דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

מבחן לדוגמה: הגדרת המכפלה הסקלרית ותכונותיה - כיתה י"ב 4 יח"ל

6 שאלות פתוחות על הגדרת המכפלה הסקלרית ותכונותיה (מכפלה סקלרית בגישה גאומטרית), מהקלה לקשה. המבחן מוכן להדפסה כמו שהוא, או לפתיחה במחולל לשינויים.

מבחן במתמטיקה - כיתה י"ב 4 יח"ל
הגדרת המכפלה הסקלרית ותכונותיה
6 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון
שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · הגדרת המכפלה הסקלרית ותכונותיהשאלה קצרה · קלה

במשולש ABCABC אורכי הצלעות הם AB=4AB=4, AC=6AC=6, BC=8BC=8.

א.

חשבו את המכפלה הסקלרית AB→⋅AC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}.

ב.

חשבו את המכפלה הסקלרית AB→⋅BC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}.

שאלה 2 · וקטורים בפירמידה ריבועית: הגובה והנפחשאלה מלאה · קלה

נתונה פירמידה ישרה SABCDSABCD שבסיסה ABCDABCD הוא ריבוע. כל הפאות הצדדיות של הפירמידה הן משולשים שווי צלעות שאורך צלעם 2. הנקודה OO היא נקודת המפגש של אלכסוני הבסיס.

נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline v, AS→=w‾\overrightarrow{AS}=\underline w.

ABCDSO
א.

הסבירו מדוע u‾⋅v‾=0\underline u\cdot\underline v=0, וחשבו את u‾⋅w‾\underline u\cdot\underline w ואת v‾⋅w‾\underline v\cdot\underline w. (הזווית בין u‾\underline u ל-w‾\underline w היא הזווית SABSAB.)

ב.

הראו כי SO→=12u‾+12v‾−w‾\overrightarrow{SO}=\frac12\underline u+\frac12\underline v-\underline w.

ג.

חשבו את האורך ∣SO→∣|\overrightarrow{SO}| ואת גודל הזווית BSOBSO.

ד.

הראו כי SO→\overrightarrow{SO} מאונך ל-u‾\underline u ול-v‾\underline v, וחשבו את נפח הפירמידה.

שאלה 3 · הגדרת המכפלה הסקלרית ותכונותיהשאלה קצרה · בינונית

במנסרה ישרה ABCA′B′C′ABCA'B'C' שבשרטוט הבסיסים הם משולשים שווי צלעות שאורך צלעם 33, ואורך המקצוע הצדדי הוא 44. נסמן: AB→=u→\overrightarrow{AB}=\vec{u}, AC→=v→\overrightarrow{AC}=\vec{v}, AA′→=w→\vec{AA'}=\vec{w}.

ABCA'B'C'
א.

הביעו את A′B→\vec{A'B} ואת A′C→\vec{A'C} באמצעות u→\vec{u}, v→\vec{v}, w→\vec{w}, וחשבו את A′B→⋅A′C→\vec{A'B}\cdot\vec{A'C}.

ב.

חשבו את הזווית ∠BA′C\angle BA'C.

שאלה 4 · וקטורים בתיבה: ניצבות, שטח משולש וזווית בהצגה אלגבריתשאלה מלאה · בינונית

בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'. הנקודה MM היא מפגש האלכסונים בפאה A′B′C′D′A'B'C'D'. נקודה PP נמצאת על המקצוע CC′CC' ומקיימת CP→=13CC′→\overrightarrow{CP}=\frac13\vec{CC'}. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, BC→=v‾\overrightarrow{BC}=\underline v, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline w.

ABCDA'B'C'D'MP
א.

הביעו את הווקטורים AP→\overrightarrow{AP} ו-MP→\overrightarrow{MP} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w.

ב.

נתון: ∣u‾∣=6|\underline u|=6, ∣v‾∣=8|\underline v|=8, ∣w‾∣=15|\underline w|=15.

(1)

הוכיחו כי הווקטור AP→\overrightarrow{AP} מאונך לווקטור MP→\overrightarrow{MP}.

(2)

חשבו את שטח המשולש APMAPM.

ג.

נתון: D(0,0,0)D(0,0,0), הקודקוד AA נמצא על החלק החיובי של ציר ה-xx, הקודקוד CC נמצא על החלק החיובי של ציר ה-yy, והקודקוד D′D' נמצא על החלק החיובי של ציר ה-zz.

(1)

מצאו את שיעורי הקודקודים CC, BB, C′C'.

(2)

מצאו את שיעורי הנקודה MM.

ד.

מצאו את גודל הזווית PMBPMB.

שאלה 5 · מכפלה סקלרית בפירמידה ישרה וסוג הזווית בין וקטוריםשאלת ביניים · קשה

בסרטוט שלפניכם פירמידה ישרה SABCDSABCD שבסיסה ABCDABCD הוא ריבוע שאורך צלעו 6. אורך כל אחד מהמקצועות הצדדיים של הפירמידה הוא 5. הנקודה MM היא אמצע המקצוע SDSD. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline v, AS→=w‾\overrightarrow{AS}=\underline w.

ABCDSM
א.

חשבו את המכפלות הסקלריות u‾⋅v‾\underline u\cdot\underline v, u‾⋅w‾\underline u\cdot\underline w ו-v‾⋅w‾\underline v\cdot\underline w.

ב.

הביעו באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w את הווקטורים SC→\overrightarrow{SC} ו-BM→\overrightarrow{BM}.

ג.

חשבו את המכפלה הסקלרית SC→⋅BM→\overrightarrow{SC}\cdot\overrightarrow{BM}, וקבעו אם הזווית בין הווקטורים SC→\overrightarrow{SC} ו-BM→\overrightarrow{BM} חדה, ישרה או קהה. נמקו.

שאלה 6 · וקטורים בפירמידה: הנקודה על המקצוע הקרובה ביותר לקודקודשאלה מלאה · קשה

בסרטוט שלפניכם פירמידה ABCDEABCDE שבסיסה ABCDABCD הוא ריבוע שאורך צלעו 4. AEAE מאונך לבסיס הפירמידה, ו-AE=2AE=2. הנקודה MM נמצאת על המקצוע ECEC כך ש-AM→\overrightarrow{AM} מאונך ל-CE→\overrightarrow{CE}. נסמן CM→=t⋅CE→\overrightarrow{CM}=t\cdot\overrightarrow{CE}. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline v, AE→=w‾\overrightarrow{AE}=\underline w.

uvwABCDEM
א.

הביעו את CE→\overrightarrow{CE} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w, ומצאו את אורכו.

ב.

מצאו את הערך של tt.

ג.

חשבו את אורך הקטע AMAM.

ד.

חשבו את שטח המשולש AMCAMC.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.