שאלות פתוחות: פתרון בתחום נתון ומספר הפתרונות - כיתה י"א 5 יח"ל

שאלות על פתרון משוואה טריגונומטרית בתחום נתון ועל מספר הפתרונות, לכיתה י"א ברמת 5 יחידות. בשאלות מוצאים את כל הפתרונות של sin 2x=cos x בתחום, סופרים פתרונות של sin 2x=½ בעזרת גרף, וקובעים לפי ערכי k או m כמה פתרונות יש למשוואות כמו cos 2x+cos x=k ו-sin x+cos x=m. יש גם בעיות גאומטריות במעגל ובמשולש. מבחר גדול, עם הרבה שאלות בינוניות וקשות. מתאים למבחן ולהכנה לבגרות; כל שאלה מגיעה עם פתרון מלא וייצוא ל-Word.

89 שאלותקלה: 12בינונית: 51קשה: 26

שאלה 1 · פתרון בתחום נתון ומספר הפתרונותשאלה קצרה · קלה

נתונה המשוואה sin⁡2x=cos⁡x\sin 2x=\cos xsin2x=cosx.

פתרו את המשוואה בתחום 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π.

שאלה 2 · פתרון בתחום נתון ומספר הפתרונותשאלה קצרה · בינונית

בסרטוט שלפניכם גרף הפונקציה y=sin⁡2xy=\sin 2xy=sin2x בתחום 0≤x≤3π0\le x\le3\pi0≤x≤3π. נתונה המשוואה sin⁡2x=12\sin 2x=\frac12sin2x=21​ בתחום 0≤x≤a0\le x\le a0≤x≤a, כאשר a>0a>0a>0.
y=sin(2x)
2468

מצאו את כל ערכי aaa שעבורם יש למשוואה בדיוק 555 פתרונות בתחום 0≤x≤a0\le x\le a0≤x≤a.

שאלה 3 · הזווית הכפולה: cos2α בשלוש צורותיהשאלה קצרה · קשה

נתונה המשוואה cos⁡2x+cos⁡x=k\cos 2x+\cos x=kcos2x+cosx=k, כאשר kkk פרמטר, בתחום 0≤x<2π0\le x<2\pi0≤x<2π.

א.

מצאו את כל ערכי kkk שעבורם יש למשוואה בדיוק שלושה פתרונות בתחום.

ב.

פתרו את המשוואה עבור הערך של kkk שמצאתם בסעיף א.

שאלה 4 · שני משיקים למעגל: מרובע בר-חסימה, אורכים באמצעות $α$ ומשוואה עם זווית כפולהשאלה מלאה · קלה

DBDBDB ו-DCDCDC משיקים למעגל שמרכזו OOO ורדיוסו RRR, כמתואר בסרטוט. המשך BDBDBD חותך את המשך OCOCOC בנקודה AAA. נסמן: ∢DBC=α\sphericalangle DBC=\alpha∢DBC=α.
OBCDA

א.

הסבירו מדוע אפשר לחסום במעגל את המרובע OBDCOBDCOBDC, ומדוע ODODOD הוא קוטר של המעגל החוסם אותו.

ב.

הראו כי ∢BOD=α\sphericalangle BOD=\alpha∢BOD=α, והביעו באמצעות RRR ו-α\alphaα את ODODOD ואת DBDBDB.

ג.

הסבירו מדוע ∢OAB=90∘−2α\sphericalangle OAB=90^\circ-2\alpha∢OAB=90∘−2α, והביעו באמצעות RRR ו-α\alphaα את OAOAOA.

ד.

מצאו את α\alphaα שבעבורה OA=2⋅ODOA=2\cdot ODOA=2⋅OD.

שאלה 5 · פתרון בתחום נתון ומספר הפתרונותשאלה קצרה · בינונית

נתונה המשוואה sin⁡x+cos⁡x=m\sin x+\cos x=msinx+cosx=m בתחום 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π, כאשר mmm פרמטר.

א.

הציבו m=32m=\frac32m=23​. האם יש למשוואה פתרון בתחום? אם כן - מצאו אותו; אם לא - נמקו.

ב.

מצאו את הערך הגדול ביותר של mmm שעבורו יש למשוואה פתרון, ופתרו את המשוואה עבור ערך זה.

שאלה 6 · ההיקף המקסימלי כפונקציה של הזווית: בעיה הפוכה ומספר משולשיםשאלה מלאה · קשה

במשולש ABCABCABC אורך הצלע BCBCBC הוא aaa, ו-∢BAC=α\sphericalangle BAC=\alpha∢BAC=α, כאשר 0<α<π0<\alpha<\pi0<α<π (α\alphaα ברדיאנים). נסמן: ∢ABC=x\sphericalangle ABC=x∢ABC=x.

