שאלות פתוחות: בעיות משולבות במעגל ובמצולעים עם זהויות - כיתה י"א 5 יח"ל

בעיות משולבות במעגל ובמצולעים עם זהויות טריגונומטריות, לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות פותרים משולש החסום במעגל לפי זוויות או צלעות נתונות, משווים מצולע משוכלל החסום במעגל למצולע החוסם אותו, ומשתמשים בזהויות כדי לפשט ביטויים שמתקבלים במרובע חסום או בשני משיקים למעגל. יש מבחר גדול, רובו בינוני, עם לא מעט שאלות קשות. השאלות מתאימות למבחן מסכם בטריגונומטריה; בוחרים אותן, מקבלים פתרון מלא ומייצאים ל-Word.

46 שאלותקלה: 7בינונית: 26קשה: 13

שאלה 1 · בעיות משולבות במעגל ובמצולעים עם זהויותשאלה קצרה · קלה

משולש ABCABCABC חסום במעגל שרדיוסו RRR. נתון: ∠A=45∘\angle A=45^\circ∠A=45∘, ∠B=60∘\angle B=60^\circ∠B=60∘.

א.

הביעו באמצעות RRR את אורך הצלע ABABAB.

ב.

הביעו באמצעות RRR את שטח המשולש ABCABCABC.

שאלה 2 · בעיות משולבות במעגל ובמצולעים עם זהויותשאלה קצרה · בינונית

במעגל חסום מצולע משוכלל בעל nnn צלעות, ומצולע משוכלל נוסף בעל nnn צלעות חוסם את אותו מעגל.

א.

הביעו באמצעות nnn את היחס בין שטח המצולע החסום לבין שטח המצולע החוסם.

ב.

נתון כי היחס בין שטח המצולע החסום לשטח המצולע החוסם הוא 34\frac3443​. מצאו את nnn.

שאלה 3 · מרובע חסום במעגל עם זווית חופשית: יחס גבהים, שטח ומספר מרובעים מתאימיםשאלה מלאה · קשה

מרובע ABCD חסום במעגל שרדיוסו RRR ומרכזו O (ראו סרטוט). נסמן: ∠DAB=α\angle DAB=\alpha∠DAB=α, α\alphaα היא זווית חדה.
נתון: AD=RAD=RAD=R, והזווית ABD חדה.
נסמן ב-h1h_1h1​ את הגובה שיורד מקודקוד A במשולש ABD, וב-h2h_2h2​ את הגובה שיורד מקודקוד O במשולש BOD.
OABCD

א.

הביעו באמצעות α\alphaα ו-RRR את אורך הצלע AB.

ב.

הביעו באמצעות α\alphaα את היחס h1h2\frac{h_1}{h_2}h2​h1​​.

ג.

נתון ששטח המשולש ABD הוא 34R2\frac{\sqrt3}{4}R^243​​R2. מצאו את α\alphaα.

ד.

מצאו את כל הערכים של kkk שבעבורם יש בדיוק שני ערכים של α\alphaα (זווית חדה) שבעבורם שטח המשולש ABD שווה ל-kR2kR^2kR2.

שאלה 4 · שני משיקים למעגל: מרובע בר-חסימה, אורכים באמצעות $α$ ומשוואה עם זווית כפולהשאלה מלאה · קלה

DBDBDB ו-DCDCDC משיקים למעגל שמרכזו OOO ורדיוסו RRR, כמתואר בסרטוט. המשך BDBDBD חותך את המשך OCOCOC בנקודה AAA. נסמן: ∢DBC=α\sphericalangle DBC=\alpha∢DBC=α.
OBCDA

א.

הסבירו מדוע אפשר לחסום במעגל את המרובע OBDCOBDCOBDC, ומדוע ODODOD הוא קוטר של המעגל החוסם אותו.

ב.

הראו כי ∢BOD=α\sphericalangle BOD=\alpha∢BOD=α, והביעו באמצעות RRR ו-α\alphaα את ODODOD ואת DBDBDB.

ג.

הסבירו מדוע ∢OAB=90∘−2α\sphericalangle OAB=90^\circ-2\alpha∢OAB=90∘−2α, והביעו באמצעות RRR ו-α\alphaα את OAOAOA.

