מבחן לדוגמה: אינטגרלים בעזרת זהויות - כיתה י"א 5 יח"ל

הראו כי $g(x)=2\sin x$, וקבעו עבור כל אחת מהפונקציות $f$ ו-$g$ אם היא זוגית, אי-זוגית או אחרת.

בסרטוט הגרפים של $g(x)$ ושל $h(x)=a\sin^2x$ בתחום $0\le x\le\pi$. הגרפים נחתכים בנקודה $D\left(\frac\pi6,1\right)$.

מצאו את $a$.

מצאו את כל נקודות החיתוך של שני הגרפים בתחום $0\le x\le\pi$.

חשבו את השטח המוגבל בין שני הגרפים בתחום $\frac\pi6\le x\le\frac{5\pi}6$ (השטח המסומן).

הראו כי $f(x)=1-\cos2x$, והסיקו ש-$g(x)=-f(x)$.

איזה מבין הגרפים I-III מתאר את $f(x)$, ואיזה את $g(x)$? נמקו.

חשבו את $\int_0^{\pi}f(x)\,dx$.

בכמה גדול $\int_0^{\pi}f(x)\,dx$ מ-$\int_0^{\pi}g(x)\,dx$?

חשבו את נפח גוף הסיבוב שנוצר מסיבוב גרף הפונקציה $\sqrt{f(x)}$ סביב ציר ה-$x$ בתחום $0\le x\le\frac{\pi}{2}$.

מצאו את כל ערכי $a$ שעבורם ערך האינטגרל הוא $\frac{\sqrt{3}}{4}$.

הראו כי $f(x)=\sin4x+\sin2x$.

מצאו את הפונקציה $F(x)$ שמקיימת $F'(x)=f(x)$ ושהגרף שלה עובר בראשית הצירים.

מצאו את הערך הגדול ביותר של $F(x)$, ואת כל ערכי $x$ בתחום $0\le x\le\pi$ שבהם הוא מתקבל.

מצאו את ערך $k$ שעבורו $I(k)$ מקבל את ערכו הקטן ביותר, ומצאו ערך זה.

הראו כי לכל $x$ מתקיים $f(x)=\frac38+\frac12\cos2x+\frac18\cos4x$.

חשבו את $\int_0^{\frac{\pi}{4}}f(x)\,dx$.

הוכיחו כי לכל $0<a<\frac{\pi}{2}$ מתקיים $\int_0^{a}f(x)\,dx>\frac{3a}{8}$.