שאלות פתוחות: משוואות בעזרת זהויות הזווית הכפולה - כיתה י"א 5 יח"ל

שאלות על משוואות טריגונומטריות שנפתרות בעזרת זהויות הזווית הכפולה, לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות פותרים משוואות כמו sin 2x-cos x=0 ו-cos 2x=|cos x|, קובעים לפי גרף של cos x כמה פתרונות יש למשוואה עם פרמטר, מוצאים נקודות חיתוך בין cos 2x ל-sin x, ופותרים בעיות גאומטריות במעגל ובמשולש ישר-זווית שמובילות למשוואה. רוב השאלות בינוניות. בוחרים שאלות לבוחן או למבחן, עם פתרון מלא לכל שאלה ואפשרות להוריד ל-Word.

23 שאלותקלה: 5בינונית: 14קשה: 4

שאלה 1 · משוואות בעזרת זהויות הזווית הכפולהשאלה קצרה · קלה

נתונה המשוואה sin⁡(2x)−cos⁡x=0\sin(2x)-\cos x=0sin(2x)−cosx=0.

מצאו את הפתרון הכללי של המשוואה (במעלות).

שאלה 2 · הזווית הכפולה: cos2α בשלוש צורותיהשאלה קצרה · בינונית

נתונה המשוואה cos⁡2x=∣cos⁡x∣\cos 2x=|\cos x|cos2x=∣cosx∣.

פתרו את המשוואה בתחום 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π.

שאלה 3 · משוואות בעזרת זהויות הזווית הכפולהשאלה קצרה · קשה

בשרטוט שלפניכם גרף הפונקציה y=cos⁡xy=\cos xy=cosx בתחום 0≤x≤π0\le x\le\pi0≤x≤π. נתונה המשוואה cos⁡(2x)+acos⁡x+1=0\cos(2x)+a\cos x+1=0cos(2x)+acosx+1=0, כאשר aaa פרמטר.
y=cos(x)
0.51.01.52.02.53.0-1.0-0.50.51.0

מצאו את כל ערכי aaa שעבורם יש למשוואה פתרון אחד בדיוק בתחום 0≤x≤π0\le x\le\pi0≤x≤π.

שאלה 4 · שני משיקים למעגל: מרובע בר-חסימה, אורכים באמצעות $α$ ומשוואה עם זווית כפולהשאלה מלאה · קלה

DBDBDB ו-DCDCDC משיקים למעגל שמרכזו OOO ורדיוסו RRR, כמתואר בסרטוט. המשך BDBDBD חותך את המשך OCOCOC בנקודה AAA. נסמן: ∢DBC=α\sphericalangle DBC=\alpha∢DBC=α.
OBCDA

א.

הסבירו מדוע אפשר לחסום במעגל את המרובע OBDCOBDCOBDC, ומדוע ODODOD הוא קוטר של המעגל החוסם אותו.

ב.

הראו כי ∢BOD=α\sphericalangle BOD=\alpha∢BOD=α, והביעו באמצעות RRR ו-α\alphaα את ODODOD ואת DBDBDB.

ג.

הסבירו מדוע ∢OAB=90∘−2α\sphericalangle OAB=90^\circ-2\alpha∢OAB=90∘−2α, והביעו באמצעות RRR ו-α\alphaα את OAOAOA.

ד.

מצאו את α\alphaα שבעבורה OA=2⋅ODOA=2\cdot ODOA=2⋅OD.

שאלה 5 · משוואות בעזרת זהויות הזווית הכפולהשאלה קצרה · בינונית

בשרטוט שלפניכם הגרפים של הפונקציות f(x)=cos⁡(2x)f(x)=\cos(2x)f(x)=cos(2x) ו-g(x)=sin⁡xg(x)=\sin xg(x)=sinx בתחום 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π.
y=f(x)y=g(x)

א.

מצאו את שיעורי ה-xxx של נקודות החיתוך של שני הגרפים בתחום.

ב.

מצאו את תחומי ה-xxx בתחום הנתון שבהם f(x)>g(x)f(x)>g(x)f(x)>g(x).

שאלה 6 · משולש ישר זווית עם זווית פרמטרית: מתי אפשר לחסום מעגל במרובע $CME D$ שאלה מלאה · קשה

משולש ABCABCABC הוא ישר זווית: ∢C=90∘\sphericalangle C=90^\circ∢C=90∘. הנקודה EEE היא אמצע הצלע ABABAB.
הנקודה DDD נמצאת על הצלע BCBCBC כך ש-AD=DBAD=DBAD=DB, והנקודה MMM היא אמצע הקטע ADADAD.
נסמן ∢ABC=β\sphericalangle ABC=\beta∢ABC=β.
CBDAEM

א.

