שאלות פתוחות: אינטגרלים בעזרת זהויות - כיתה י"א 5 יח"ל

שאלות על אינטגרלים טריגונומטריים שנפתרים בעזרת זהויות, לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות מחשבים אינטגרלים של sin²x ושל (sin x+cos x)² בעזרת הזווית הכפולה, מוצאים k כשהאינטגרל של sin⁴x-cos⁴x+k נתון, בוחנים את האינטגרל I(k) כפונקציה של k, ומחשבים שטח בין cos x ל-sin x. רוב השאלות בינוניות, ויש קלות וקשות. מכאן אפשר לבנות מבחן או דף עבודה, כשלכל שאלה פתרון מלא ואפשרות להוריד את הכול ל-Word.

26 שאלותקלה: 6בינונית: 14קשה: 6

שאלה 1 · אינטגרלים בעזרת זהויותשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡4x−cos⁡4x+kf(x)=\sin^4x-\cos^4x+kf(x)=sin4x−cos4x+k, כאשר kkk פרמטר. נתון: ∫0π4f(x) dx=1\int_0^{\frac{\pi}{4}}f(x)\,dx=1∫04π​​f(x)dx=1.

הראו כי f(x)=k−cos⁡(2x)f(x)=k-\cos(2x)f(x)=k−cos(2x), ומצאו את kkk.

שאלה 2 · אינטגרלים בעזרת זהויותשאלה קצרה · בינונית

בציור שלפניכם מתוארים גרף הפונקציה f(x)=cos⁡xf(x)=\cos xf(x)=cosx וגרף הפונקציה g(x)=sin⁡xg(x)=\sin xg(x)=sinx. השטח המוגבל על ידי שני הגרפים, ציר ה-yyy והאנך לציר ה-xxx העובר בנקודת החיתוך הראשונה של הגרפים מימין לציר ה-yyy (השטח המקווקו) מסתובב סביב ציר ה-xxx.
y=cosxy=sinx
-0.50.51.01.52.00.51.0

מצאו את נפח גוף הסיבוב שנוצר.

שאלה 3 · אינטגרלים בעזרת זהויותשאלה קצרה · קשה

לכל מספר ממשי kkk מגדירים I(k)=∫0π2(sin⁡x+kcos⁡x)2 dxI(k)=\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\sin x+k\cos x)^2\,dxI(k)=∫02π​​(sinx+kcosx)2dx.

מצאו את ערך kkk שעבורו I(k)I(k)I(k) מקבל את ערכו הקטן ביותר, ומצאו ערך זה.

שאלה 4 · אינטגרלים בעזרת זהויותשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡2xf(x)=\sin^2xf(x)=sin2x.

א.

מצאו את ∫sin⁡2x dx\int\sin^2x\,dx∫sin2xdx.

ב.

חשבו את ∫0πsin⁡2x dx\int_0^{\pi}\sin^2x\,dx∫0π​sin2xdx, והסיקו ממנו, בלי למצוא פונקציה קדומה נוספת, את ∫0πcos⁡2x dx\int_0^{\pi}\cos^2x\,dx∫0π​cos2xdx.

שאלה 5 · אינטגרלים בעזרת זהויותשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=(sin⁡x+cos⁡x)2f(x)=\left(\sin x+\cos x\right)^2f(x)=(sinx+cosx)2.

מצאו את aaa בתחום 0<a<π0<a<\pi0<a<π שעבורו ∫0af(x) dx=a+1\int_0^a f(x)\,dx=a+1∫0a​f(x)dx=a+1.

שאלה 6 · פונקציה ריבועית ב- $cos x$ : מספר פתרונות ושטח בין גרפיםשאלה מלאה · קשה

נתונות הפונקציות f(x)=cos⁡2x+2sin⁡xf(x)=\cos2x+2\sin xf(x)=cos2x+2sinx ו-g(x)=f(x−π2)g(x)=f\left(x-\frac\pi2\right)g(x)=f(x−2π​).

א.

הביעו את g(x)g(x)g(x) באמצעות cos⁡x\cos xcosx בלבד, וקבעו עבור כל אחת מהפונקציות fff ו-ggg אם היא זוגית, אי-זוגית או אחרת.

ב.

מצאו את כל ערכי mmm שבעבורם למשוואה g(x)=mg(x)=mg(x)=m יש בדיוק 4 פתרונות בתחום −π<x<π-\pi<x<\pi−π<x<π.