א.

מצאו, באמצעות aaa ו-α\alphaα, את ההיקף המקסימלי האפשרי של המשולש ABCABCABC.

ב.

מצאו את α\alphaα שבעבורה ההיקף המקסימלי של המשולש הוא 3a3a3a. איזה משולש מתקבל אז?

ג.

נתון α=π3\alpha=\frac\pi3α=3π​. קבעו, לכל k>0k>0k>0, כמה ערכים של xxx יש שבעבורם היקף המשולש ABCABCABC הוא kakaka.

שאלה 7 · משולש עם צלע 6 וזווית $\frac{2 π}{3}$ מולה: היקף מקסימלישאלה מלאה · קלה

במשולש ABCABCABC אורך הצלע BCBCBC הוא 6, ו-∢BAC=2π3\sphericalangle BAC=\frac{2\pi}{3}∢BAC=32π​. נסמן: ∢ABC=x\sphericalangle ABC=x∢ABC=x (0<x<π30<x<\frac\pi30<x<3π​).

א.

הסבירו מדוע ∢ACB=π3−x\sphericalangle ACB=\frac\pi3-x∢ACB=3π​−x, והביעו באמצעות xxx את אורכי הצלעות ACACAC ו-ABABAB.

ב.

הראו כי היקף המשולש הוא P(x)=6+43(sin⁡x+sin⁡(π3−x))P(x)=6+4\sqrt3\left(\sin x+\sin\left(\frac\pi3-x\right)\right)P(x)=6+43​(sinx+sin(3π​−x)), ומצאו את P′(x)P'(x)P′(x).

ג.

מצאו את ערך ה-xxx שבעבורו היקף המשולש מקסימלי, ואת ההיקף המקסימלי.

ד.

איזה משולש מתקבל כשההיקף מקסימלי? מה אורכי הצלעות ABABAB ו-ACACAC במשולש זה?

שאלה 8 · פתרון בתחום נתון ומספר הפתרונותשאלה קצרה · בינונית

נתונה המשוואה cos⁡2x=a\cos 2x=acos2x=a בתחום 0≤x≤4π30\le x\le\frac{4\pi}{3}0≤x≤34π​, כאשר aaa פרמטר.

מצאו את כל ערכי aaa שעבורם יש למשוואה בדיוק שלושה פתרונות בתחום הנתון.

שאלה 9 · משפחה של פונקציות טריגונומטריות: מספר נקודות הקיצון לפי פרמטר ומספר פתרונותשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=a+sin⁡2(x)sin⁡(x)f(x)=\frac{a+\sin^2(x)}{\sin(x)}f(x)=sin(x)a+sin2(x)​, כאשר aaa הוא פרמטר. ענו על הסעיפים בתחום: 0<x<2π0<x<2\pi0<x<2π, x≠πx\neq\pix=π.

א.

חקרו: מצאו את מספר נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) בתחום, לפי ערכי aaa.

ב.

הציבו a=14a=\frac14a=41​. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) וקבעו את סוגן.

ג.

עבור a=14a=\frac14a=41​, מצאו את מספר הפתרונות של המשוואה f(x)=mf(x)=mf(x)=m בתחום, לפי ערכי mmm.

שאלה 10 · פונקציה טריגונומטרית עם נקודות סליקות: חקירה מודרכתשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=2(cos⁡x)2+3sin⁡2x2cos⁡xf(x)=\frac{2(\cos x)^2+\sqrt3\sin2x}{2\cos x}f(x)=2cosx2(cosx)2+3​sin2x​, בתחום: 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π.

א.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

(2)

הראו כי בתחום ההגדרה f(x)=cos⁡x+3sin⁡xf(x)=\cos x+\sqrt3\sin xf(x)=cosx+3​sinx, והסבירו מדוע אין לגרף אסימפטוטות המאונכות לציר ה-xxx.

(3)

מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם הצירים.

ב.

(1)

הראו כי f′(x)=3cos⁡x−sin⁡xf'(x)=\sqrt3\cos x-\sin xf′(x)=3​cosx−sinx.

(2)

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x) (כולל נקודות הקצה), וקבעו את סוגן.

ג.

כמה פתרונות יש למשוואה f(x)=3f(x)=\sqrt3f(x)=3​ בתחום 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π? נמקו.

ד.

