שאלות פתוחות: שטחים עם פונקציות טריגונומטריות - כיתה י"א 5 יח"ל

חישובי שטחים עם פונקציות טריגונומטריות - שאלות פתוחות לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות מחשבים שטח בין 2sin x לישר y=1, בין sin 2x ל-cos x, ובין גרף sin x למשיק לו, ובוחנים גרפים של cos x ו-cos 2x שמשיקים זה לזה. יש גם שאלה שבה הישר y=sin c משתנה ובוחנים את סך השטחים הכלואים כפונקציה של c. רוב השאלות בינוניות, ויש קלות וקשות. אפשר לבחור מכאן למבחן או לדף עבודה, עם פתרון מלא לכל שאלה וייצוא ל-Word.

25 שאלותקלה: 5בינונית: 15קשה: 5

שאלה 1 · שטחים עם פונקציות טריגונומטריותשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=2sin⁡xf(x)=2\sin xf(x)=2sinx בתחום 0≤x≤π0\le x\le\pi0≤x≤π, והישר y=1y=1y=1. בסרטוט מסומן השטח המוגבל בין גרף הפונקציה לבין הישר, בקטע שבו הגרף נמצא מעל הישר.
f(x)

חשבו את השטח המסומן.

שאלה 2 · שטחים עם פונקציות טריגונומטריותשאלה קצרה · בינונית

נתונות הפונקציות f(x)=sin⁡(2x)f(x)=\sin(2x)f(x)=sin(2x) ו-g(x)=cos⁡xg(x)=\cos xg(x)=cosx בתחום 0≤x≤π20\le x\le\frac{\pi}{2}0≤x≤2π​. בסרטוט שלפניכם מתוארים הגרפים של שתי הפונקציות בתחום זה.
f(x)g(x)

א.

מצאו את שיעורי ה-xxx של נקודות החיתוך של שני הגרפים בתחום הנתון.

ב.

חשבו את השטח הכולל המוגבל על ידי שני הגרפים בתחום הנתון.

שאלה 3 · שטחים עם פונקציות טריגונומטריותשאלה קצרה · קשה

לכל 0≤c≤π20\le c\le\frac{\pi}{2}0≤c≤2π​ מעבירים את הישר y=sin⁡cy=\sin cy=sinc. נסמן ב-A(c)A(c)A(c) את סך השטחים הכלואים בין הישר y=sin⁡cy=\sin cy=sinc לבין גרף הפונקציה y=sin⁡xy=\sin xy=sinx בתחום 0≤x≤π20\le x\le\frac{\pi}{2}0≤x≤2π​ (בשרטוט מתואר מקרה אחד לדוגמה).
y=sin(x)y=sin(c)

מצאו את הערך של ccc שעבורו A(c)A(c)A(c) הוא הקטן ביותר, וחשבו את הערך הזה.

שאלה 4 · שטחים עם פונקציות טריגונומטריותשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡xf(x)=\sin xf(x)=sinx. בסרטוט מסומן השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, המשיק לגרף בנקודה שבה x=πx=\pix=π וציר ה-yyy.
f(x)

א.

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=πx=\pix=π.

ב.

חשבו את השטח המסומן.

שאלה 5 · שטחים עם פונקציות טריגונומטריותשאלה קצרה · בינונית

נתונות הפונקציות f(x)=cos⁡xf(x)=\cos xf(x)=cosx ו-g(x)=cos⁡(2x)g(x)=\cos(2x)g(x)=cos(2x). הגרפים של שתי הפונקציות משיקים זה לזה בנקודה (0,1)(0,1)(0,1), ונחתכים בנקודות נוספות; בסרטוט שלפניכם מתוארים שני הגרפים בסביבת ציר ה-yyy.
f(x)g(x)

א.

מצאו את שתי נקודות החיתוך של הגרפים הקרובות ביותר לציר ה-yyy, אחת משמאלו ואחת מימינו.

ב.

חשבו את השטח המוגבל על ידי שני הגרפים בין שתי נקודות החיתוך שמצאתם.

שאלה 6 · פונקציה ריבועית ב- $cos x$ : מספר פתרונות ושטח בין גרפיםשאלה מלאה · קשה

נתונות הפונקציות f(x)=cos⁡2x+2sin⁡xf(x)=\cos2x+2\sin xf(x)=cos2x+2sinx ו-g(x)=f(x−π2)g(x)=f\left(x-\frac\pi2\right)g(x)=f(x−2π​).

א.

הביעו את g(x)g(x)g(x) באמצעות cos⁡x\cos xcosx בלבד, וקבעו עבור כל אחת מהפונקציות fff ו-ggg אם היא זוגית, אי-זוגית או אחרת.

ב.

מצאו את כל ערכי mmm שבעבורם למשוואה g(x)=mg(x)=mg(x)=m יש בדיוק 4 פתרונות בתחום −π<x<π-\pi<x<\pi−π<x<π.

ג.

הגרפים של g(x)g(x)g(x) ושל h(x)=sin⁡2xh(x)=\sin^2xh(x)=sin2x כולאים ביניהם תחום שציר ה-yyy עובר דרכו. חשבו את שטח התחום הזה.

שאלה 7 · פונקציה טריגונומטרית עם נקודות סליקות: חקירה מודרכתשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=2(cos⁡x)2+3sin⁡2x2cos⁡xf(x)=\frac{2(\cos x)^2+\sqrt3\sin2x}{2\cos x}f(x)=2cosx2(cosx)2+3​sin2x​, בתחום: 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π.

א.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

(2)

הראו כי בתחום ההגדרה f(x)=cos⁡x+3sin⁡xf(x)=\cos x+\sqrt3\sin xf(x)=cosx+3​sinx, והסבירו מדוע אין לגרף אסימפטוטות המאונכות לציר ה-xxx.

(3)

מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם הצירים.

ב.

(1)

הראו כי f′(x)=3cos⁡x−sin⁡xf'(x)=\sqrt3\cos x-\sin xf′(x)=3​cosx−sinx.

(2)

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x) (כולל נקודות הקצה), וקבעו את סוגן.

ג.

כמה פתרונות יש למשוואה f(x)=3f(x)=\sqrt3f(x)=3​ בתחום 0≤x≤2π0\le x\le2\pi0≤x≤2π? נמקו.

ד.

הסבירו מדוע f′(x)≤0f'(x)\le0f′(x)≤0 בקטע 5π6≤x≤4π3\frac{5\pi}6\le x\le\frac{4\pi}365π​≤x≤34π​, וחשבו את השטח המוגבל על ידי גרף f′(x)f'(x)f′(x), ציר ה-xxx והישרים x=5π6x=\frac{5\pi}6x=65π​ ו-x=4π3x=\frac{4\pi}3x=34π​.

שאלה 8 · שטחים עם פונקציות טריגונומטריותשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡xf(x)=\sin xf(x)=sinx והישר x=ax=ax=a, 0<a<2π0<a<2\pi0<a<2π. נתון כי סך השטחים המוגבלים על ידי גרף הפונקציה, ציר ה-xxx, ציר ה-yyy והישר x=ax=ax=a שווה ל-52\frac5225​.

מצאו את aaa.

שאלה 9 · $2 sin^{2} 2 x$ ו- $2 cos^{2} 2 x$ : סימטריה, שטח בין הגרפים והפרש נפחיםשאלה מלאה · קשה

נתונות הפונקציות: f(x)=2sin⁡22xf(x)=2\sin^22xf(x)=2sin22x, g(x)=2cos⁡22xg(x)=2\cos^22xg(x)=2cos22x, בתחום 0≤x≤π20\le x\le\frac{\pi}{2}0≤x≤2π​.
fg

א.

בלי לחשב בנפרד את האינטגרלים של fff ושל ggg, מצאו את ∫0π/4f(x) dx\int_0^{\pi/4}f(x)\,dx∫0π/4​f(x)dx. נמקו.

ב.

מצאו את נקודות החיתוך של הגרפים של fff ו-ggg בתחום הנתון.

ג.

חשבו את השטח המוגבל בין הגרפים של fff ושל ggg בתחום π8≤x≤3π8\frac{\pi}{8}\le x\le\frac{3\pi}{8}8π​≤x≤83π​.

ד.

נסמן ב-VfV_fVf​ וב-VgV_gVg​ את נפחי הגופים שנוצרים מסיבוב הגרפים של f(x)\sqrt{f(x)}f(x)​ ושל g(x)\sqrt{g(x)}g(x)​ סביב ציר ה-xxx, בתחום 0≤x≤π80\le x\le\frac{\pi}{8}0≤x≤8π​. חשבו את Vg−VfV_g-V_fVg​−Vf​.

שאלה 10 · פונקציות טריגונומטריות: הזזה, נקודות חיתוך ושטח בין גרפיםשאלה מלאה · קלה

נתונות הפונקציות f(x)=2cos⁡xf(x)=2\cos xf(x)=2cosx ו-g(x)=f(x−π2)g(x)=f\left(x-\frac\pi2\right)g(x)=f(x−2π​).

א.

הראו כי g(x)=2sin⁡xg(x)=2\sin xg(x)=2sinx, וקבעו עבור כל אחת מהפונקציות fff ו-ggg אם היא זוגית, אי-זוגית או אחרת.

ב.

בסרטוט הגרפים של g(x)g(x)g(x) ושל h(x)=asin⁡2xh(x)=a\sin^2xh(x)=asin2x בתחום 0≤x≤π0\le x\le\pi0≤x≤π. הגרפים נחתכים בנקודה D(π6,1)D\left(\frac\pi6,1\right)D(6π​,1).
g(x)h(x)
D

מצאו את aaa.

ג.

מצאו את כל נקודות החיתוך של שני הגרפים בתחום 0≤x≤π0\le x\le\pi0≤x≤π.

ד.

חשבו את השטח המוגבל בין שני הגרפים בתחום π6≤x≤5π6\frac\pi6\le x\le\frac{5\pi}66π​≤x≤65π​ (השטח המסומן).

עוד 13 שאלות על שטחים עם פונקציות טריגונומטריות

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

שטחים עם פונקציות טריגונומטריות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הפונקציות $f(x)=\cos(2x)$ ו- $g(x)=\cos x$ בתחום $0\le x\le\pi$ . בסרטוט מסומן השטח הכלוא בין שני הגרפים.
סך שטחים מתחת לגרף $g = f^{2} \cdot f^{'}$ (שאלה קצרה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\left(\frac12+\cos^2x\right)\sin x$ , המוגדרת בתחום: $-\pi\le x\le\pi$ . נתון: $f'(x)=\frac32\cos x\cos2x$ .
שטח בין גרף הנגזרת של $\frac{2}{1 - c o s x}$ לציר ה- $x$ (שאלה קצרה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2}{1-\cos(x)}$ , בתחום $-2\pi\le x\le2\pi$ . נתון: $f'(x)=-\frac{2\sin x}{(1-\cos x)^2}$ .
שטחים עם פונקציות טריגונומטריות (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם הגרפים של הפונקציות $f(x)=\sin(2x)$ ו- $g(x)=\cos x$ בתחום $0\le x\le\frac{\pi}{2}$ .
שטח התחום שציר ה- $y$ עובר דרכו בין $g (x)$ ל- $sin^{2} x$ (שאלת ביניים · קשה)
נתונות הפונקציות $f(x)=\cos2x+2\sin x$ ו- $g(x)=f\left(x-\frac\pi2\right)$ .
שטחים עם פונקציות טריגונומטריות (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם הגרפים של הפונקציות $f(x)=\sin x$ ו- $g(x)=\cos x$ בתחום $0\le x\le\frac{3\pi}{2}$ .
הפונקציה $sin x (1 + cos x)$ עם נקודות סליקות: קיצון בתחום סגור, מספר פתרונות ושטח מתחת לנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\sin2x\,(1+\cos x)}{2\cos x}$ , בתחום: $0\le x\le2\pi$ .
שטחים עם פונקציות טריגונומטריות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\sin2x+2\cos x$ בתחום $0\le x\le\pi$ .
שטחים עם פונקציות טריגונומטריות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{\cos(x)}{2+\sin(x)}$ .
שטחים עם פונקציות טריגונומטריות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $g(x)=(1+\sin x)^2\cos x$ , המוגדרת בתחום: $0\le x\le\pi$ .
פונקציות טריגונומטריות: זוגיות, זיהוי גרפים, פרמטר ושטח בין גרפים (שאלה מלאה · בינונית)
נתונות הפונקציות: $f(x)=2\sin^2x-\sin x$ , $g(x)=f\left(x-\frac{\pi}{2}\right)$ .
שטחים עם פונקציות טריגונומטריות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הפונקציות $y=\sin2x$ ו- $y=\sin x$ בתחום $0\le x\le\pi$ .
פרמטר, נקודות חיתוך ושטח בין $2 sin x$ ל- $a sin^{2} x$ (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה $g(x)=2\sin x$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

פונקציה טריגונומטרית עם נקודות אי-רציפות סליקות: קיצון בתחום סגור, מספר פתרונות ושטח מתחת לנגזרת · בגרות 571 קיץ 2022 מועד א', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{2(\cos x)^2+\sin2x}{2\cos x}$ , בתחום: $0\le x\le2\pi$ .
פונקציות טריגונומטריות: זוגיות, זיהוי גרפים, פרמטר ושטח בין גרפים · מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 5
נתונות הפונקציות: $f(x)=\sin^2x-\sin x$ , $g(x)=f\left(x-\frac{\pi}{2}\right)$ .