ד.

מצאו את α\alphaα שבעבורה OA=2⋅ODOA=2\cdot ODOA=2⋅OD.

שאלה 5 · בעיות משולבות במעגל ובמצולעים עם זהויותשאלה קצרה · בינונית

משולש ABCABCABC חסום במעגל שרדיוסו 555. נתון: BC=6BC=6BC=6, AC=8AC=8AC=8.

מצאו את כל הערכים האפשריים של אורך הצלע ABABAB.

שאלה 6 · משיק וחותך מנקודה חיצונית: מתי הנקודה קיימת והאם היא הקרובה או הרחוקהשאלה מלאה · קשה

נתון מעגל שמרכזו בנקודה O ורדיוסו RRR. מנקודה A, שמחוץ למעגל, העבירו ישר שמשיק למעגל בנקודה D. הנקודה B נמצאת על המעגל, ונתון: AB=3RAB=\sqrt3RAB=3​R. נסמן: ∠AOD=α\angle AOD=\alpha∠AOD=α, ∠AOB=β\angle AOB=\beta∠AOB=β.

א.

הביעו את cos⁡β\cos\betacosβ באמצעות α\alphaα.

ב.

מצאו את כל הערכים של α\alphaα שבעבורם יש על המעגל נקודה B כזו.

ג.

קבעו, לפי α\alphaα, מתי הישר AB משיק למעגל, מתי B היא נקודת החיתוך של הישר עם המעגל הקרובה יותר ל-A, ומתי היא הרחוקה יותר.

ד.

משולש ADO חסום במעגל שרדיוסו rrr. נתון: Rr=65\frac{R}{r}=\frac65rR​=56​.

מצאו את α\alphaα ואת β\betaβ, וקבעו אם B היא נקודת החיתוך הקרובה יותר ל-A או הרחוקה יותר.

שאלה 7 · מעגל, משיק וקוטר: אורך ושטח במשפט הסינוסים ומשוואה עם $cos 2 α$ שאלה מלאה · קלה

ABABAB הוא קוטר במעגל שרדיוסו RRR ומרכזו OOO. המשיק למעגל בנקודה DDD חותך את המשך הקוטר ABABAB (מעבר לנקודה AAA) בנקודה EEE (ראו סרטוט). נסמן: ∠ADE=α\angle ADE=\alpha∠ADE=α.
ABDOE

א.

הראו כי ∠ABD=α\angle ABD=\alpha∠ABD=α, וכי ∠AED=90∘−2α\angle AED=90^\circ-2\alpha∠AED=90∘−2α.

ב.

הראו כי AD=2Rsin⁡αAD=2R\sin\alphaAD=2Rsinα, והביעו באמצעות RRR ו-α\alphaα את אורך הקטע AEAEAE.

ג.

הביעו באמצעות RRR ו-α\alphaα את שטח המשולש ADEADEADE.

ד.

נתון כי AE=RAE=RAE=R. מצאו את α\alphaα.

שאלה 8 · בעיות משולבות במעגל ובמצולעים עם זהויותשאלה קצרה · בינונית

המרובע ABCDABCDABCD חסום במעגל, והאלכסונים שלו ACACAC ו-BDBDBD מאונכים זה לזה. נתון: AB=5AB=5AB=5, CD=12CD=12CD=12.

מצאו את רדיוס המעגל.

שאלה 9 · מעגל, משיק וקוטר: לאילו זוויות קיימת הנקודה, טווח של אורך ושוויון שטחיםשאלה מלאה · קשה

ABABAB הוא קוטר במעגל שרדיוסו RRR ומרכזו OOO. המשיק למעגל בנקודה DDD חותך את המשך הקוטר ABABAB (מעבר לנקודה AAA) בנקודה EEE. נסמן: ∠ADE=α\angle ADE=\alpha∠ADE=α. על הקוטר ABABAB מחפשים נקודה FFF שמקיימת FE=FDFE=FDFE=FD. ההמשך של DFDFDF חותך את המעגל בנקודה CCC (ראו סרטוט).
ABDOEFC

א.

