דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

מבחן לדוגמה: זווית בין שני וקטורים - כיתה י"ב 4 יח"ל

6 שאלות פתוחות על זווית בין שני וקטורים (מכפלה סקלרית בגישה גאומטרית), מהקלה לקשה. המבחן מוכן להדפסה כמו שהוא, או לפתיחה במחולל לשינויים.

מבחן במתמטיקה - כיתה י"ב 4 יח"ל
זווית בין שני וקטורים
6 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון
שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · זווית בין שני וקטוריםשאלה קצרה · קלה

במשולש ABCABC הזווית בין הווקטורים AB→\overrightarrow{AB} ו-BC→\overrightarrow{BC} היא 110∘110^\circ, והזווית בין הווקטורים AC→\overrightarrow{AC} ו-CB→\overrightarrow{CB} היא 130∘130^\circ.

א.

מצאו את הזוויות ∠ABC\angle ABC ו-∠ACB\angle ACB של המשולש.

ב.

מצאו את הזווית בין הווקטורים CA→\overrightarrow{CA} ו-AB→\overrightarrow{AB}.

שאלה 2 · וקטורים בפירמידה שכל מקצועותיה שווים: ניצבות למקצוע ולמישורשאלה מלאה · קלה

בפירמידה המשולשת ABCDABCD כל המקצועות שווים ל-6 (ראו סרטוט). הנקודה EE היא אמצע המקצוע CDCD, והנקודה FF היא אמצע המקצוע BDBD. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AC→=v‾\overrightarrow{AC}=\underline v, AD→=w‾\overrightarrow{AD}=\underline w.

uvwACBDEF
א.

חשבו את המכפלות הסקלריות u‾⋅v‾\underline u\cdot\underline v, u‾⋅w‾\underline u\cdot\underline w, v‾⋅w‾\underline v\cdot\underline w.

ב.
(1)

הביעו את הווקטורים CD→\overrightarrow{CD} ו-BD→\overrightarrow{BD} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w.

(2)

הראו כי AE→=12v‾+12w‾\overrightarrow{AE}=\frac12\underline v+\frac12\underline w, והביעו את AF→\overrightarrow{AF} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w.

ג.

הוכיחו כי CD→\overrightarrow{CD} מאונך ל-AE→\overrightarrow{AE}.

ד.

האם CD→\overrightarrow{CD} מאונך ל-AF→\overrightarrow{AF}? נמקו.

ה.

על סמך סעיף ד: האם CD→\overrightarrow{CD} מאונך למישור EAFEAF? נמקו.

שאלה 3 · זווית בין שני וקטוריםשאלה קצרה · בינונית

לווקטורים u→\vec{u} ו-v→\vec{v} אותו אורך, והזווית ביניהם היא 80∘80^\circ.

מצאו את הזווית בין הווקטורים v→\vec{v} ו-u→−v→\vec{u}-\vec{v}.

שאלה 4 · וקטורים בתיבה: אמצע האלכסון וזוויות של טרפזשאלה מלאה · בינונית

בסרטוט שלפניכם מתוארת תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'. הנקודה EE היא מפגש אלכסוני הפאה ABB′A′ABB'A'. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline v, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline w. הנקודה FF מקיימת: EF→=12v‾\overrightarrow{EF}=\frac12\underline v.

uvwABCDA'B'C'D'EF
א.
(1)

הביעו את הווקטורים AE→\overrightarrow{AE} ו-DB′→\vec{DB'} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w.

(2)

הוכיחו: DF→=12DB′→\overrightarrow{DF}=\frac12\vec{DB'}.

ב.
(1)

הסבירו מדוע EFEF מקביל ל-ADAD.

(2)

הוכיחו: AD→\overrightarrow{AD} מאונך ל-AE→\overrightarrow{AE}.

ג.

נתון: בסיס התיבה ABCDABCD הוא מלבן שבו AB=2AB=2 ו-AD=4AD=4. נפח התיבה הוא 48.

(1)

חשבו את אורך המקצוע הצדדי של התיבה.

(2)

חשבו את אורך הווקטור DF→\overrightarrow{DF}.

ד.
(1)

חשבו את גודל הזווית ADFADF.

(2)

מצאו את הגדלים של שאר הזוויות של המרובע AEFDAEFD.

שאלה 5 · וקטורים בתיבה: טרפז שקודקודו במרכז התיבהשאלה מלאה · בינונית

נתונה תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'. הנקודה FF היא אמצע המקצוע CC′CC', והנקודה EE היא אמצע האלכסון BD′BD'. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline{v}, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline{w}. נתון: ∣u‾∣=2|\underline{u}|=2, ∣v‾∣=1|\underline{v}|=1, ∣w‾∣=2|\underline{w}|=2.

uvwABCDA'B'C'D'EF
א.

הביעו את הווקטורים EF→\overrightarrow{EF}, BD′→\vec{BD'}, AC→\overrightarrow{AC} ו-AE→\overrightarrow{AE} באמצעות u‾\underline{u}, v‾\underline{v} ו-w‾\underline{w}.

ב.
(1)

חשבו את אורך הווקטורים AC→\overrightarrow{AC} ו-AE→\overrightarrow{AE}.

(2)

חשבו את גודל הזווית EACEAC.

ג.

הסבירו מדוע EF∥ACEF\parallel AC.

ד.

מצאו את זוויות הטרפז EACFEACF.

שאלה 6 · זווית בין וקטורים מתוך זוויות בין וקטורים אחרים במשולששאלה קצרה · קשה

במשולש ABCABC הזווית בין הווקטורים AB→\overrightarrow{AB} ו-BC→\overrightarrow{BC} היא 110∘110^\circ, והזווית בין הווקטורים AC→\overrightarrow{AC} ו-CB→\overrightarrow{CB} היא 130∘130^\circ.

מצאו את הזווית בין הווקטורים CA→\overrightarrow{CA} ו-AB→\overrightarrow{AB}.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.