מבחן לדוגמה: משוואות בעזרת זהויות הזווית הכפולה - כיתה י"א 5 יח"ל

מצאו את הפתרון הכללי של המשוואה (במעלות).

הראו כי הפונקציה $f(x)$ אי-זוגית.

הראו כי $f(x)=\sin(2x)$, והסיקו כי לכל $x$: $-1\le f(x)\le1$.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם הצירים בתחום $-\pi\le x\le\pi$.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ בתחום $-\pi\le x\le\pi$.

נתונה הפונקציה $g(x)=f(2x)$.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של $g(x)$ בתחום $-\frac\pi4\le x\le\frac\pi4$, וקבעו את סוגן.

נתון כי $\int_0^{\frac{\pi}{12}}\left(g'(x)+f'(x)\right)dx=S$. הביעו באמצעות $S$ את $\int_{-\frac{\pi}{12}}^{0}\left(g'(x)+f'(x)\right)dx$. הסבירו.

פתרו את המשוואה בתחום $0\le x\le2\pi$.

הביעו באמצעות $k$ ו-$\alpha$ את אורכי הקטעים $ME$, $BM$, $DE$ ו-$DC$.

הראו כי סכום שטחי המשולשים $BEM$ ו-$CED$ הוא $\frac54k^2\sin2\alpha$.

נתון כי סכום שטחי המשולשים $BEM$ ו-$CED$ הוא $1.1k^2$.

מצאו את הערך של $\alpha$.

הראו כי $\angle ABD=\alpha$, וכי $\angle AED=90^\circ-2\alpha$.

הראו כי $AD=2R\sin\alpha$, והביעו באמצעות $R$ ו-$\alpha$ את אורך הקטע $AE$.

נתון כי $AE=R$. מצאו את $\alpha$.

הוכיחו כי $ME=CM$ וכי המרובע $ACDE$ בר חסימה במעגל.

הביעו את היחס $\frac{CD}{DB}$ בעזרת $\beta$.

מצאו את $\beta$ שעבורה ניתן לחסום מעגל במרובע $CMED$.

עבור $\beta$ שמצאתם, הוכיחו כי $CMED$ מעוין. נתון $AC=6$; מצאו את רדיוס המעגל החסום במרובע $CMED$.