הסבירו מדוע f′(x)≤0f'(x)\le0f′(x)≤0 בקטע 5π6≤x≤4π3\frac{5\pi}6\le x\le\frac{4\pi}365π​≤x≤34π​, וחשבו את השטח המוגבל על ידי גרף f′(x)f'(x)f′(x), ציר ה-xxx והישרים x=5π6x=\frac{5\pi}6x=65π​ ו-x=4π3x=\frac{4\pi}3x=34π​.

עוד 58 שאלות על פתרון בתחום נתון ומספר הפתרונות

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

פתרון בתחום נתון ומספר הפתרונות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה המשוואה $\tan x=a\sin 2x$ בתחום $0\le x\le2\pi$ , כאשר $a$ פרמטר.
משפחת הפונקציות $\frac{c o s x}{s i n x + k}$ : קיצון לפי פרמטר, בעיה הפוכה ושטח (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\cos(x)}{\sqrt{\sin(x)+k}}$ , כאשר $k>1$ הוא פרמטר. ענו על הסעיפים הבאים עבור התחום: $0\le x\le2\pi$ .
משולש שווה-שוקיים חסום במעגל: המשך הבסיס בקטע השווה לשוק (שאלה מלאה · קלה)
בציור שלפניכם מתואר משולש שווה-שוקיים $ABC$ , $AB=AC$ , שחסום במעגל שרדיוסו $R$ . זוויות הבסיס הן $\angle ABC=\angle ACB=2\alpha$ . על המשך…
קוטר, משיק וחותך: מרובעים ברי-חסימה וקוטרי מעגלים חוסמים (שאלה מלאה · בינונית)
$AB$ הוא קוטר במעגל שמרכזו $O$ , כמתואר בסרטוט. רדיוס המעגל: $R$ . המשיק למעגל בנקודה $B$ והמשך המיתר $AC$ נחתכים בנקודה $D$ . המשיק למעגל…
מרובע חסום במעגל עם זווית חופשית: יחס גבהים, שטח ומספר מרובעים מתאימים (שאלה מלאה · קשה)
מרובע ABCD חסום במעגל שרדיוסו $R$ ומרכזו O (ראו סרטוט). נסמן: $\angle DAB=\alpha$ , $\alpha$ היא זווית חדה. נתון: $AD=R$ , והזווית ABD חדה.…
טרפז חסום במעגל: זוויות, משפט הסינוסים ומשוואה טריגונומטרית (מודרך) (שאלה מלאה · קלה)
נתון טרפז ABCD $(AB\parallel DC)$ , החסום במעגל. המשכי הצלעות AD ו-BC נפגשים בנקודה E, כמתואר בסרטוט. נתון: $\angle ACB=45^\circ$ . נסמן:…
מעגל המשיק לשתי צלעות של מקבילית ועובר דרך הקודקוד הנגדי (שאלה מלאה · בינונית)
$ABCD$ היא מקבילית שבה $\sphericalangle BAD=120^\circ$ . הצלעות $AB$ ו- $AD$ משיקות למעגל שרדיוסו $R$ בנקודות $E$ ו- $K$ בהתאמה. הנקודה $C$ …
משפחת פונקציות $\frac{2 c o s ^{2} x + k s i n 2 x}{2 c o s x}$ : חורים, קיצון וטווח לפי פרמטר (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2(\cos x)^2+k\sin2x}{2\cos x}$ בתחום $0\le x\le2\pi$ , כאשר $k>0$ הוא פרמטר.
חקירת $sin x cos x$ והמרחק בינה לבין $\frac{1}{f}$ (מודרך) (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\sin(x)\cdot\cos(x)$ המוגדרת בתחום: $-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$ .
חקירת $\frac{s i n x}{1 - 2 c o s x}$ בתחום $[0, 2 π]$ והשוואת אינטגרלים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\sin(x)}{\sqrt{1-2\cos(x)}}$ . ענו על הסעיפים הבאים עבור התחום: $0\le x\le2\pi$ .
משפחה טריגונומטרית עם פרמטר: חסמים, מספר אפסים וקיצון של $f (2 x)$ (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\cos(2x)+a\cos(x)+1$ , המוגדרת לכל $x$ , כאשר $a$ פרמטר, $0<a<4$ .
הפונקציה $\frac{c o s x - 1}{c o s x + 2}$ : פרמטר מנקודה, קיצונים בתחום סגור ומספר פתרונות (מודרך) (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\cos(x)-a}{\cos(x)+2}$ , $a$ פרמטר. ידוע שגרף הפונקציה עובר בראשית הצירים.
הפונקציה $sin x (1 + cos x)$ עם נקודות סליקות: קיצון בתחום סגור, מספר פתרונות ושטח מתחת לנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\sin2x\,(1+\cos x)}{2\cos x}$ , בתחום: $0\le x\le2\pi$ .