מצאו עבור אילו ערכים של α\alphaα קיימת על הקוטר ABABAB נקודה FFF כזו, והביעו באמצעות α\alphaα את ∠CDA\angle CDA∠CDA.

ב.

הביעו באמצעות RRR ו-α\alphaα את אורך הקטע DFDFDF, ומצאו את כל הערכים האפשריים של היחס DFR\frac{DF}{R}RDF​.

ג.

הביעו באמצעות α\alphaα את יחס השטחים SAFDSAED\frac{S_{AFD}}{S_{AED}}SAED​SAFD​​.

ד.

מצאו את α\alphaα שבעבורו המשולשים AFDAFDAFD ו-AEDAEDAED שווי שטח.

שאלה 10 · משולש שווה-שוקיים חסום במעגל: המשך הבסיס בקטע השווה לשוקשאלה מלאה · קלה

בציור שלפניכם מתואר משולש שווה-שוקיים ABCABCABC, AB=ACAB=ACAB=AC, שחסום במעגל שרדיוסו RRR. זוויות הבסיס הן ∠ABC=∠ACB=2α\angle ABC=\angle ACB=2\alpha∠ABC=∠ACB=2α. על המשך הבסיס BCBCBC, מעבר לנקודה CCC, סימנו נקודה DDD כך ש-CD=CACD=CACD=CA, והעבירו את הקטע ADADAD.
2α2αABCD

א.

הראו כי ∠CAD=∠ADC=α\angle CAD=\angle ADC=\alpha∠CAD=∠ADC=α.

ב.

הוכיחו כי רדיוס המעגל החוסם את משולש ABDABDABD שווה לרדיוס המעגל החוסם את משולש ACDACDACD.

ג.

הביעו באמצעות RRR ו-α\alphaα את אורך הצלע ACACAC ואת שטח המשולש ACDACDACD.

ד.

נסמן ב-nnn את היחס בין שטח המשולש ACDACDACD לבין שטח המשולש ABDABDABD.

הראו כי n=11+2cos⁡2αn=\frac{1}{1+2\cos2\alpha}n=1+2cos2α1​. (רמז: לשני המשולשים אותו גובה מהקודקוד AAA.)

ה.

(1)

האם ייתכן כי n=0.3n=0.3n=0.3? נמקו את תשובתכם.

(2)

נתון כי n=0.4n=0.4n=0.4. מצאו את גודלי זוויות המשולש ABCABCABC.

