שאלות פתוחות: בעיות קיצון טריגונומטריות בגאומטריה במישור - כיתה י"א 5 יח"ל

בעיות קיצון טריגונומטריות בגאומטריה במישור לכיתה י"א, 5 יחידות. בשאלות מבטאים שטח או היקף בעזרת זווית ומוצאים להם ערך מקסימלי: משולש שבו צלע וזווית ידועות, טרפז שווה-שוקיים החסום בחצי מעגל, מרזב שחתכו טרפז ונוצר מכיפוף פס פח, ומשולש שווה-שוקיים שאורך שוקו 1. רוב השאלות בינוניות, וחלק ניכר קשות. אלה שאלות קלאסיות לבגרות; המורה יכול לבחור מהן למבחן או לדף עבודה, עם פתרון מלא וייצוא ל-Word.

31 שאלותקלה: 5בינונית: 18קשה: 8

שאלה 1 · משולש עם צלע 6 וזווית $\frac{2 π}{3}$ מולה: היקף מקסימלישאלה מלאה · קלה

במשולש ABCABCABC אורך הצלע BCBCBC הוא 6, ו-∢BAC=2π3\sphericalangle BAC=\frac{2\pi}{3}∢BAC=32π​. נסמן: ∢ABC=x\sphericalangle ABC=x∢ABC=x (0<x<π30<x<\frac\pi30<x<3π​).

א.

הסבירו מדוע ∢ACB=π3−x\sphericalangle ACB=\frac\pi3-x∢ACB=3π​−x, והביעו באמצעות xxx את אורכי הצלעות ACACAC ו-ABABAB.

ב.

הראו כי היקף המשולש הוא P(x)=6+43(sin⁡x+sin⁡(π3−x))P(x)=6+4\sqrt3\left(\sin x+\sin\left(\frac\pi3-x\right)\right)P(x)=6+43​(sinx+sin(3π​−x)), ומצאו את P′(x)P'(x)P′(x).

ג.

מצאו את ערך ה-xxx שבעבורו היקף המשולש מקסימלי, ואת ההיקף המקסימלי.

ד.

איזה משולש מתקבל כשההיקף מקסימלי? מה אורכי הצלעות ABABAB ו-ACACAC במשולש זה?

שאלה 2 · בעיות קיצון טריגונומטריות בגאומטריה במישורשאלה קצרה · בינונית

בחצי מעגל שרדיוסו RRR חוסמים טרפז שווה-שוקיים ABCDABCDABCD, כך שהבסיס הגדול ABABAB הוא הקוטר של חצי המעגל, והקדקודים CCC ו-DDD נמצאים על הקשת. נסמן: ∠CAB=α\angle CAB=\alpha∠CAB=α (α\alphaα ברדיאנים, 0<α<π40<\alpha<\frac{\pi}{4}0<α<4π​).

א.

הביעו באמצעות RRR ו-α\alphaα את שטח הטרפז.

ב.

מצאו את α\alphaα שעבורו שטח הטרפז מקסימלי, ואת השטח המקסימלי.

שאלה 3 · ההיקף המקסימלי כפונקציה של הזווית: בעיה הפוכה ומספר משולשיםשאלה מלאה · קשה

במשולש ABCABCABC אורך הצלע BCBCBC הוא aaa, ו-∢BAC=α\sphericalangle BAC=\alpha∢BAC=α, כאשר 0<α<π0<\alpha<\pi0<α<π (α\alphaα ברדיאנים). נסמן: ∢ABC=x\sphericalangle ABC=x∢ABC=x.

א.

מצאו, באמצעות aaa ו-α\alphaα, את ההיקף המקסימלי האפשרי של המשולש ABCABCABC.

ב.

מצאו את α\alphaα שבעבורה ההיקף המקסימלי של המשולש הוא 3a3a3a. איזה משולש מתקבל אז?

ג.

נתון α=π3\alpha=\frac\pi3α=3π​. קבעו, לכל k>0k>0k>0, כמה ערכים של xxx יש שבעבורם היקף המשולש ABCABCABC הוא kakaka.

שאלה 4 · בעיית קיצון טריגונומטרית: חתך מזרב בצורת טרפזשאלה מלאה · קלה

מכופפים פס פח כך שחתך המרזב שנוצר הוא טרפז KLMNKLMNKLMN (ראו סרטוט): הבסיס KLKLKL והדפנות LMLMLM ו-KNKNKN כולם באורך bbb, והדפנות נוטות כלפי חוץ בזווית xxx מעל ההמשך של הבסיס (0∘<x≤90∘0^\circ<x\le90^\circ0∘<x≤90∘). הקטע MNMNMN (מקווקו) הוא פני המים כשהמרזב מלא.
xKLMNT

א.