מעגל, משיק וקוטר: לאילו זוויות קיימת הנקודה, טווח של אורך ושוויון שטחים (שאלה מלאה · קשה)
$AB$ הוא קוטר במעגל שרדיוסו $R$ ומרכזו $O$ . המשיק למעגל בנקודה $D$ חותך את המשך הקוטר $AB$ (מעבר לנקודה $A$ ) בנקודה $E$ . נסמן:…
פונקציה טריגונומטרית: גרף הנגזרת, קיצון בתחום סגור והפונקציה $∣ f (x) - 0.2∣$ (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם נתונים שני גרפים I-II, בתחום $0\le x\le2\pi$ : אחד מהם הוא הגרף של הפונקציה $f(x)=\frac{\sin x}{2+\sin x}$ , והשני הוא הגרף של…
משולש שווה-שוקיים חסום במעגל ואנך לשוק: רדיוסים חוסמים, שטח ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
בציור שלפניכם מתואר משולש שווה-שוקיים $ABC$ , $AB=AC$ , שחסום במעגל שרדיוסו $R$ . האריכו את הבסיס $BC$ עד לנקודה $D$ , כך ש- $AD\perp AB$ . נתון:…
משולש שווה-שוקיים חסום במעגל וזווית של 45°: יחס שטחים מינימלי ושני משולשים (שאלה מלאה · קשה)
משולש שווה-שוקיים $ABC$ , $AB=AC$ , חסום במעגל שרדיוסו $R$ , ו- $\angle BAC=2\alpha$ . על המשך הבסיס $BC$ , מעבר לנקודה $C$ , נמצאת נקודה $D$ כך…
משולש שווה-שוקיים ואנכים מנקודה על הבסיס (מודרך) (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם משולש שווה-שוקיים $ABC$ ( $AB=AC$ ). הנקודה $E$ נמצאת על הבסיס $BC$ כך ש- $BE=2\cdot EC$ . $ED$ מאונך לצלע $AC$ ו- $EM$ מאונך לצלע…
פתרון בתחום נתון ומספר הפתרונות (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש $ABC$ נתון: $\angle ABC=2\angle ACB$ . נסמן $\angle ACB=\gamma$ .
חקירת $sin^{2} x cos x$ : שני ענפים של $\frac{1}{f}$ , מספר חיתוכים עם $y = m$ ומרחק מינימלי (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\sin^2(x)\cdot\cos(x)$ המוגדרת בתחום: $-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$ , ונתונה הפונקציה…
חקירת $x + sin 2 x$ בתחום סגור והפונקציה $- f^{'} (x)$ (מודרך) (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x+\sin(2x)$ , המוגדרת בתחום $-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$ .
טרפז חסום שבסיסו קוטר והמשכי השוקיים: משפט הסינוסים, יחס שטחים ותיכון (שאלה מלאה · בינונית)
נתון טרפז ABCD $(AB\parallel DC)$ , החסום במעגל. הבסיס AB הוא קוטר המעגל. המשכי הצלעות AD ו-BC נפגשים בנקודה E, כמתואר בסרטוט. נסמן:…
משולש חסום במעגל שצלעו קוטר: מיקום הנקודה E לפי הזווית ומתי הזווית OEG קהה (שאלה מלאה · קשה)
משולש BCD חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$ , והצלע BD היא קוטר המעגל. נסמן $\angle CDB=\alpha$ . E היא נקודה על הקוטר BD, שונה מ-B, כך…
שאלות קצרות: אסימפטוטות, איבר אמצעי בסדרה חשבונית, מקסימום של סינוס ומשפט הסינוסים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{\sqrt{x+4}}{x-2}$ . רשמו את תחום ההגדרה שלה ואת האסימפטוטות המקבילות לצירים.
חקירת $sin^{3} x cos^{3} x$ , הפונקציה $\frac{1}{f}$ ומרחק מינימלי בין הגרפים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\sin^3(x)\cdot\cos^3(x)$ המוגדרת בתחום: $-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$ .
משפחת הפונקציות $\frac{a + c o s x}{s i n x}$ : מתי יש קיצון, טווח לפי הפרמטר ומתי יש פיתול (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a+\cos(x)}{\sin(x)}$ , כאשר $a>0$ פרמטר, בתחום $0<x<2\pi$ , $x\neq\pi$ .