ג.

הגרפים של g(x)g(x)g(x) ושל h(x)=sin⁡2xh(x)=\sin^2xh(x)=sin2x כולאים ביניהם תחום שציר ה-yyy עובר דרכו. חשבו את שטח התחום הזה.

שאלה 7 · פונקציות טריגונומטריות: הזזה, נקודות חיתוך ושטח בין גרפיםשאלה מלאה · קלה

נתונות הפונקציות f(x)=2cos⁡xf(x)=2\cos xf(x)=2cosx ו-g(x)=f(x−π2)g(x)=f\left(x-\frac\pi2\right)g(x)=f(x−2π​).

א.

הראו כי g(x)=2sin⁡xg(x)=2\sin xg(x)=2sinx, וקבעו עבור כל אחת מהפונקציות fff ו-ggg אם היא זוגית, אי-זוגית או אחרת.

ב.

בסרטוט הגרפים של g(x)g(x)g(x) ושל h(x)=asin⁡2xh(x)=a\sin^2xh(x)=asin2x בתחום 0≤x≤π0\le x\le\pi0≤x≤π. הגרפים נחתכים בנקודה D(π6,1)D\left(\frac\pi6,1\right)D(6π​,1).
g(x)h(x)
D

מצאו את aaa.

ג.

מצאו את כל נקודות החיתוך של שני הגרפים בתחום 0≤x≤π0\le x\le\pi0≤x≤π.

ד.

חשבו את השטח המוגבל בין שני הגרפים בתחום π6≤x≤5π6\frac\pi6\le x\le\frac{5\pi}66π​≤x≤65π​ (השטח המסומן).

שאלה 8 · אינטגרלים בעזרת זהויותשאלה קצרה · בינונית

הנגזרת של הפונקציה f(x)f(x)f(x) היא f′(x)=8sin⁡2(x2)cos⁡2(x2)f'(x)=8\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)f′(x)=8sin2(2x​)cos2(2x​). גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עובר בנקודה (π4,π4)\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right)(4π​,4π​).

מצאו את f(x)f(x)f(x), וחשבו את f(π2)f\left(\frac{\pi}{2}\right)f(2π​).

שאלה 9 · $2 sin^{2} 2 x$ ו- $2 cos^{2} 2 x$ : סימטריה, שטח בין הגרפים והפרש נפחיםשאלה מלאה · קשה

נתונות הפונקציות: f(x)=2sin⁡22xf(x)=2\sin^22xf(x)=2sin22x, g(x)=2cos⁡22xg(x)=2\cos^22xg(x)=2cos22x, בתחום 0≤x≤π20\le x\le\frac{\pi}{2}0≤x≤2π​.
fg

א.

בלי לחשב בנפרד את האינטגרלים של fff ושל ggg, מצאו את ∫0π/4f(x) dx\int_0^{\pi/4}f(x)\,dx∫0π/4​f(x)dx. נמקו.

ב.

מצאו את נקודות החיתוך של הגרפים של fff ו-ggg בתחום הנתון.

ג.

חשבו את השטח המוגבל בין הגרפים של fff ושל ggg בתחום π8≤x≤3π8\frac{\pi}{8}\le x\le\frac{3\pi}{8}8π​≤x≤83π​.

ד.

נסמן ב-VfV_fVf​ וב-VgV_gVg​ את נפחי הגופים שנוצרים מסיבוב הגרפים של f(x)\sqrt{f(x)}f(x)​ ושל g(x)\sqrt{g(x)}g(x)​ סביב ציר ה-xxx, בתחום 0≤x≤π80\le x\le\frac{\pi}{8}0≤x≤8π​. חשבו את Vg−VfV_g-V_fVg​−Vf​.

שאלה 10 · הפונקציה $2 sin^{2} x$ : זהות, גרף, אינטגרל ונפחשאלה מלאה · קלה

נתונות הפונקציות: f(x)=2sin⁡2xf(x)=2\sin^2xf(x)=2sin2x, g(x)=cos⁡2x−1g(x)=\cos2x-1g(x)=cos2x−1, בתחום 0≤x≤π0\le x\le\pi0≤x≤π.
גרף I
גרף II
גרף III

א.

הראו כי f(x)=1−cos⁡2xf(x)=1-\cos2xf(x)=1−cos2x, והסיקו ש-g(x)=−f(x)g(x)=-f(x)g(x)=−f(x).