הראו כי שטח החתך הוא S(x)=b2sin⁡x(1+cos⁡x)S(x)=b^2\sin x(1+\cos x)S(x)=b2sinx(1+cosx).

ב.

מצאו את xxx שבעבורו שטח החתך מקסימלי.

ג.

ידוע כי השטח המקסימלי של החתך הוא 12312\sqrt3123​. מצאו את bbb.

שאלה 5 · בעיות קיצון טריגונומטריות בגאומטריה במישורשאלה קצרה · בינונית

במשולש שווה-שוקיים ABCABCABC (AB=ACAB=ACAB=AC) אורך כל שוק הוא 111. נסמן את זווית הבסיס: ∠ABC=x\angle ABC=x∠ABC=x (xxx ברדיאנים, 0<x<π20<x<\frac{\pi}{2}0<x<2π​). נסמן ב-rrr את רדיוס המעגל החסום במשולש.

א.

הביעו את rrr באמצעות xxx.

ב.

מצאו את cos⁡x\cos xcosx שעבורו רדיוס המעגל החסום מקסימלי.

שאלה 6 · מרובע חסום במעגל עם זווית חופשית: יחס גבהים, שטח ומספר מרובעים מתאימיםשאלה מלאה · קשה

מרובע ABCD חסום במעגל שרדיוסו RRR ומרכזו O (ראו סרטוט). נסמן: ∠DAB=α\angle DAB=\alpha∠DAB=α, α\alphaα היא זווית חדה.
נתון: AD=RAD=RAD=R, והזווית ABD חדה.
נסמן ב-h1h_1h1​ את הגובה שיורד מקודקוד A במשולש ABD, וב-h2h_2h2​ את הגובה שיורד מקודקוד O במשולש BOD.
OABCD

א.

הביעו באמצעות α\alphaα ו-RRR את אורך הצלע AB.

ב.

הביעו באמצעות α\alphaα את היחס h1h2\frac{h_1}{h_2}h2​h1​​.

ג.

נתון ששטח המשולש ABD הוא 34R2\frac{\sqrt3}{4}R^243​​R2. מצאו את α\alphaα.

ד.

מצאו את כל הערכים של kkk שבעבורם יש בדיוק שני ערכים של α\alphaα (זווית חדה) שבעבורם שטח המשולש ABD שווה ל-kR2kR^2kR2.

שאלה 7 · אורך מינימלי של צלע במשולש עם שטח נתוןשאלה מלאה · קלה

במשולש ABCABCABC נתון: AB=3⋅ACAB=\sqrt3\cdot ACAB=3​⋅AC. נסמן: ∠BAC=x\angle BAC=x∠BAC=x. שטח המשולש ABCABCABC הוא 434\sqrt343​.

א.

הביעו באמצעות xxx את AC2AC^2AC2.

ב.

הראו כי BC2=8(4−23cos⁡x)sin⁡xBC^2=\frac{8\left(4-2\sqrt3\cos x\right)}{\sin x}BC2=sinx8(4−23​cosx)​.

ג.

מצאו את גודל הזווית xxx שעבורו אורך הצלע BCBCBC הוא מינימלי.

ד.

חשבו את האורך המינימלי של הצלע BCBCBC.

שאלה 8 · בעיות קיצון טריגונומטריות בגאומטריה במישורשאלה קצרה · בינונית

צורה מורכבת ממשולש שווה-שוקיים ומלבן. אורך כל שוק במשולש הוא 111, וזווית הראש שלו היא xxx (xxx ברדיאנים, 0<x<π0<x<\pi0<x<π). אחת מצלעות המלבן היא בסיס המשולש, והצלע השנייה של המלבן באורך קבוע hhh (h>0h>0h>0). המלבן נמצא מחוץ למשולש.

א.

הביעו באמצעות xxx ו-hhh את שטח הצורה.

ב.

נתון כי שטח הצורה מקסימלי כאשר x=2π3x=\frac{2\pi}{3}x=32π​. מצאו את hhh.

שאלה 9 · ישר דרך נקודה: סכום חיתוכים מינימלי בפרמטרים, בעיה הפוכה והשוואה לשטחשאלה מלאה · קשה

במערכת צירים נתונה הנקודה P(a,b)P(a,b)P(a,b), כאשר a>0a>0a>0 ו-b>0b>0b>0. ישר שעובר דרך PPP חותך את החלק החיובי של ציר ה-xxx בנקודה AAA ואת החלק החיובי של ציר ה-yyy בנקודה BBB (OOO - ראשית הצירים). נסמן ∠OAB=θ\angle OAB=\theta∠OAB=θ (ראו סרטוט).
θOABP

א.

הביעו באמצעות aaa, bbb ו-θ\thetaθ את הסכום OA+OBOA+OBOA+OB.