חקירת $\frac{s i n x + s i n x c o s ^{2} x}{1 - c o s ^{2} x}$ : אסימפטוטות, אי-זוגיות, היעדר פיתול ושטח מתחת לגרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{\sin(x)+\sin(x)\cos^2(x)}{1-\cos^2(x)}$ , בתחום $-2\pi\le x\le2\pi$ .
משפחת הפונקציות $cos x - a cos x$ : חיתוכים וקיצון לפי הפרמטר (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\cos x-a\sqrt{\cos x}$ , בתחום: $-\pi\le x\le\pi$ , כאשר $a>0$ הוא פרמטר.
תיכון וחותך מאונכים במשולש: משפט הסינוסים, זווית כפולה ורדיוסי מעגלים חוסמים (שאלה מלאה · בינונית)
במשולש $ABC$ , $AE$ הוא תיכון לצלע $BC$ . הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $AC$ . $AE$ ו- $BD$ נחתכים בנקודה $P$ (ראו סרטוט). נתון: $AP=4\cdot PE$ .…
פונקציה טריגונומטרית עם ריבוע: מציאת פרמטר עם פסילה, מספר פתרונות ושטח מתחת לנגזרת (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\sin x\,(b+\cos x)^2$ , המוגדרת בתחום: $-\pi\le x\le\pi$ , $b$ הוא פרמטר.
חקירת $cos^{2} x - cos x$ : קיצון בקצוות, גרף הנגזרת ושטח בעזרת זוגיות (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\cos^2x-\sqrt{\cos x}$ , בתחום: $-\pi\le x\le\pi$ .
המשפחה $\frac{1 - s i n x}{a + s i n x}$ : תחום לפי הפרמטר, קיצונים בפרמטר, מספר פתרונות ומרחק בין אסימפטוטות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{1-\sin x}{a+\sin x}$ בתחום $0\le x\le2\pi$ , כאשר $a>0$ הוא פרמטר.
פונקציה טריגונומטרית עם פרמטר: אפסים, שיפוע מערך של $cos x$ , קיצון בתחום סגור, גרף הנגזרת ואינטגרל $f^{2} f^{'}$ (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=(b+\cos^2x)\sin x$ , המוגדרת בתחום: $-\pi\le x\le\pi$ , $b$ הוא פרמטר.
משפחת פונקציות $\frac{s i n x}{k + s i n ^{2} x}$ : קיצון לפי הפרמטר, בעיה הפוכה ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{\sin x}{k+\sin^2x}$ בתחום $0\le x\le2\pi$ , כאשר $k$ הוא פרמטר חיובי.
פתרון בתחום נתון ומספר הפתרונות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=(2\cos x-b)\sin x$ , המוגדרת בתחום: $0\le x\le2\pi$ , $b$ הוא פרמטר.
משפחת הפונקציות $a cos x + \frac{1}{c o s x}$ : סוג הקיצון לפי הפרמטר, בעיה הפוכה וספירת חיתוכים (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=a\cos x+\frac{1}{\cos x}$ בתחום $-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$ , כאשר $a$ הוא פרמטר חיובי.
הפונקציה $\frac{c o s x - a}{( c o s x + 1 ) ^{2}}$ : פרמטר מהשקה לציר $x$ , חקירה בשני מחזורים והערכת אינטגרל בעזרת קעירות (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\cos(x)-a}{(\cos(x)+1)^2}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי. הפונקציה $f(x)$ מוגדרת לכל $x$ המקיים: $\cos(x)\ne-1$ . נתון כי…
משפחת הפונקציות $cos x + \frac{b}{c o s ^{2} x}$ : מספר נקודות הקיצון לפי $b$ ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\cos x+\frac{b}{\cos^2x}$ , בתחום $-\frac{3\pi}{2}<x<\frac{3\pi}{2}$ , $x\ne\pm\frac{\pi}{2}$ . $b$ הוא פרמטר חיובי.
פתרון בתחום נתון ומספר הפתרונות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $h(x)=\frac{1+\cos x}{1-\cos x}$ בתחום $-2\pi\le x\le2\pi$ .
נקודה נעה על בסיס משולש שווה-שוקיים: סכום קבוע, שטח מינימלי ומספר המעגלים ברדיוס נתון (שאלה מלאה · קשה)
במשולש שווה-שוקיים $ABC$ ( $AB=AC$ ) אורך הבסיס הוא $BC=12$ . נסמן $\angle ABC=\alpha$ . הנקודה $E$ נעה על הבסיס $BC$ (שונה מ- $B$ ומ- $C$ ), ונסמן…
