מבחן לדוגמה: בעיות משולבות במעגל ובמצולעים עם זהויות - כיתה י"א 5 יח"ל

הוכיחו כי $R_2=1.5R_1$.

חשבו את $R_1$.

הסבירו מדוע אפשר לחסום במעגל את המרובע $OBDC$, ומדוע $OD$ הוא קוטר של המעגל החוסם אותו.

הראו כי $\sphericalangle BOD=\alpha$, והביעו באמצעות $R$ ו-$\alpha$ את $OD$ ואת $DB$.

הסבירו מדוע $\sphericalangle OAB=90^\circ-2\alpha$, והביעו באמצעות $R$ ו-$\alpha$ את $OA$.

מצאו את $\alpha$ שבעבורה $OA=2\cdot OD$.

הביעו באמצעות $\alpha$ את היחס $\frac{KL}{KM}$.

נתון כי $\frac{KL}{KM}=\frac{2}{\sqrt3}$. מצאו את $\alpha$.

הוכיחו כי רדיוס המעגל החוסם את משולש $ABD$ שווה לרדיוס המעגל החוסם את משולש $ACD$.

הביעו את שטח משולש $ACD$ באמצעות $R$ ו-$\alpha$.

נסמן ב-$m$ את היחס בין שטח המשולש $ACD$ לבין שטח המשולש $ABC$.

הוכיחו כי $AD\parallel BC$.

הוכיחו כי $\angle ACD=\angle ABC$, וחשבו את $\cos\angle ABC$.

חשבו את $\cos\angle BCD$ ואת אורך האלכסון $BD$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית).

הביעו באמצעות $\alpha$ ו-$R$ את אורך הצלע AB.

הביעו באמצעות $\alpha$ את היחס $\frac{h_1}{h_2}$.

נתון ששטח המשולש ABD הוא $\frac{\sqrt3}{4}R^2$. מצאו את $\alpha$.

מצאו את כל הערכים של $k$ שבעבורם יש בדיוק שני ערכים של $\alpha$ (זווית חדה) שבעבורם שטח המשולש ABD שווה ל-$kR^2$.