דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: זווית בין שני וקטורים - כיתה י"ב 4 יח"ל

זווית בין שני וקטורים לכיתה י"ב (4 יחידות) - שאלות פתוחות במשולש ובגופים. התלמידים מוצאים זוויות בין וקטורים במשולש כשנתונות זוויות בין וקטורים אחרים, ומבחינים בין הזווית בין הווקטורים לזווית של המשולש. בשאלות אחרות מחשבים זווית בין וקטורים בעלי אורך שווה, ובפירמידה שכל מקצועותיה שווים או בתיבה עם נקודות אמצע. השאלות ברמות קלה, בינונית וקשה, ורובן בינוניות. אפשר להרכיב מהן בוחן או דף עבודה, עם פתרונות מלאים וייצוא לוורד.

16 שאלותקלה: 3בינונית: 12קשה: 1

שאלה 1 · זווית בין שני וקטוריםשאלה קצרה · קלה

במשולש ABCABC הזווית בין הווקטורים AB→\overrightarrow{AB} ו-BC→\overrightarrow{BC} היא 110∘110^\circ, והזווית בין הווקטורים AC→\overrightarrow{AC} ו-CB→\overrightarrow{CB} היא 130∘130^\circ.

א.

מצאו את הזוויות ∠ABC\angle ABC ו-∠ACB\angle ACB של המשולש.

ב.

מצאו את הזווית בין הווקטורים CA→\overrightarrow{CA} ו-AB→\overrightarrow{AB}.

שאלה 2 · זווית בין שני וקטוריםשאלה קצרה · בינונית

לווקטורים u→\vec{u} ו-v→\vec{v} אותו אורך, והזווית ביניהם היא 80∘80^\circ.

מצאו את הזווית בין הווקטורים v→\vec{v} ו-u→−v→\vec{u}-\vec{v}.

שאלה 3 · זווית בין וקטורים מתוך זוויות בין וקטורים אחרים במשולששאלה קצרה · קשה

במשולש ABCABC הזווית בין הווקטורים AB→\overrightarrow{AB} ו-BC→\overrightarrow{BC} היא 110∘110^\circ, והזווית בין הווקטורים AC→\overrightarrow{AC} ו-CB→\overrightarrow{CB} היא 130∘130^\circ.

מצאו את הזווית בין הווקטורים CA→\overrightarrow{CA} ו-AB→\overrightarrow{AB}.

שאלה 4 · וקטורים בפירמידה שכל מקצועותיה שווים: ניצבות למקצוע ולמישורשאלה מלאה · קלה

בפירמידה המשולשת ABCDABCD כל המקצועות שווים ל-6 (ראו סרטוט). הנקודה EE היא אמצע המקצוע CDCD, והנקודה FF היא אמצע המקצוע BDBD. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AC→=v‾\overrightarrow{AC}=\underline v, AD→=w‾\overrightarrow{AD}=\underline w.

uvwACBDEF
א.

חשבו את המכפלות הסקלריות u‾⋅v‾\underline u\cdot\underline v, u‾⋅w‾\underline u\cdot\underline w, v‾⋅w‾\underline v\cdot\underline w.

ב.
(1)

הביעו את הווקטורים CD→\overrightarrow{CD} ו-BD→\overrightarrow{BD} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w.

(2)

הראו כי AE→=12v‾+12w‾\overrightarrow{AE}=\frac12\underline v+\frac12\underline w, והביעו את AF→\overrightarrow{AF} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w.

ג.

הוכיחו כי CD→\overrightarrow{CD} מאונך ל-AE→\overrightarrow{AE}.

ד.

האם CD→\overrightarrow{CD} מאונך ל-AF→\overrightarrow{AF}? נמקו.

ה.

על סמך סעיף ד: האם CD→\overrightarrow{CD} מאונך למישור EAFEAF? נמקו.