פונקציה טריגונומטרית רציונלית: גרף הנגזרת, קיצון בתחום סגור והפונקציה $f (x) - \frac{2}{7}$ (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם נתונים שני גרפים I-II, בתחום $0\le x\le2\pi$ . אחד מן הגרפים מתאר את הפונקציה $f(x)$ , ואחד מהם מתאר את פונקציית הנגזרת שלה…
הפונקציה $a \cdot f^{'} (x)$ כש- $f = 4 cos x + cos 2 x$ והסימן של $a$ לא ידוע (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=4\cos x+\cos(2x)$ , המוגדרת בתחום $-\pi\le x\le\pi$ . נתונה גם הפונקציה $g(x)=\sqrt{a\cdot f^{\prime}(x)}$ , כאשר…
פונקציה טריגונומטרית $16 cos x + \frac{1}{c o s ^{2} x}$ : חקירה בתחום, זהות הזווית הכפולה ונקודה חסרה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=16\cos x+\frac{1}{\cos^2x}$ בתחום $-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$ .
משפחה $sin^{2} x + a cos x$ : מספר נקודות הקיצון לפי פרמטר, בעיה הפוכה וספירת אסימפטוטות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(\sin x)^2+a\cos x$ , המוגדרת בתחום $-\pi\le x\le\pi$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
פתרון בתחום נתון ומספר הפתרונות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $h(x)=\frac{\sin(2x)}{\sin x}$ בתחום $0<x<2\pi$ .
פונקציה ריבועית ב- $cos x$ : מספר פתרונות ושטח בין גרפים (שאלה מלאה · קשה)
נתונות הפונקציות $f(x)=\cos2x+2\sin x$ ו- $g(x)=f\left(x-\frac\pi2\right)$ .
פונקציה טריגונומטרית עם $\frac{1}{c o s x}$ : זוגיות, משיק אופקי, מקסימום מתחת למינימום ומפגש של $g$ עם $\frac{4}{g}$ (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\cos x+\frac{1}{\cos x}+a$ , בתחום $-\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}$ . $a$ הוא פרמטר.
$2 sin^{2} 2 x$ ו- $2 cos^{2} 2 x$ : סימטריה, שטח בין הגרפים והפרש נפחים (שאלה מלאה · קשה)
נתונות הפונקציות: $f(x)=2\sin^22x$ , $g(x)=2\cos^22x$ , בתחום $0\le x\le\frac{\pi}{2}$ .
משולש ישר-זווית ואנכים מנקודה על היתר: סכום שטחים, $sin 2 α$ ומעגל חוסם (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם משולש ישר-זווית $ABC$ ( $\angle BAC=90^\circ$ ). הנקודה $E$ נמצאת על היתר $BC$ כך ש- $BE=2\cdot EC$ . הנקודה $D$ נמצאת על הניצב…
נפח גוף סיבוב כפונקציה של הגבול העליון (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\sin^22x$ .
פונקציה טריגונומטרית זוגית: חקירה בתחום, ו- $\frac{1}{f ( x ) + b}$ עם שתי אסימפטוטות (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=2(\sin x)^2+\cos x-1$ , המוגדרת בתחום $-\pi\le x\le\pi$ .
ערכי m שעבורם יש למשוואה בדיוק ארבעה פתרונות (שאלה קצרה · קשה)
נתונה הפונקציה $g(x)=-2\cos^2x-2\cos x+1$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה, זהות טריגונומטרית, הסתברות גאומטרית ואסימפטוטות (שאלה מלאה · בינונית)
שאלה זו בנויה מארבעה סעיפים א-ד שאינם תלויים זה בזה.
יחס קטעים במקבילית ומשוואה בתחום של זווית (שאלת ביניים · קשה)
$ABCD$ היא מקבילית שבה $\sphericalangle BAD=120^\circ$ . הצלעות $AB$ ו- $AD$ משיקות למעגל שרדיוסו $R$ בנקודות $E$ ו- $K$ בהתאמה. הנקודה $C$ …
פונקציות טריגונומטריות: זוגיות, זיהוי גרפים, פרמטר ושטח בין גרפים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונות הפונקציות: $f(x)=2\sin^2x-\sin x$ , $g(x)=f\left(x-\frac{\pi}{2}\right)$ .
שאלות קצרות: אסימפטוטות של פונקציות שורש, סכום סדרה חשבונית, מקסימום של סינוס וקוסינוס ומשפט הסינוסים (שאלה מלאה · בינונית)
