שאלות פתוחות: הגדרת המכפלה הסקלרית ותכונותיה - כיתה י"ב 4 יח"ל

שאלות על הגדרת המכפלה הסקלרית ותכונותיה לכיתה י"ב, 4 יחידות. בשאלות מחשבים מכפלות סקלריות במשולש שבו נתונות שתי צלעות והזווית ביניהן או שלוש צלעות, בין וקטורים באורכים 2 ו-3 עם זווית של 120 מעלות, ובגופים כמו פירמידה שבסיסה מלבן, מנסרה ישרה שבסיסה משולש שווה צלעות ופירמידה שבה שני מקצועות צדדיים מאונכים. השאלות ברמות קלה, בינונית וקשה. אפשר לבנות מכאן בוחן, מבחן או דף עבודה, עם פתרון מלא לכל שאלה וייצוא לוורד.

72 שאלותקלה: 20בינונית: 39קשה: 13

שאלה 1 · הגדרת המכפלה הסקלרית ותכונותיהשאלה קצרה · קלה

במשולש ABCABCABC נתון: ∠ACB=60∘\angle ACB=60^\circ∠ACB=60∘, AC=4AC=4AC=4, BC=6BC=6BC=6.

א.

מצאו את הזווית בין הווקטורים CA→\overrightarrow{CA}CA ו-BC→\overrightarrow{BC}BC.

ב.

חשבו את המכפלה הסקלרית CA→⋅BC→\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{BC}CA⋅BC.

שאלה 2 · הגדרת המכפלה הסקלרית ותכונותיהשאלה קצרה · בינונית

בפירמידה SABCDSABCDSABCD שבשרטוט הבסיס ABCDABCDABCD הוא מלבן שבו AB=4AB=4AB=4 ו-AD=3AD=3AD=3. נתון כי SB⊥ABSB\perp ABSB⊥AB וכי SD⊥ADSD\perp ADSD⊥AD. נסמן AB→=u→\overrightarrow{AB}=\vec{u}AB=u, AD→=v→\overrightarrow{AD}=\vec{v}AD=v, AS→=w→\overrightarrow{AS}=\vec{w}AS=w.
ABCDS

א.

חשבו את המכפלות הסקלריות u→⋅w→\vec{u}\cdot\vec{w}u⋅w, v→⋅w→\vec{v}\cdot\vec{w}v⋅w ו-AS→⋅AC→\overrightarrow{AS}\cdot\overrightarrow{AC}AS⋅AC.

ב.

נתון גם SA=41SA=\sqrt{41}SA=41​. מצאו את גודל הזווית בין ASASAS ל-ACACAC.

שאלה 3 · וקטורים במנסרה ישרה: נקודה משתנה על מקצוע וזווית ישרהשאלה מלאה · קשה

במנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ הבסיס ABCDABCDABCD הוא מקבילית. נתון: AB=6AB=6AB=6, AD=4AD=4AD=4, ∠BAD=60∘\angle BAD=60^\circ∠BAD=60∘, ונפח המנסרה הוא 72372\sqrt3723​.
הנקודה EEE נמצאת על המקצוע C′D′C'D'C′D′ ומקיימת C′E→=t⋅C′D′→\vec{C'E}=t\cdot\vec{C'D'}C′E=t⋅C′D′, כאשר 0≤t≤10\le t\le10≤t≤1.
נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline uAB=u​, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline vAD=v​, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline wAA′=w​.
ABCDA'B'C'D'E

א.

הביעו באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​, w‾\underline ww​ ו-ttt את הווקטורים B′A→\vec{B'A}B′A ו-B′E→\vec{B'E}B′E.

ב.

מצאו את הערך של ttt שעבורו B′A→\vec{B'A}B′A מאונך ל-B′E→\vec{B'E}B′E.

ג.

חשבו את גובה המנסרה.

ד.

עבור הערך של ttt שמצאתם בסעיף ב, חשבו את שטח המשולש AB′EAB'EAB′E.

ה.

עבור t=12t=\frac12t=21​ (כלומר כאשר EEE היא אמצע המקצוע C′D′C'D'C′D′), קבעו אם הזווית AB′EAB'EAB′E חדה, ישרה או קהה. נמקו.

שאלה 4 · הגדרת המכפלה הסקלרית ותכונותיהשאלה קצרה · קלה

במשולש ABCABCABC אורכי הצלעות הם AB=4AB=4AB=4, AC=6AC=6AC=6, BC=8BC=8BC=8.

א.

חשבו את המכפלה הסקלרית AB→⋅AC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}AB⋅AC.

ב.

חשבו את המכפלה הסקלרית AB→⋅BC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}AB⋅BC.

שאלה 5 · הגדרת המכפלה הסקלרית ותכונותיהשאלה קצרה · בינונית

במנסרה ישרה ABCA′B′C′ABCA'B'C'ABCA′B′C′ שבשרטוט הבסיסים הם משולשים שווי צלעות שאורך צלעם 333, ואורך המקצוע הצדדי הוא 444. נסמן: AB→=u→\overrightarrow{AB}=\vec{u}AB=u, AC→=v→\overrightarrow{AC}=\vec{v}AC=v, AA′→=w→\vec{AA'}=\vec{w}AA′=w.
ABCA'B'C'

א.

הביעו את A′B→\vec{A'B}A′B ואת A′C→\vec{A'C}A′C באמצעות u→\vec{u}u, v→\vec{v}v, w→\vec{w}w, וחשבו את A′B→⋅A′C→\vec{A'B}\cdot\vec{A'C}A′B⋅A′C.

ב.

חשבו את הזווית ∠BA′C\angle BA'C∠BA′C.