ב.

מצאו, באמצעות aaa ו-bbb, את הערך המינימלי של הסכום OA+OBOA+OBOA+OB.

ג.

ידוע כי הסכום המינימלי הוא 9, וכי הישר שבעבורו הוא מתקבל חותך את ציר ה-yyy בנקודה (0,3)(0,3)(0,3). מצאו את שיעורי הנקודה PPP.

ד.

מצאו את כל הנקודות PPP שבעבורן הישר שנותן את הסכום OA+OBOA+OBOA+OB המינימלי הוא גם הישר שנותן את שטח המשולש OABOABOAB המינימלי.

שאלה 10 · טרפז חסום בחצי מעגל: שטח מקסימלישאלה מלאה · קלה

AB הוא קוטר של חצי מעגל שמרכזו O ורדיוסו RRR. הנקודות C ו-D נמצאות על חצי המעגל כך ש-ABCD הוא טרפז (DC∥AB)(DC\parallel AB)(DC∥AB), כמתואר בסרטוט.
נסמן: ∠COB=x\angle COB=x∠COB=x.
xOABCD

א.

מהו תחום הערכים האפשרי בעבור xxx?

ב.

הראו כי שטח הטרפז הוא S(x)=R2sin⁡x+R22sin⁡2xS(x)=R^2\sin x+\frac{R^2}2\sin2xS(x)=R2sinx+2R2​sin2x.

ג.

מצאו את xxx שבעבורו שטח הטרפז מקסימלי, ואת השטח המקסימלי.

ד.

מצאו את היחס בין השטח המקסימלי של הטרפז לבין שטח חצי העיגול.