הוכיחו כי ME=CMME=CMME=CM וכי המרובע ACDEACDEACDE בר חסימה במעגל.

ב.

הביעו את היחס CDDB\frac{CD}{DB}DBCD​ בעזרת β\betaβ.

ג.

מצאו את β\betaβ שעבורה ניתן לחסום מעגל במרובע CMEDCMEDCMED.

ד.

עבור β\betaβ שמצאתם, הוכיחו כי CMEDCMEDCMED מעוין. נתון AC=6AC=6AC=6; מצאו את רדיוס המעגל החסום במרובע CMEDCMEDCMED.

שאלה 7 · פונקציה טריגונומטרית אי-זוגית: זווית כפולה, קיצון של $f (2 x)$ ואינטגרל של נגזרותשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)f(x)=2\sin(x)\cos(x)f(x)=2sin(x)cos(x), המוגדרת לכל xxx.

א.

הראו כי הפונקציה f(x)f(x)f(x) אי-זוגית.

ב.

הראו כי f(x)=sin⁡(2x)f(x)=\sin(2x)f(x)=sin(2x), והסיקו כי לכל xxx: −1≤f(x)≤1-1\le f(x)\le1−1≤f(x)≤1.

ג.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם הצירים בתחום −π≤x≤π-\pi\le x\le\pi−π≤x≤π.

ד.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) בתחום −π≤x≤π-\pi\le x\le\pi−π≤x≤π.

ה.

נתונה הפונקציה g(x)=f(2x)g(x)=f(2x)g(x)=f(2x).

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של g(x)g(x)g(x) בתחום −π4≤x≤π4-\frac\pi4\le x\le\frac\pi4−4π​≤x≤4π​, וקבעו את סוגן.

ו.

נתון כי ∫0π12(g′(x)+f′(x))dx=S\int_0^{\frac{\pi}{12}}\left(g'(x)+f'(x)\right)dx=S∫012π​​(g′(x)+f′(x))dx=S. הביעו באמצעות SSS את ∫−π120(g′(x)+f′(x))dx\int_{-\frac{\pi}{12}}^{0}\left(g'(x)+f'(x)\right)dx∫−12π​0​(g′(x)+f′(x))dx. הסבירו.

שאלה 8 · משוואות בעזרת זהויות הזווית הכפולהשאלה קצרה · בינונית

נתונה המשוואה sin⁡4x+cos⁡4x=58\sin^4x+\cos^4x=\frac58sin4x+cos4x=85​.

מצאו את כל פתרונות המשוואה בתחום 0≤x≤π0\le x\le\pi0≤x≤π.

שאלה 9 · זווית שעבורה אפשר לחסום מעגל במרובע: משוואה עם cos2βשאלה קצרה · קשה

משולש ABCABCABC הוא ישר זווית: ∢C=90∘\sphericalangle C=90^\circ∢C=90∘. הנקודה EEE היא אמצע הצלע ABABAB.
הנקודה DDD נמצאת על הצלע BCBCBC כך ש-AD=DBAD=DBAD=DB, והנקודה MMM היא אמצע הקטע ADADAD.
נסמן ∢ABC=β\sphericalangle ABC=\beta∢ABC=β.
ידוע כי CM=ME=DB2CM=ME=\frac{DB}{2}CM=ME=2DB​, כי DE⊥ABDE\perp ABDE⊥AB וכי CDDB=cos⁡2β\frac{CD}{DB}=\cos2\betaDBCD​=cos2β.
CBDAEM

מצאו את β\betaβ שעבורה ניתן לחסום מעגל במרובע CMEDCMEDCMED.

שאלה 10 · מעגל, משיק וקוטר: אורך ושטח במשפט הסינוסים ומשוואה עם $cos 2 α$ שאלה מלאה · קלה

ABABAB הוא קוטר במעגל שרדיוסו RRR ומרכזו OOO. המשיק למעגל בנקודה DDD חותך את המשך הקוטר ABABAB (מעבר לנקודה AAA) בנקודה EEE (ראו סרטוט). נסמן: ∠ADE=α\angle ADE=\alpha∠ADE=α.
ABDOE

א.

הראו כי ∠ABD=α\angle ABD=\alpha∠ABD=α, וכי ∠AED=90∘−2α\angle AED=90^\circ-2\alpha∠AED=90∘−2α.

ב.

הראו כי AD=2Rsin⁡αAD=2R\sin\alphaAD=2Rsinα, והביעו באמצעות RRR ו-α\alphaα את אורך הקטע AEAEAE.

ג.