עוד 28 שאלות על בעיות משולבות במעגל ובמצולעים עם זהויות

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

בעיות משולבות במעגל ובמצולעים עם זהויות (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש $ABC$ הקטעים $AE$ ו- $BD$ הם תיכונים (הנקודה $D$ על $AC$ והנקודה $E$ על $BC$ ), והם נחתכים בנקודה $P$ . נסמן: $AB=k$ ,…
משולש שווה-שוקיים חסום במעגל וזווית של 45°: יחס שטחים מינימלי ושני משולשים (שאלה מלאה · קשה)
משולש שווה-שוקיים $ABC$ , $AB=AC$ , חסום במעגל שרדיוסו $R$ , ו- $\angle BAC=2\alpha$ . על המשך הבסיס $BC$ , מעבר לנקודה $C$ , נמצאת נקודה $D$ כך…
צלע במשולש חסום בעזרת סינוס של סכום זוויות (שאלה קצרה · קלה)
משולש $ABC$ חסום במעגל שרדיוסו $R$ . נתון: $\angle A=45^\circ$ , $\angle B=60^\circ$ .
קוטר, משיק וחותך: מרובעים ברי-חסימה וקוטרי מעגלים חוסמים (שאלה מלאה · בינונית)
$AB$ הוא קוטר במעגל שמרכזו $O$ , כמתואר בסרטוט. רדיוס המעגל: $R$ . המשיק למעגל בנקודה $B$ והמשך המיתר $AC$ נחתכים בנקודה $D$ . המשיק למעגל…
טרפז חסום שבו $CE = C A$ : קשר בין הזוויות, יחס שטחים וטווח ערכים (שאלה מלאה · קשה)
נתון טרפז ABCD $(AB\parallel DC,\ AB>DC)$ , החסום במעגל. המשכי השוקיים AD ו-BC נפגשים בנקודה E, כמתואר בסרטוט. ידוע כי $CE=CA$ . נסמן:…
יחס רדיוסי המעגלים החוסמים שני משולשים שווי-שוקיים (שאלה קצרה · קלה)
במשולש $ABC$ נתון: $AB=AC=5$ , $BC=6$ . במשולש $DEF$ נתון: $DE=DF=7.5$ , $EF=9$ . נסמן ב- $R_1$ את רדיוס המעגל החוסם את המשולש $ABC$ , וב- $R_2$ את…
מרובע חסום במעגל: מיתרים נתונים, משוואה ריבועית ב- $cos α$ ויחס גבהים (שאלה מלאה · בינונית)
מרובע ABCD חסום במעגל שרדיוסו $R$ ומרכזו O (ראו סרטוט). נסמן: $\angle DAB=\alpha$ , $\alpha$ היא זווית חדה.
מעגל, משיק וחותך: תנאי קיום, השוואת צלעות ובעיות הפוכות בזווית $α$ (שאלה מלאה · קשה)
נתון מעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $R$ , ו- $AB$ מיתר במעגל שאורכו $R$ . $E$ נקודה על המשך המיתר $BA$ מעבר לנקודה $A$ . מהנקודה $E$ העבירו ישר המשיק…
מיתרים שווים מקצה הקוטר (שאלה קצרה · קלה)
$AB$ הוא קוטר במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו 5. הנקודות $C$ ו- $D$ נמצאות על המעגל משני צדי הקוטר, כך ש- $AC=AD$ . נסמן $\angle CAB=\alpha$ .
משיק וחותך מנקודה חיצונית: הזווית שבנקודה A ויחס בין החותך למשיק (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מעגל שמרכזו בנקודה O ורדיוסו $R$ . מנקודה A, שמחוץ למעגל, העבירו ישר שמשיק למעגל בנקודה D וישר אחר, שחותך את המעגל בשתי נקודות: C…
מרחק בין מרכז המעגל החסום למרכז המעגל החוסם במשולש ישר זווית: מינימום ובעיה הפוכה (שאלה מלאה · קשה)
במשולש ישר זווית ABC ( $\angle ABC=90^\circ$ ) אורך היתר הוא $AC=d$ . נסמן $\angle CAB=\alpha$ . הנקודה M היא מרכז המעגל החסום במשולש, והנקודה E…
מעגל, משיק וקוטר: משולש שווה-שוקיים $EF D$ , שטח במשפט הסינוסים ומשוואה עם $tan α$ (שאלה מלאה · בינונית)
$AB$ הוא קוטר במעגל שרדיוסו $R$ ומרכזו $O$ . המשיק למעגל בנקודה $D$ חותך את המשך הקוטר $AB$ בנקודה $E$ . הנקודה $F$ נמצאת על הקוטר $AB$ ,…