עוד 17 שאלות על בעיות קיצון טריגונומטריות בגאומטריה במישור

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

בעיות קיצון טריגונומטריות בגאומטריה במישור (שאלה קצרה · בינונית)
במעגל שרדיוסו $R$ חוסמים משולש שווה-שוקיים $ABC$ ( $AB=AC$ ). נסמן: $\angle ABC=\angle ACB=x$ ( $x$ ברדיאנים, $0<x<\frac{\pi}{2}$ ).
משולש עם זווית קהה קבועה: שטח המשולש שבין שני קודקודים למרכז המעגל החסום (שאלה מלאה · קשה)
משולש $ABC$ חסום במעגל שרדיוסו $R$ . נתון: $\angle ABC=120°$ . הנקודה $O$ היא מרכז המעגל החסום במשולש $ABC$ (ראו סרטוט). נסמן:…
ההיקף המקסימלי של טרפז החסום בחצי מעגל (שאלה קצרה · קלה)
$AB$ הוא קוטר של חצי מעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $R$ . הנקודות $C$ ו- $D$ נמצאות על הקשת כך ש- $CD\parallel AB$ , והמרובע $ABCD$ הוא טרפז שווה…
משולש עם צלע נתונה וזווית מולה: שטח מקסימלי ומשולש שווה שוקיים (שאלה מלאה · בינונית)
במשולש $ABC$ אורך הצלע $AC$ הוא $b$ . נתון: $\sphericalangle ABC=\beta$ ( $\beta$ ברדיאנים). נסמן: $\sphericalangle BAC=x$ ( $0<x<\pi-\beta$ ).
מקבילית עם שטח קבוע: האלכסון הקצר ביותר לפי יחס הצלעות (שאלה מלאה · קשה)
נתונה מקבילית $ABCD$ ששטחה 24. נתון: $AD=k\cdot AB$ , כאשר $k>0$ הוא פרמטר. נסמן: $\angle BAD=x$ , $0°<x<180°$ .
בעיות קיצון טריגונומטריות בגאומטריה במישור (שאלה קצרה · בינונית)
$AB$ הוא קוטר של חצי מעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $R$ . הנקודות $C$ ו- $D$ נמצאות על הקשת כך ש- $CD\parallel AB$ , והמרובע $ABCD$ הוא טרפז שווה…
טרפז חסום בחצי מעגל: היקף מקסימלי ומספר הטרפזים בעלי היקף נתון (שאלה מלאה · קשה)
AB הוא קוטר של חצי מעגל שמרכזו O ורדיוסו $R$ . הנקודות C ו-D נמצאות על חצי המעגל כך ש-ABCD הוא טרפז $(DC\parallel AB)$ , כמתואר בסרטוט. נסמן:…
בעיית קיצון טריגונומטרית: גדר דרך עמוד בפינה של שני קירות (שאלה מלאה · בינונית)
שני קירות ישרים, הניצבים זה לזה, נפגשים בפינה $O$ . עמוד $P$ נמצא במרחק $a$ מהקיר $OB$ ובמרחק $b$ מהקיר $OA$ (ראו סרטוט). מתכננים גדר ישרה…
שטח מקסימלי של משולש עם צלע וזווית נגדית נתונות (שאלה קצרה · קשה)
במשולש $ABC$ אורך הצלע $AC$ הוא $b$ . נתון: $\sphericalangle ABC=\beta$ ( $\beta$ ברדיאנים). נסמן: $\sphericalangle BAC=x$ ( $0<x<\pi-\beta$ ).…
בעיות קיצון טריגונומטריות בגאומטריה במישור (שאלה קצרה · בינונית)
משולש שווה-שוקיים $ABC$ ( $AB=AC$ ) חסום במעגל שרדיוסו $R$ . נסמן את זוויות הבסיס: $\angle ABC=\angle ACB=x$ .
שטח מינימלי של חלקה משולשת בפינה (שאלת ביניים · קשה)
שני קירות ישרים, הניצבים זה לזה, נפגשים בפינה $O$ . עמוד $P$ נמצא במרחק $a$ מהקיר $OB$ ובמרחק $b$ מהקיר $OA$ (ראו סרטוט). מתכננים גדר ישרה…
בעיית קיצון טריגונומטרית במקבילית: קטע מקודקוד לנקודה על צלע (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה מקבילית $ABCD$ שבה $AB=2BC$ . הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $CD$ כך ש- $DE=2CE$ . נסמן: $\angle BCD=x$ . נתון: שטח המשולש $BCE$ הוא 12.
בעיות קיצון טריגונומטריות בגאומטריה במישור (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש $ABC$ נתון: $AC=2$ , $\angle BAC=x$ , ושטח המשולש הוא 2.
בעיית קיצון טריגונומטרית: סכום ניצב וגובה במשולש ישר זווית (שאלה מלאה · בינונית)
הקטע AB הוא היתר במשולש ישר הזווית AFB, $\angle AFB=90^\circ$ , ו-FH הוא הגובה ליתר, כמתואר בסרטוט. ידוע כי $AF>BF$ . נתון: $\angle FAB=x$ .…
בעיות קיצון טריגונומטריות בגאומטריה במישור (שאלה קצרה · בינונית)
הנקודה P נמצאת בתוך זווית ישרה שקודקודה O, במרחק $a$ מכל אחת משתי צלעות הזווית. דרך P מעבירים קטע MN שקצותיו על שתי צלעות הזווית, כמתואר…
הזווית שבעבורה צלע במשולש בעל שטח נתון מינימלית (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש $ABC$ נתון: $AB=\sqrt3\cdot AC$ . נסמן: $\angle BAC=x$ . שטח המשולש $ABC$ הוא $4\sqrt3$ . ניתן להראות כי…
שטח חתך מקסימלי של מזרב (שאלת ביניים · בינונית)
מכופפים פס פח כך שחתך המרזב שנוצר הוא טרפז $KLMN$ (ראו סרטוט): הבסיס $KL$ והדפנות $LM$ ו- $KN$ כולם באורך $b$ , והדפנות נוטות כלפי חוץ בזווית…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

משולש עם צלע נתונה וזווית מולה: היקף מקסימלי ומשולש שווה שוקיים · בגרות 571 קיץ 2021 מועד א', שאלה 8
במשולש $ABC$ אורך הצלע $BC$ הוא $a$ . נתון: $\sphericalangle BAC=\alpha$ ( $\alpha$ ברדיאנים). נסמן: $\sphericalangle ABC=x$ ( $0<x<\pi-\alpha$ ).
בעיית קיצון טריגונומטרית: סכר דרך פינה של תעלות · בגרות 571 חורף 2022, שאלה 8
תעלת מים ראשית ברוחב קבוע $a$ מחוברת בניצב לתעלה משנית ברוחב קבוע $b$ . הנקודה $C$ היא נקודת המפגש בין דופן של התעלה הראשית ובין דופן של התעלה המשנית (ראו…
בעיית קיצון טריגונומטרית במעוין: קטע מקודקוד לאמצע צלע · בגרות 571 קיץ 2023 מועד א', שאלה 8
נתון מעוין $ABCD$ . נקודה $E$ היא אמצע הצלע $BC$ . נסמן: $\angle ECD=x$ . נתון: שטח המשולש $ECD$ הוא 25.
בעיית קיצון טריגונומטרית: הפרש קטעים במלבן ובמשולש ישר זווית · בגרות 571 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 8
הנקודה E היא אמצע הקטע AB. על הקטע AB בונים מלבן ABCD ומשולש ישר זווית AFB, $\angle AFB=90^\circ$ , כמתואר בסרטוט. נתון: $\angle FAB=2x$ , $\angle ECB=x$ . נסמן את…