שאלה 5 · וקטורים בתיבה: טרפז שקודקודו במרכז התיבהשאלה מלאה · בינונית

נתונה תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'. הנקודה FF היא אמצע המקצוע CC′CC', והנקודה EE היא אמצע האלכסון BD′BD'. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline{v}, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline{w}. נתון: ∣u‾∣=2|\underline{u}|=2, ∣v‾∣=1|\underline{v}|=1, ∣w‾∣=2|\underline{w}|=2.

uvwABCDA'B'C'D'EF
א.

הביעו את הווקטורים EF→\overrightarrow{EF}, BD′→\vec{BD'}, AC→\overrightarrow{AC} ו-AE→\overrightarrow{AE} באמצעות u‾\underline{u}, v‾\underline{v} ו-w‾\underline{w}.

ב.
(1)

חשבו את אורך הווקטורים AC→\overrightarrow{AC} ו-AE→\overrightarrow{AE}.

(2)

חשבו את גודל הזווית EACEAC.

ג.

הסבירו מדוע EF∥ACEF\parallel AC.

ד.

מצאו את זוויות הטרפז EACFEACF.

שאלה 6 · הזווית בין שני וקטורים שאינם יוצאים מאותה נקודהשאלה קצרה · קלה

במשולש ABCABC נתון: ∠ACB=60∘\angle ACB=60^\circ.

מצאו את הזווית בין הווקטורים CA→\overrightarrow{CA} ו-BC→\overrightarrow{BC}.

שאלה 7 · וקטורים בקובייה: מקבילית, זווית ושטחשאלה מלאה · בינונית

נתונה הקובייה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' (ראו ציור). הנקודות FF ו-HH הן אמצעי המקצועות ABAB ו-D′C′D'C' בהתאמה. הנקודה EE מקיימת: AE→=14AA′→\overrightarrow{AE}=\frac14\vec{AA'}. הנקודה GG מקיימת: CG→=34CC′→\overrightarrow{CG}=\frac34\vec{CC'}. נסמן: AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline w, BC→=v‾\overrightarrow{BC}=\underline v, AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u.

ABCDA'B'C'D'EGFH
א.
(1)

הביעו את הווקטורים EF→\overrightarrow{EF}, FG→\overrightarrow{FG}, HG→\overrightarrow{HG} ו-EH→\overrightarrow{EH} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w.

(2)

האם המרובע EFGHEFGH הוא מקבילית? נמקו.

ב.

הנפח של הקובייה הנתונה הוא 64.

(1)

מצאו את אורך המקצוע של הקובייה.

(2)

מצאו את אורכי הווקטורים EF→\overrightarrow{EF} ו-EH→\overrightarrow{EH}.

ג.
(1)

מצאו את גודל הזווית HEFHEF.

(2)

מצאו את שטח המרובע EFGHEFGH.

שאלה 8 · וקטורים בפירמידה משולשת: ניצבות למקצוע ולמישורשאלה מלאה · בינונית

בפירמידה המשולשת ABCDABCD הפאות ABCABC ו-ABDABD הן משולשים שווי צלעות (ראו סרטוט). הנקודה EE היא אמצע המקצוע CDCD. הנקודה FF נמצאת על המקצוע BCBC ומחלקת אותו ביחס של BF:FC=1:3BF:FC=1:3. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AC→=v‾\overrightarrow{AC}=\underline v, AD→=w‾\overrightarrow{AD}=\underline w. נתון: ∣u‾∣=∣v‾∣=∣w‾∣=4|\underline u|=|\underline v|=|\underline w|=4, ∠CAD=90∘\angle CAD=90^\circ.

uvwABCDEF
א.

חשבו את המכפלות הסקלריות שלפניכם: u‾⋅v‾\underline u\cdot\underline v, u‾⋅w‾\underline u\cdot\underline w, v‾⋅w‾\underline v\cdot\underline w.

ב.
(1)

הביעו את הווקטורים CD→\overrightarrow{CD} ו-BC→\overrightarrow{BC} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w (אם יש צורך).