$f(x)=\frac{\sqrt{x^2-16}}{2x+3}$
פתרון בתחום נתון ומספר הפתרונות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הפונקציות $f(x)=\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$ ו- $g(x)=\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ . הנקודה $A$ היא נקודת המקסימום של $f$ …
יחס שטחים במשולש חסום ומשוואה בתחום הזוויות (שאלת ביניים · בינונית)
בציור שלפניכם מתואר משולש שווה-שוקיים $ABC$ , $AB=AC$ , שחסום במעגל שרדיוסו $R$ . האריכו את הבסיס $BC$ עד לנקודה $D$ , כך ש- $AD\perp AB$ . נתון:…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שני משיקים למעגל: מרובעים ברי-חסימה, קוטרי מעגלים חוסמים ומשוואה עם זווית כפולה · בגרות 571 קיץ 2021 מועד א', שאלה 5
$DB$ ו- $DC$ משיקים למעגל שמרכזו $O$ , כמתואר בסרטוט. רדיוס המעגל: $R$ . המשך $BD$ חותך את המשך $OC$ בנקודה $A$ . הקטע $OD$ והמיתר $BC$ נחתכים בנקודה $M$ . הקטע $CE$ …
מעגל המשיק לשתי צלעות של מלבן ועובר דרך הקודקוד הנגדי: זוויות, משפט הסינוסים וזהויות · בגרות 571 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 5
המרובע $ABCD$ הוא מלבן ששניים מצלעותיו, $AB$ ו- $AD$ , משיקות למעגל שרדיוסו $R$ בנקודות $E$ ו- $K$ בהתאמה. הנקודה $C$ נמצאת על המעגל (ראו סרטוט).
חקירת $\frac{c o s x}{s i n x}$ בתחום $[0, 2 π]$ והשוואת אינטגרלים · בגרות 571 חורף 2021 מועד נבצרים, שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\cos(x)}{\sqrt{\sin(x)}}$ . ענו על הסעיפים הבאים עבור התחום: $0\le x\le2\pi$ .
פונקציה טריגונומטרית עם נקודות אי-רציפות סליקות: קיצון בתחום סגור, מספר פתרונות ושטח מתחת לנגזרת · בגרות 571 קיץ 2022 מועד א', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{2(\cos x)^2+\sin2x}{2\cos x}$ , בתחום: $0\le x\le2\pi$ .
מעגל, משיק וקוטר: זוויות בפרמטר, שטח במשפט הסינוסים ומשוואה עם $sin 3 α$ · בגרות 571 חורף 2022, שאלה 5
$AB$ הוא קוטר במעגל שרדיוסו $R$ ומרכזו $O$ . המיתר $CD$ חותך את הקוטר $AB$ בנקודה $F$ . המשיק למעגל בנקודה $D$ חותך את המשך הקוטר $AB$ בנקודה $E$ (ראו סרטוט).…
משולש שווה-שוקיים חסום במעגל והמשך הבסיס: רדיוסים חוסמים, שטח ויחס שטחים · בגרות 571 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 5
בציור שלפניכם מתואר משולש שווה-שוקיים $ABC$ , $AB=AC$ , שחסום במעגל שרדיוסו $R$ . האריכו את הבסיס $BC$ עד לנקודה $D$ והעבירו ישר מנקודה $D$ לנקודה $A$ . נתון:…
טרפז חסום במעגל והמשכי השוקיים: משפט הסינוסים, יחס שטחים ותיכון · בגרות 571 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 5
נתון טרפז ABCD $(AB\parallel DC)$ , החסום במעגל. המשכי הצלעות AD ו-BC נפגשים בנקודה E, כמתואר בסרטוט. נתון: $\angle ACB=60^\circ$ . נסמן: $\angle CDE=\alpha$ ,…
חקירת $sin x cos^{3} x$ , הפונקציה $\frac{1}{f}$ ומרחק מינימלי בין הגרפים · בגרות 571 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\sin(x)\cdot\cos^3(x)$ המוגדרת בתחום: $-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$ .
חקירת $\frac{4 s i n x}{c o s ^{2} x - 1}$ : אסימפטוטות, אי-זוגיות, היעדר פיתול ושטח מתחת לגרף הנגזרת · בגרות 571 חורף 2023, שאלה 7
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{4\sin(x)}{\cos^2(x)-1}$ , בתחום $-2\pi\le x\le2\pi$ .
תיכון וחותך מאונכים במשולש: משפט הסינוסים, זווית כפולה ורדיוסי מעגלים חוסמים · בגרות 571 קיץ 2024 מועד א', שאלה 5
