דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

מבחן לדוגמה: שטחים עם פונקציות טריגונומטריות - כיתה י"א 5 יח"ל

6 שאלות פתוחות על שטחים עם פונקציות טריגונומטריות (אינטגרלים של פונקציות טריגונומטריות), מהקלה לקשה. המבחן מוכן להדפסה כמו שהוא, או לפתיחה במחולל לשינויים.

מבחן במתמטיקה - כיתה י"א 5 יח"ל
שטחים עם פונקציות טריגונומטריות
6 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון
שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · שטח בין גרף הנגזרת של לציר ה-שאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=21−cos⁡(x)f(x)=\frac{2}{1-\cos(x)}, בתחום −2π≤x≤2π-2\pi\le x\le2\pi. נתון: f′(x)=−2sin⁡x(1−cos⁡x)2f'(x)=-\frac{2\sin x}{(1-\cos x)^2}.

חשבו את השטח הכלוא בין גרף f′(x)f'(x) ובין ציר ה-xx בתחום π2≤x≤π\frac{\pi}{2}\le x\le\pi.

שאלה 2 · שטחים עם פונקציות טריגונומטריותשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x. בסרטוט מסומן השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, המשיק לגרף בנקודה שבה x=πx=\pi וציר ה-yy.

א.

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=πx=\pi.

ב.

חשבו את השטח המסומן.

שאלה 3 · שטחים עם פונקציות טריגונומטריותשאלה קצרה · בינונית

נתונות הפונקציות f(x)=sin⁡(2x)f(x)=\sin(2x) ו-g(x)=cos⁡xg(x)=\cos x בתחום 0≤x≤π20\le x\le\frac{\pi}{2}. בסרטוט שלפניכם מתוארים הגרפים של שתי הפונקציות בתחום זה.

א.

מצאו את שיעורי ה-xx של נקודות החיתוך של שני הגרפים בתחום הנתון.

ב.

חשבו את השטח הכולל המוגבל על ידי שני הגרפים בתחום הנתון.

שאלה 4 · הפונקציה עם נקודות סליקות: קיצון בתחום סגור, מספר פתרונות ושטח מתחת לנגזרתשאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה: f(x)=sin⁡2x (1+cos⁡x)2cos⁡xf(x)=\frac{\sin2x\,(1+\cos x)}{2\cos x}, בתחום: 0≤x≤2π0\le x\le2\pi.

א.
(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x).

(2)

הסבירו מדוע לפונקציה f(x)f(x) אין אסימפטוטות המאונכות לציר ה-xx.

(3)

מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם הצירים.

ב.
(1)

הראו כי לכל xx בתחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x) מתקיים: f′(x)=cos⁡x+cos⁡2xf'(x)=\cos x+\cos2x.

(2)

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

ג.
(1)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x).

(2)

tt הוא מספר. מצאו את כל ערכי tt שבעבורם יש למשוואה: f(x)=tf(x)=t פתרון יחיד (בתחום: 0≤x≤2π0\le x\le2\pi).

ד.

חשבו את השטח המוגבל על ידי פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x), על ידי ציר ה-xx ועל ידי שני הישרים: x=23πx=\frac23\pi ו-x=43πx=\frac43\pi.

שאלה 5 · שטח התחום שציר ה- עובר דרכו בין ל-שאלת ביניים · קשה

נתונות הפונקציות f(x)=cos⁡2x+2sin⁡xf(x)=\cos2x+2\sin x ו-g(x)=f(x−π2)g(x)=f\left(x-\frac\pi2\right).

א.

הביעו את g(x)g(x) באמצעות cos⁡x\cos x בלבד, וקבעו עבור כל אחת מהפונקציות ff ו-gg אם היא זוגית, אי-זוגית או אחרת.

ב.

הגרפים של g(x)g(x) ושל h(x)=sin⁡2xh(x)=\sin^2x כולאים ביניהם תחום שציר ה-yy עובר דרכו. חשבו את שטח התחום הזה.

שאלה 6 · פונקציה ריבועית ב-: מספר פתרונות ושטח בין גרפיםשאלה מלאה · קשה

נתונות הפונקציות f(x)=cos⁡2x+2sin⁡xf(x)=\cos2x+2\sin x ו-g(x)=f(x−π2)g(x)=f\left(x-\frac\pi2\right).

א.

הביעו את g(x)g(x) באמצעות cos⁡x\cos x בלבד, וקבעו עבור כל אחת מהפונקציות ff ו-gg אם היא זוגית, אי-זוגית או אחרת.

ב.

מצאו את כל ערכי mm שבעבורם למשוואה g(x)=mg(x)=m יש בדיוק 4 פתרונות בתחום −π<x<π-\pi<x<\pi.

ג.

הגרפים של g(x)g(x) ושל h(x)=sin⁡2xh(x)=\sin^2x כולאים ביניהם תחום שציר ה-yy עובר דרכו. חשבו את שטח התחום הזה.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.