(2)

הביעו את הווקטורים AE→\overrightarrow{AE} ו-AF→\overrightarrow{AF} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w (אם יש צורך).

ג.

לפניכם שלוש טענות (1)-(3). קבעו אילו מן הטענות נכונות ואילו אינן נכונות. נמקו את כל תשובותיכם.

(1) CD→\overrightarrow{CD} מאונך ל-AE→\overrightarrow{AE}.

(2) CD→\overrightarrow{CD} מאונך ל-AF→\overrightarrow{AF}.

(3) CD→\overrightarrow{CD} מאונך למישור EAFEAF.

שאלה 9 · וקטורים בפירמידה משולשת ישרה: בסיס ישר-זווית וגובהשאלה מלאה · בינונית

נתונה פירמידה ישרה SABCSABC שבסיסה משולש ABCABC (ראו סרטוט). אורך המקצוע הצדדי של הפירמידה הוא 6. נתון: ∠ASB=∠ASC=60∘\angle ASB=\angle ASC=60^\circ, ∠BSC=90∘\angle BSC=90^\circ. נסמן: SA→=u‾\overrightarrow{SA}=\underline u, SB→=v‾\overrightarrow{SB}=\underline v, SC→=w‾\overrightarrow{SC}=\underline w. הנקודה MM נמצאת במישור ABCABC. ידוע כי SM→=12v‾+12w‾\overrightarrow{SM}=\frac12\underline v+\frac12\underline w.

uvwABCSM
א.

חשבו את המכפלות הסקלריות: u‾⋅v‾\underline u\cdot\underline v, u‾⋅w‾\underline u\cdot\underline w, v‾⋅w‾\underline v\cdot\underline w.

ב.
(1)

הביעו את הווקטורים AB→\overrightarrow{AB} ו-AC→\overrightarrow{AC} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w.

(2)

חשבו את אורכי הווקטורים AB→\overrightarrow{AB} ו-AC→\overrightarrow{AC}.

(3)

מצאו את גודל הזווית BACBAC.

ג.

הראו כי SM→\overrightarrow{SM} מאונך למישור ABCABC.

ד.

נסמן: ∣SM→∣=m|\overrightarrow{SM}|=m.

הביעו את נפח הפירמידה SABCSABC באמצעות mm.

שאלה 10 · וקטורים בתיבה: אמצע האלכסון וזוויות של טרפזשאלה מלאה · בינונית

בסרטוט שלפניכם מתוארת תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'. הנקודה EE היא מפגש אלכסוני הפאה ABB′A′ABB'A'. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline v, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline w. הנקודה FF מקיימת: EF→=12v‾\overrightarrow{EF}=\frac12\underline v.

uvwABCDA'B'C'D'EF
א.
(1)

הביעו את הווקטורים AE→\overrightarrow{AE} ו-DB′→\vec{DB'} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w.

(2)

הוכיחו: DF→=12DB′→\overrightarrow{DF}=\frac12\vec{DB'}.

ב.
(1)

הסבירו מדוע EFEF מקביל ל-ADAD.

(2)

הוכיחו: AD→\overrightarrow{AD} מאונך ל-AE→\overrightarrow{AE}.

ג.

נתון: בסיס התיבה ABCDABCD הוא מלבן שבו AB=2AB=2 ו-AD=4AD=4. נפח התיבה הוא 48.

(1)

חשבו את אורך המקצוע הצדדי של התיבה.

(2)

חשבו את אורך הווקטור DF→\overrightarrow{DF}.

ד.
(1)

חשבו את גודל הזווית ADFADF.

(2)

מצאו את הגדלים של שאר הזוויות של המרובע AEFDAEFD.

עוד 1 שאלות על זווית בין שני וקטורים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

  1. זיהוי הזווית בין וקטורים בקובייה (שאלה קצרה · בינונית)

    נתונה הקובייה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' (ראו סרטוט).

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.