מבחן לדוגמה: פתרון בתחום נתון ומספר הפתרונות - כיתה י"א 5 יח"ל

הראו כי $\angle CAD=\angle ADC=\alpha$.

הוכיחו כי רדיוס המעגל החוסם את משולש $ABD$ שווה לרדיוס המעגל החוסם את משולש $ACD$.

הביעו באמצעות $R$ ו-$\alpha$ את אורך הצלע $AC$ ואת שטח המשולש $ACD$.

נסמן ב-$n$ את היחס בין שטח המשולש $ACD$ לבין שטח המשולש $ABD$.

הראו כי $n=\frac{1}{1+2\cos2\alpha}$. (רמז: לשני המשולשים אותו גובה מהקודקוד $A$.)

הביעו באמצעות $k$ ו-$\alpha$ את אורכי הקטעים $ME$, $BM$, $DE$ ו-$DC$.

הראו כי סכום שטחי המשולשים $BEM$ ו-$CED$ הוא $\frac54k^2\sin2\alpha$.

נתון כי סכום שטחי המשולשים $BEM$ ו-$CED$ הוא $1.1k^2$.

מצאו את הערך של $\alpha$.

נתון: $k=3$.

הסבירו מדוע $AE$ הוא קוטר במעגל החוסם את המשולש $AED$, ומצאו את רדיוס המעגל. היעזרו בגובה $AH$ לבסיס $BC$.

מצאו את תחום ההגדרה של $h(x)$ בתחום הנתון.

כמה פתרונות יש למשוואה $h(x)=3$ בתחום? נמקו.

הביעו את שטח משולש $ACD$ באמצעות $R$ ו-$\alpha$.

נסמן ב-$m$ את היחס בין שטח המשולש $ACD$ לבין שטח המשולש $ABC$.

האם ייתכן כי $m=1$? נמקו את תשובתכם.

נתון כי $m=0.25$. מצאו את גודלי זוויות המשולש $ABC$.

מצאו את כל ערכי $m$ שבעבורם למשוואה $g(x)=m$ יש בדיוק 4 פתרונות בתחום $-\pi<x<\pi$.

הראו כי $f(x)$ זוגית, ומצאו באמצעות $a$ את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של $f(x)$.

קבעו, לפי ערכי $a$, כמה נקודות חיתוך עם ציר ה-$x$ יש לגרף $f(x)$ בתחום $-\pi\le x\le\pi$.

נתון כי הערך הקטן ביותר של $f(x)$ הוא $-\frac98$. מצאו את $a$.

עבור הערך של $a$ שמצאתם, נתונה הפונקציה $g(x)=f(2x)$.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של $g(x)$ בתחום $-\frac\pi2\le x\le\frac\pi2$, וקבעו את סוגן.