טרפז שווה-שוקיים עם שלוש צלעות שוות: תנאי קיום ומעגל חסום כפונקציה של הזווית (שאלה מלאה · קשה)
$ABCD$ הוא טרפז שווה-שוקיים ( $AB\parallel DC$ , $AD=BC$ ), שבו אורך הבסיס $AB$ שווה לאורך השוק: $AB=BC=AD=k$ . האלכסון $AC$ מסורטט. נסמן:…
בעיות משולבות במעגל ובמצולעים עם זהויות (שאלה קצרה · בינונית)
משולש $KLM$ חסום במעגל שרדיוסו $R$ . נתון: $\angle K=\alpha$ , $\angle L=2\alpha$ (ראו סרטוט).
דלתון עם $∠ BC D = 3 α$ : יחס רדיוסים, דלתון חסום וטווח היחס (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם דלתון ABCD $(AB=AD,\ CB=CD)$ . נתון: $\angle BAD=2\alpha$ , $\angle BCD=3\alpha$ , $0^\circ<\alpha<60^\circ$ . נסמן: $AB=k$ ,…
משולש שווה-שוקיים חסום במעגל ואנך לשוק: רדיוסים חוסמים, שטח ויחס שטחים (שאלה מלאה · בינונית)
בציור שלפניכם מתואר משולש שווה-שוקיים $ABC$ , $AB=AC$ , שחסום במעגל שרדיוסו $R$ . האריכו את הבסיס $BC$ עד לנקודה $D$ , כך ש- $AD\perp AB$ . נתון:…
טרפז שווה שוקיים ומעגל על שוק כקוטר: יחס הבסיסים ושטח קבוע (שאלה מלאה · קשה)
נתון טרפז שווה שוקיים $ABCD$ ( $AB\parallel DC$ , $AB<DC$ , $AD=BC$ ). השוק $AD$ היא קוטר במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $r$ . השוק $BC$ משיקה למעגל…
בעיות משולבות במעגל ובמצולעים עם זהויות (שאלה קצרה · בינונית)
משולש $ABC$ חסום במעגל שרדיוסו $R$ . נתון: $\angle BAC=\alpha$ , $\angle ABC=90^\circ+\alpha$ .
קשר בין זוויות מרכזיות כשמשיק וחותך יוצאים מנקודה (שאלה קצרה · קשה)
נתון מעגל שמרכזו בנקודה O ורדיוסו $R$ . מנקודה A, שמחוץ למעגל, העבירו ישר שמשיק למעגל בנקודה D. הנקודה B נמצאת על המעגל, ונתון: $AB=\sqrt3R$ .…
טרפז חסום שבסיסו קוטר והמשכי השוקיים: משפט הסינוסים, יחס שטחים ותיכון (שאלה מלאה · בינונית)
נתון טרפז ABCD $(AB\parallel DC)$ , החסום במעגל. הבסיס AB הוא קוטר המעגל. המשכי הצלעות AD ו-BC נפגשים בנקודה E, כמתואר בסרטוט. נסמן:…
טרפז שוק שלו קוטר והשוק השנייה משיקה (שאלת ביניים · קשה)
נתון טרפז שווה שוקיים $ABCD$ ( $AB\parallel DC$ , $AB<DC$ , $AD=BC$ ). השוק $AD$ היא קוטר במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $r$ . השוק $BC$ משיקה למעגל…
מעגל, משיק וחותך: מיתר באורך $R 2$ , משפט הסינוסים ומעגל חוסם למרובע (שאלה מלאה · בינונית)
נתון מעגל שמרכזו $O$ והרדיוס שלו $R$ . מנקודה $E$ , הנמצאת מחוץ למעגל, העבירו ישר החותך את המעגל בנקודות $A$ ו- $B$ , כמתואר בסרטוט. הנקודה $D$ …
טרפז שאלכסונו מחלק אותו לשני משולשים דומים (שאלת ביניים · קשה)
במרובע $ABCD$ נתון: $AB=7$ , $BC=5$ , $CD=11.2$ , $DA=12.8$ , ואורך האלכסון $AC$ הוא 8.
דלתון עם זווית ראש קהה: רדיוסים של מעגלים חוסמים, זווית כפולה ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם דלתון ABCD $(AB=AD,\ CB=CD)$ . נתון: $\angle ADB=\alpha$ , $\angle CDB=2\alpha$ , $0^\circ<\alpha<45^\circ$ . נסמן: $AB=k$ .
שטח משולש חסום במעגל בעזרת זווית כפולה (שאלה קצרה · בינונית)
משולש $ABC$ חסום במעגל שרדיוסו $R$ . נתון: $\angle BAC=\alpha$ , $\angle ABC=90^\circ+\alpha$ .
יחס שטחים במשולש שווה שוקיים חסום במעגל (שאלת ביניים · בינונית)