הביעו באמצעות RRR ו-α\alphaα את שטח המשולש ADEADEADE.

ד.

נתון כי AE=RAE=RAE=R. מצאו את α\alphaα.

עוד 9 שאלות על משוואות בעזרת זהויות הזווית הכפולה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

משוואות בעזרת זהויות הזווית הכפולה (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה המשוואה $\frac{\cos(2x)}{\cos x-\sin x}=\sqrt2$ .
משיק ומשך קוטר: ביטוי לאורך קטע ומשוואה עם cos2α (שאלת ביניים · קשה)
$AB$ הוא קוטר במעגל שרדיוסו $R$ ומרכזו $O$ . המשיק למעגל בנקודה $D$ חותך את המשך הקוטר $AB$ (מעבר לנקודה $A$ ) בנקודה $E$ (ראו סרטוט). נסמן:…
בעיית קיצון טריגונומטרית: חתך מזרב בצורת טרפז (שאלה מלאה · קלה)
מכופפים פס פח כך שחתך המרזב שנוצר הוא טרפז $KLMN$ (ראו סרטוט): הבסיס $KL$ והדפנות $LM$ ו- $KN$ כולם באורך $b$ , והדפנות נוטות כלפי חוץ בזווית…
משוואות בעזרת זהויות הזווית הכפולה (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AB=c$ ו- $\sphericalangle BAC=\alpha$ . $CD$ הוא הגובה ליתר ( $D$ על $AB$ ).
פונקציה טריגונומטרית זוגית: זווית כפולה, חסמים, קיצון של $f (2 x)$ ואינטגרל של נגזרות (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\cos(2x)-2\cos(x)+1$ , המוגדרת לכל $x$ .
משולש שווה שוקיים ומעגל חסום: המרחק מהקודקוד, זווית כפולה בצורת סינוס ומשפט הקוסינוסים (שאלה מלאה · בינונית)
במשולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AC=AB$ ) חסום מעגל שמרכזו בנקודה $O$ ורדיוסו $r$ (ראו סרטוט). נסמן: $\angle ACB=2\alpha$ .
משוואות בעזרת זהויות הזווית הכפולה (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש ישר זווית $ABC$ ( $\angle ABC=90^\circ$ ) נתון $\angle ACB=2\alpha$ . $CD$ חוצה את הזווית $ACB$ , והנקודה $D$ על הניצב $AB$ (ראו סרטוט).…
חקירת $cos^{2} x \cdot sin 2 x$ בתחום סגור והפונקציה $a \cdot f^{'} (x)$ (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=(\cos x)^2\cdot\sin(2x)$ , המוגדרת בתחום $-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$ .
סכום שטחים במשולש שווה-שוקיים: מזהות הזווית הכפולה למשוואה (שאלת ביניים · בינונית)
בסרטוט שלפניכם משולש שווה-שוקיים $ABC$ ( $AB=AC$ ). הנקודה $E$ נמצאת על הבסיס $BC$ כך ש- $BE=2\cdot EC$ . $ED$ מאונך לצלע $AC$ ו- $EM$ מאונך לצלע…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שני משיקים למעגל: מרובעים ברי-חסימה, קוטרי מעגלים חוסמים ומשוואה עם זווית כפולה · בגרות 571 קיץ 2021 מועד א', שאלה 5
$DB$ ו- $DC$ משיקים למעגל שמרכזו $O$ , כמתואר בסרטוט. רדיוס המעגל: $R$ . המשך $BD$ חותך את המשך $OC$ בנקודה $A$ . הקטע $OD$ והמיתר $BC$ נחתכים בנקודה $M$ . הקטע $CE$ …
פונקציה טריגונומטרית זוגית: זווית כפולה, חסמים, קיצון של $f (2 x)$ ואינטגרל של נגזרות · בגרות 571 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=\sin^2(x)-\cos^2(x)-1$ , המוגדרת לכל $x$ .
משולש שווה שוקיים ומעגל חסום: הבעה בעזרת זווית, משוואה עם זווית כפולה ומשפט הקוסינוסים · בגרות 571 קיץ 2025 מועד א', שאלה 5
במשולש שווה שוקיים $ABC$ ( $AC=AB$ ) חסום מעגל שמרכזו בנקודה $O$ ורדיוסו $r$ (ראו סרטוט). נסמן: $\angle ACB=2\alpha$ .
חקירת $sin^{2} x \cdot cos 2 x$ בתחום סגור והפונקציה $a \cdot f^{'} (x)$ · בגרות 571 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=(\sin x)^2\cdot\cos(2x)$ , המוגדרת בתחום $-\frac{\pi}{4}\le x\le\frac{\pi}{4}$ .