במשולש $ABC$ , $BD$ הוא תיכון לצלע $AC$ . הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $BC$ . $BD$ ו- $AE$ נחתכים בנקודה $P$ (ראו סרטוט). נתון: $BP=3\cdot PD$ . נסמן: $AB=k$ ,…
חקירת $cos x - cos x$ : קיצון בקצוות, גרף הנגזרת ושטח בעזרת זוגיות · בגרות 571 קיץ 2024 מועד א', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=\cos x-\sqrt{\cos x}$ , בתחום: $-\pi\le x\le\pi$ .
פונקציה טריגונומטרית עם פרמטר: אפסים, שיפוע מערך של $cos x$ , קיצון בתחום סגור, גרף הנגזרת ואינטגרל $f^{2} f^{'}$ · בגרות 571 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=(b+\cos x)\sin x$ , המוגדרת בתחום: $-\pi\le x\le\pi$ , $b$ הוא פרמטר.
הפונקציה $\frac{s i n x - a}{s i n x + a}$ : פרמטר מהשקה לציר $x$ בקיצונים, חקירה בשני מחזורים והערכת אינטגרל בעזרת קעירות · בגרות 571 חורף 2024, שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\sin(x)-a}{\sin(x)+a}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי. הפונקציה $f(x)$ מוגדרת לכל $x$ המקיים: $\sin(x)\ne-a$ . נתון כי הגרף של הפונקציה $f(x)$ …
פונקציה טריגונומטרית רציונלית: גרף הנגזרת, קיצון בתחום סגור והפונקציה $∣ f (x) - 0.4∣$ · בגרות 571 קיץ 2025 מועד א', שאלה 7
בסרטוט שלפניכם נתונים שני גרפים I-II, בתחום $0\le x\le2\pi$ . אחד מן הגרפים מתאר את הפונקציה $f(x)$ , ואחד מהם מתאר את פונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ . הפונקציות…
פונקציה טריגונומטרית עם $\frac{1}{c o s x}$ : חקירה בתחום, זהות הזווית הכפולה ונקודה חסרה · בגרות 571 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 7
נתונה הפונקציה $f(x)=2\cos x+\frac{1}{\cos x}$ בתחום $-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}$ .
פונקציה טריגונומטרית עם $\frac{4}{c o s ^{2} x}$ : זוגיות, משיק אופקי, שלושה מינימומים ומפגש של $g$ עם $\frac{1}{g}$ · בגרות 571 חורף 2025, שאלה 7
נתונה הפונקציה $f(x)=\cos x+\frac{4}{(\cos x)^2}+a$ , בתחום $-\frac{3\pi}{2}\le x\le\frac{3\pi}{2}$ . $a$ הוא פרמטר.
משולש שווה-שוקיים ואנכים מנקודה על הבסיס: סכום שטחים, $sin 2 α$ ומעגל חוסם · בגרות 571 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 5
בסרטוט שלפניכם משולש שווה-שוקיים $ABC$ ( $AB=AC$ ). הנקודה $E$ נמצאת על הבסיס $BC$ כך ש- $BE=3\cdot EC$ . הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $AC$ כך ש- $ED$ מאונך ל- $AC$ .…
פונקציה טריגונומטרית זוגית: חקירה בתחום, ו- $\frac{1}{f ( x ) + b}$ עם שתי אסימפטוטות · בגרות 571 חורף 2026, שאלה 7
נתונה הפונקציה $f(x)=(\sin x)^2+\cos x-1$ , המוגדרת בתחום $-\pi\le x\le\pi$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה, זהות טריגונומטרית, הסתברות גאומטרית ואסימפטוטות · מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 1
שאלה זו בנויה מארבעה סעיפים א-ד שאינם תלויים זה בזה. בבחינה עונים על שלושה מהם.
פונקציות טריגונומטריות: זוגיות, זיהוי גרפים, פרמטר ושטח בין גרפים · מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 5
נתונות הפונקציות: $f(x)=\sin^2x-\sin x$ , $g(x)=f\left(x-\frac{\pi}{2}\right)$ .
שאלות קצרות: אסימפטוטות של פונקציות שורש, סכום סדרה חשבונית, מקסימום של סינוס ומשפט הסינוסים · מבחן לדוגמה 3 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 1
ענה על שלושה מארבעת הסעיפים בשאלה.