: פולינום ושורש על פונקציה טריגונומטריתשאלה קצרה · קלה

שאלה 2 · נגזרת של הרכבה: פולינום ושורש על פונקציה טריגונומטריתשאלה קצרה · בינונית

שאלה 3 · נגזרת של הרכבה: פולינום ושורש על פונקציה טריגונומטריתשאלה קצרה · קשה

שאלה 4 · נגזרת של הרכבה: פולינום ושורש על פונקציה טריגונומטריתשאלה קצרה · קלה

שאלה 5 · חקירת 1−2cosx​sinx​ בתחום [0,2π] והשוואת אינטגרליםשאלה מלאה · בינונית

שאלה 6 · נגזרת של הרכבה: פולינום ושורש על פונקציה טריגונומטריתשאלה קצרה · קשה

שאלה 7 · חקירה מודרכת של 2sinx−1​cosx​ ושטחשאלה מלאה · קלה

שאלה 8 · פונקציה טריגונומטרית זוגית: זווית כפולה, חסמים, קיצון של f(2x) ואינטגרל של נגזרותשאלה מלאה · בינונית

שאלה 9 · משפחת הפונקציות sinx+k​cosx​: קיצון לפי פרמטר, בעיה הפוכה ושטחשאלה מלאה · קשה

שאלה 10 · חקירת cosx−2cosx​ בתחום סגור ושטח בעזרת זוגיותשאלה מלאה · קלה