בציור שלפניכם מתואר משולש שווה-שוקיים $ABC$ , $AB=AC$ , שחסום במעגל שרדיוסו $R$ . זוויות הבסיס הן $\angle ABC=\angle ACB=2\alpha$ . על המשך…
מרובע בר-חסימה שנוצר מקטע במשולש (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש $ABC$ נתון: $AB=10$ , $AC=8$ . הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $AB$ והנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AC$ , כך ש- $AD=4$ ו- $AE=5$ .
משולש האמצעים: דמיון, רדיוס המעגל החוסם ושטח (שאלת ביניים · בינונית)
המשולש $ABC$ חסום במעגל שרדיוסו $R$ . הנקודות $D$ , $E$ ו- $F$ הן אמצעי הצלעות $BC$ , $CA$ ו- $AB$ בהתאמה.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שני משיקים למעגל: מרובעים ברי-חסימה, קוטרי מעגלים חוסמים ומשוואה עם זווית כפולה · בגרות 571 קיץ 2021 מועד א', שאלה 5
$DB$ ו- $DC$ משיקים למעגל שמרכזו $O$ , כמתואר בסרטוט. רדיוס המעגל: $R$ . המשך $BD$ חותך את המשך $OC$ בנקודה $A$ . הקטע $OD$ והמיתר $BC$ נחתכים בנקודה $M$ . הקטע $CE$ …
מרובע חסום במעגל: משפט הסינוסים, משוואה ריבועית ב- $cos α$ ויחס גבהים · בגרות 571 קיץ 2022 מועד א', שאלה 5
מרובע ABCD חסום במעגל שרדיוסו $R$ ומרכזו O (ראו סרטוט). נסמן: $\angle DAB=\alpha$ , $\alpha$ היא זווית חדה.
משיק וחותך מנקודה חיצונית: משפט הקוסינוסים, זהות וזוויות מיחס רדיוסים · בגרות 571 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 5
נתון מעגל שמרכזו בנקודה O ורדיוסו $R$ . מנקודה A, שמחוץ למעגל, העבירו ישר שמשיק למעגל בנקודה D וישר אחר, שחותך את המעגל בנקודה B כמתואר בסרטוט. נסמן:…
מעגל, משיק וקוטר: זוויות בפרמטר, שטח במשפט הסינוסים ומשוואה עם $sin 3 α$ · בגרות 571 חורף 2022, שאלה 5
$AB$ הוא קוטר במעגל שרדיוסו $R$ ומרכזו $O$ . המיתר $CD$ חותך את הקוטר $AB$ בנקודה $F$ . המשיק למעגל בנקודה $D$ חותך את המשך הקוטר $AB$ בנקודה $E$ (ראו סרטוט).…
משולש שווה-שוקיים חסום במעגל והמשך הבסיס: רדיוסים חוסמים, שטח ויחס שטחים · בגרות 571 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 5
בציור שלפניכם מתואר משולש שווה-שוקיים $ABC$ , $AB=AC$ , שחסום במעגל שרדיוסו $R$ . האריכו את הבסיס $BC$ עד לנקודה $D$ והעבירו ישר מנקודה $D$ לנקודה $A$ . נתון:…
טרפז חסום במעגל והמשכי השוקיים: משפט הסינוסים, יחס שטחים ותיכון · בגרות 571 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 5
נתון טרפז ABCD $(AB\parallel DC)$ , החסום במעגל. המשכי הצלעות AD ו-BC נפגשים בנקודה E, כמתואר בסרטוט. נתון: $\angle ACB=60^\circ$ . נסמן: $\angle CDE=\alpha$ ,…
מעגל, משיק וחותך מנקודה חיצונית: זוויות מרובע בר-חסימה, משפט הסינוסים ויחס שטחי מעגלים · בגרות 571 חורף 2024, שאלה 5
נתון מעגל שמרכזו $O$ והרדיוס שלו $R$ . מנקודה $E$ , הנמצאת מחוץ למעגל, העבירו ישר החותך את המעגל בנקודות $A$ ו- $B$ , כמתואר בסרטוט. הנקודה $D$ נמצאת על הקשת הגדולה…
דלתון: רדיוסים של מעגלים חוסמים, זווית כפולה ושטח משולש · בגרות 571 חורף 2026, שאלה 5
בסרטוט שלפניכם דלתון ABCD $(AB=AD,\ CB=CD)$ . נתון: $\angle BAD=\angle CDB=2\alpha$ , $0^\circ<\alpha<45^\circ$ . נסמן: $AB=k$ .