מבחן לדוגמה: אינטגרל של sin(ax+b) ו-cos(ax+b) - כיתה י"א 5 יח"ל

מצאו את $f(x)$.

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה $f$ בנקודה שבה $x=\frac{\pi}{2}$.

מצאו את כל ערכי $a>0$ שעבורם $I(a)=0$.

סדרו את הביטויים מהקטן לגדול בלי לחשב אותם. נמקו.

חשבו את ערכו של ביטוי (1).

הראו כי $g(x)=f(x)+c$, ומצאו את $c$.

חשבו את $\int_0^{\frac{\pi}{4}}f(x)\,dx$ ואת $\int_0^{\frac{\pi}{4}}g(x)\,dx$.

חשבו את נפח גוף הסיבוב שנוצר מסיבוב סביב ציר ה-$x$ של גרף הפונקציה $y=\sqrt{f(x)}$ בתחום $0\le x\le\frac{\pi}{4}$.

מצאו לכל אחת מהפונקציות את הגרף המתאים מבין ארבעת הגרפים, ונמקו.

הוכיחו: $g(x)=f(x)+c$. מה ערכו של $c$?

בכמה גדול $\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(x)\,dx$ מ-$\int_0^{\frac{\pi}{2}}g(x)\,dx$? נמקו. (אין חובה לחשב במפורש את שני האינטגרלים.)

חשבו את נפח גוף הסיבוב שנוצר מסיבוב סביב ציר ה-$x$ של גרף הפונקציה $\sqrt{f(x)}$ בתחום $0\le x\le\frac{\pi}{2}$.

מסובבים סביב ציר ה-$x$ את הגרף של $y=\sqrt{f(x)}$ בתחום $0\le x\le a$ ($a>0$). הביעו באמצעות $a$ את נפח גוף הסיבוב $V(a)$.

מצאו את כל ערכי $a>0$ שעבורם נפח גוף הסיבוב שווה לנפח של גליל שרדיוס בסיסו $\frac{1}{\sqrt2}$ וגובהו $a$.

נסמן ב-$W(a)$ את נפח הגליל שבסעיף ב. מצאו את הערך הגדול ביותר של ההפרש $V(a)-W(a)$ עבור $a>0$, ואת הערך הקטן ביותר של $a$ שבו הוא מתקבל.