ב.

איזה מבין הגרפים I-III מתאר את f(x)f(x)f(x), ואיזה את g(x)g(x)g(x)? נמקו.

ג.

חשבו את ∫0πf(x) dx\int_0^{\pi}f(x)\,dx∫0π​f(x)dx.

ד.

בכמה גדול ∫0πf(x) dx\int_0^{\pi}f(x)\,dx∫0π​f(x)dx מ-∫0πg(x) dx\int_0^{\pi}g(x)\,dx∫0π​g(x)dx?

ה.

חשבו את נפח גוף הסיבוב שנוצר מסיבוב גרף הפונקציה f(x)\sqrt{f(x)}f(x)​ סביב ציר ה-xxx בתחום 0≤x≤π20\le x\le\frac{\pi}{2}0≤x≤2π​.

עוד 13 שאלות על אינטגרלים בעזרת זהויות

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

אינטגרלים בעזרת זהויות (שאלה קצרה · בינונית)
נתון האינטגרל $\int_0^{a}\left(\sin^2x-\cos^2x\right)dx$ , כאשר $0<a<\pi$ .
נפח גוף סיבוב כפונקציה של הגבול העליון (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\sin^22x$ .
זווית כפולה: מזהות לאינטגרל ולנפח גוף סיבוב (שאלה מלאה · קלה)
נתונות הפונקציות: $f(x)=2\sin^2x$ , $g(x)=3-\cos2x$ .
פונקציות טריגונומטריות: זוגיות, זיהוי גרפים, פרמטר ושטח בין גרפים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונות הפונקציות: $f(x)=2\sin^2x-\sin x$ , $g(x)=f\left(x-\frac{\pi}{2}\right)$ .
אינטגרל של $2 sin^{2} 2 x$ בלי לחשב אותו ישירות (שאלה קצרה · קשה)
נתונות הפונקציות: $f(x)=2\sin^22x$ , $g(x)=2\cos^22x$ , בתחום $0\le x\le\frac{\pi}{2}$ .
אינטגרלים בעזרת זהויות (שאלה קצרה · קלה)
נתון האינטגרל $\int_0^{\frac{\pi}{4}}\left(\cos^2x-\sin^2x\right)dx$ .
הפונקציות $2 cos^{2} 2 x$ ו- $- 3 - 3 cos 4 x$ : זיהוי גרפים, אינטגרלים ונפח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונות הפונקציות: $f(x)=2\cos^2 2x$ , $g(x)=-3-3\cos 4x$ . גרף א: גרף ב: גרף ג: גרף ד:
אינטגרל של $cos^{4} x$ בעזרת הורדת חזקה (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\cos^4x$ .
אינטגרלים בעזרת זהויות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=4\cos^2x$ .
אינטגרלים בעזרת זהויות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $h(x)=4\sin^2 3x$ .
אינטגרלים בעזרת זהויות (שאלה קצרה · בינונית)
מסובבים סביב ציר ה- $x$ את הגרף של $y=\cos x$ בתחום $0\le x\le\frac{\pi}{2}$ .
נפח גוף סיבוב של $(sin x + cos x)^{2}$ (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=(\sin x+\cos x)^2$ .
פונקציה קדומה של $2 sin 3 x cos x$ והערך הגדול ביותר שלה (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=2\sin3x\cos x$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

פונקציות טריגונומטריות: זוגיות, זיהוי גרפים, פרמטר ושטח בין גרפים · מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 5
נתונות הפונקציות: $f(x)=\sin^2x-\sin x$ , $g(x)=f\left(x-\frac{\pi}{2}\right)$ .
הפונקציות $2 sin^{2} 2 x$ ו- $cos 4 x - 1$ : זיהוי גרפים, אינטגרלים ונפח · מבחן לדוגמה 4 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 6
נתונות הפונקציות: $f(x)=2\sin^2 2x$ , $g(x)=\cos 4x-1$ . גרף א: גרף ב: גרף ג: גרף ד:
זווית כפולה: זיהוי גרפים, הפרש אינטגרלים ונפח גוף סיבוב · מבחן לדוגמה 6 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 7
נתונות הפונקציות: $f(x)=2\cos^22x$ , $g(x)=\cos4x+2$ . להלן ארבעה גרפים: גרף א: גרף ב: גרף ג: גרף ד: