מבחן לדוגמה: בעיות קיצון טריגונומטריות בגאומטריה במישור - כיתה י"א 5 יח"ל

6 שאלות פתוחות על בעיות קיצון טריגונומטריות בגאומטריה במישור (חקירה וקיצון של פונקציות טריגונומטריות), מהקלה לקשה. המבחן מוכן להדפסה כמו שהוא, או לפתיחה במחולל לשינויים.

מבחן במתמטיקה - כיתה י"א 5 יח"ל

בעיות קיצון טריגונומטריות בגאומטריה במישור

6 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון

שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · ההיקף המקסימלי של טרפז החסום בחצי מעגלשאלה קצרה · קלה

ABABAB הוא קוטר של חצי מעגל שמרכזו OOO ורדיוסו RRR. הנקודות CCC ו-DDD נמצאות על הקשת כך ש-CD∥ABCD\parallel ABCD∥AB, והמרובע ABCDABCDABCD הוא טרפז שווה שוקיים. נסמן: ∢BOC=x\sphericalangle BOC=x∢BOC=x (0<x<π20<x<\frac\pi20<x<2π​). היקף הטרפז הוא P(x)=2R+4Rsin⁡x2+2Rcos⁡xP(x)=2R+4R\sin\frac x2+2R\cos xP(x)=2R+4Rsin2x​+2Rcosx.
xABOCD

מצאו את ערך ה-xxx שבעבורו היקף הטרפז מקסימלי, ואת ההיקף המקסימלי.

שאלה 2 · משולש עם צלע 6 וזווית $\frac{2 π}{3}$ מולה: היקף מקסימלישאלה מלאה · קלה

במשולש ABCABCABC אורך הצלע BCBCBC הוא 6, ו-∢BAC=2π3\sphericalangle BAC=\frac{2\pi}{3}∢BAC=32π​. נסמן: ∢ABC=x\sphericalangle ABC=x∢ABC=x (0<x<π30<x<\frac\pi30<x<3π​).

א.

הסבירו מדוע ∢ACB=π3−x\sphericalangle ACB=\frac\pi3-x∢ACB=3π​−x, והביעו באמצעות xxx את אורכי הצלעות ACACAC ו-ABABAB.

ב.

הראו כי היקף המשולש הוא P(x)=6+43(sin⁡x+sin⁡(π3−x))P(x)=6+4\sqrt3\left(\sin x+\sin\left(\frac\pi3-x\right)\right)P(x)=6+43​(sinx+sin(3π​−x)), ומצאו את P′(x)P'(x)P′(x).

ג.

מצאו את ערך ה-xxx שבעבורו היקף המשולש מקסימלי, ואת ההיקף המקסימלי.

ד.

איזה משולש מתקבל כשההיקף מקסימלי? מה אורכי הצלעות ABABAB ו-ACACAC במשולש זה?

שאלה 3 · בעיות קיצון טריגונומטריות בגאומטריה במישורשאלה קצרה · בינונית

משולש שווה-שוקיים ABCABCABC (AB=ACAB=ACAB=AC) חסום במעגל שרדיוסו RRR. נסמן את זוויות הבסיס: ∠ABC=∠ACB=x\angle ABC=\angle ACB=x∠ABC=∠ACB=x.

א.

הביעו באמצעות RRR ו-xxx את שטח המשולש.

ב.

מצאו את xxx שבעבורו שטח המשולש מקסימלי, ואת השטח המקסימלי.

שאלה 4 · שטח חתך מקסימלי של מזרבשאלת ביניים · בינונית

מכופפים פס פח כך שחתך המרזב שנוצר הוא טרפז KLMNKLMNKLMN (ראו סרטוט): הבסיס KLKLKL והדפנות LMLMLM ו-KNKNKN כולם באורך bbb, והדפנות נוטות כלפי חוץ בזווית xxx מעל ההמשך LTLTLT של הבסיס (0∘<x≤90∘0^\circ<x\le90^\circ0∘<x≤90∘). הקטע MNMNMN (מקווקו) הוא פני המים כשהמרזב מלא.
xKLMNT

א.

הראו כי שטח החתך הוא S(x)=b2sin⁡x(1+cos⁡x)S(x)=b^2\sin x(1+\cos x)S(x)=b2sinx(1+cosx).

ב.

מצאו את xxx שבעבורו שטח החתך מקסימלי.

ג.

ידוע כי השטח המקסימלי של החתך הוא 12312\sqrt3123​. מצאו את bbb.

שאלה 5 · מקבילית עם שטח קבוע: האלכסון הקצר ביותר לפי יחס הצלעותשאלה מלאה · קשה

נתונה מקבילית ABCDABCDABCD ששטחה 24. נתון: AD=k⋅ABAD=k\cdot ABAD=k⋅AB, כאשר k>0k>0k>0 הוא פרמטר. נסמן: ∠BAD=x\angle BAD=x∠BAD=x, 0°<x<180°0°<x<180°0°<x<180°.

א.

הביעו את BD2BD^2BD2 באמצעות xxx ו-kkk.

ב.

נניח כי k≠1k\neq1k=1. הביעו באמצעות kkk את האורך המינימלי של האלכסון BDBDBD.

ג.

ידוע כי האורך המינימלי של האלכסון BDBDBD הוא 8. מצאו את כל הערכים האפשריים של kkk.

ד.

הראו כי כאשר k=1k=1k=1 אין לאורך האלכסון BDBDBD ערך מינימלי.

שאלה 6 · טרפז חסום בחצי מעגל: היקף מקסימלי ומספר הטרפזים בעלי היקף נתוןשאלה מלאה · קשה

AB הוא קוטר של חצי מעגל שמרכזו O ורדיוסו RRR. הנקודות C ו-D נמצאות על חצי המעגל כך ש-ABCD הוא טרפז (DC∥AB)(DC\parallel AB)(DC∥AB), כמתואר בסרטוט.
נסמן: ∠COB=x\angle COB=x∠COB=x, כאשר 0∘<x<90∘0^\circ<x<90^\circ0∘<x<90∘.
xOABCD

א.

הביעו באמצעות RRR ו-xxx את היקף הטרפז ABCD.

ב.

מצאו את xxx שבעבורו היקף הטרפז מקסימלי, ואת ההיקף המקסימלי.

ג.

מצאו את כל הערכים של ccc שבעבורם יש בדיוק שני טרפזים כאלה (כלומר שני ערכים של xxx בתחום) שהיקפם cRcRcR.

שאלה 1 · ההיקף המקסימלי של טרפז החסום בחצי מעגלשאלה קצרה · קלה

שאלה 2 · משולש עם צלע 6 וזווית 32π​ מולה: היקף מקסימלישאלה מלאה · קלה

שאלה 3 · בעיות קיצון טריגונומטריות בגאומטריה במישורשאלה קצרה · בינונית

שאלה 4 · שטח חתך מקסימלי של מזרבשאלת ביניים · בינונית

שאלה 5 · מקבילית עם שטח קבוע: האלכסון הקצר ביותר לפי יחס הצלעותשאלה מלאה · קשה

שאלה 6 · טרפז חסום בחצי מעגל: היקף מקסימלי ומספר הטרפזים בעלי היקף נתוןשאלה מלאה · קשה

רוצים להשלים את חוויית הלמידה?

כל האתר במבט אחד

שאלה 2 · משולש עם צלע 6 וזווית $\frac{2 π}{3}$ מולה: היקף מקסימלישאלה מלאה · קלה