שאלה 6 · וקטורים בפירמידה: מציאת עקב הגובה ונפחשאלה מלאה · קשה

נתונה פירמידה SABCSABCSABC (ראו סרטוט). אורך כל אחד מן המקצועות הצדדיים SASASA, SBSBSB, SCSCSC הוא 4. נתון: ∠ASB=∠ASC=90∘\angle ASB=\angle ASC=90^\circ∠ASB=∠ASC=90∘, ∠BSC=60∘\angle BSC=60^\circ∠BSC=60∘. נסמן: SA→=u‾\overrightarrow{SA}=\underline uSA=u​, SB→=v‾\overrightarrow{SB}=\underline vSB=v​, SC→=w‾\overrightarrow{SC}=\underline wSC=w​. הנקודה MMM נמצאת במישור ABCABCABC, ו-SMSMSM מאונך למישור ABCABCABC.
uvwABCS

א.

חשבו את המכפלות הסקלריות: u‾⋅v‾\underline u\cdot\underline vu​⋅v​, u‾⋅w‾\underline u\cdot\underline wu​⋅w​, v‾⋅w‾\underline v\cdot\underline wv​⋅w​.

ב.

הביעו את SM→\overrightarrow{SM}SM באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​ ו-w‾\underline ww​.

ג.

חשבו את גובה הפירמידה לבסיס ABCABCABC.

ד.

חשבו את נפח הפירמידה SABCSABCSABC.

שאלה 7 · הגדרת המכפלה הסקלרית ותכונותיהשאלה קצרה · קלה

נתונים שני וקטורים u→\vec{u}u ו-v→\vec{v}v כך ש-∣u→∣=2|\vec{u}|=2∣u∣=2, ∣v→∣=3|\vec{v}|=3∣v∣=3, והזווית ביניהם היא 120∘120^\circ120∘.
uv

א.

חשבו את (3u→−v→)⋅(u→+2v→)(3\vec{u}-\vec{v})\cdot(\vec{u}+2\vec{v})(3u−v)⋅(u+2v).

ב.

מצאו את אורך הווקטור u→+2v→\vec{u}+2\vec{v}u+2v.

שאלה 8 · הגדרת המכפלה הסקלרית ותכונותיהשאלה קצרה · בינונית

אורכי הווקטורים u→\vec{u}u ו-v→\vec{v}v הם ∣u→∣=2|\vec{u}|=2∣u∣=2 ו-∣v→∣=3|\vec{v}|=3∣v∣=3. נסמן ב-α\alphaα את הזווית ביניהם. נתון: (u→+v→)⋅(u→−2v→)=−17(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-2\vec{v})=-17(u+v)⋅(u−2v)=−17.

א.

חשבו את המכפלה הסקלרית u→⋅v→\vec{u}\cdot\vec{v}u⋅v.

ב.

מצאו את הזווית α\alphaα.

שאלה 9 · וקטורים בפירמידה: מציאת עקב האנך מקודקוד למישורשאלה מלאה · קשה

בפירמידה המשולשת ABCDABCDABCD המקצועות ADADAD, BDBDBD ו-CDCDCD מאונכים זה לזה, ונתון: DA=DB=2DA=DB=2DA=DB=2, DC=1DC=1DC=1 (ראו סרטוט). הנקודה EEE נמצאת על המישור ABCABCABC, ומתקיים BE→=s⋅BA→+t⋅BC→\overrightarrow{BE}=s\cdot\overrightarrow{BA}+t\cdot\overrightarrow{BC}BE=s⋅BA+t⋅BC (sss, ttt מספרים). נסמן: DA→=u‾\overrightarrow{DA}=\underline uDA=u​, DB→=v‾\overrightarrow{DB}=\underline vDB=v​, DC→=w‾\overrightarrow{DC}=\underline wDC=w​.
uvwDABCE

א.

הביעו את DE→\overrightarrow{DE}DE באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​, w‾\underline ww​, sss ו-ttt.

ב.

נתון כי DE→\overrightarrow{DE}DE מאונך למישור ABCABCABC.

מצאו את sss ואת ttt.

ג.

חשבו את שטח המשולש ABCABCABC.

ד.

מצאו את המרחק של הקודקוד DDD מהמישור ABCABCABC.

שאלה 10 · וקטורים בתיבה: טרפז בין מרכז התיבה למקצועשאלה מלאה · קלה

נתונה תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D'ABCDA′B′C′D′ שבסיסה ABCDABCDABCD הוא ריבוע שאורך צלעו 2, וגובהה AA′=4AA'=4AA′=4. הנקודה EEE היא אמצע האלכסון BD′BD'BD′, והנקודה FFF היא אמצע המקצוע AA′AA'AA′. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}AB=u​, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline{v}AD=v​, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline{w}AA′=w​.
ABCDA'B'C'D'EF

א.

הביעו באמצעות u‾\underline uu​, v‾\underline vv​ ו-w‾\underline ww​ את הווקטורים AC→\overrightarrow{AC}AC, AE→\overrightarrow{AE}AE ו-FE→\overrightarrow{FE}FE.

ב.

הראו כי FE∥ACFE\parallel ACFE∥AC, ומצאו את היחס FEAC\frac{FE}{AC}ACFE​.

ג.

הראו כי הזוויות FACFACFAC ו-AFEAFEAFE ישרות.

ד.

חשבו את אורך הקטע CECECE ואת גודל הזווית ACEACEACE. היעזרו בווקטורים CA→\overrightarrow{CA}CA ו-CE→\overrightarrow{CE}CE.

ה.

מצאו את זוויות הטרפז ACEFACEFACEF.

עוד 46 שאלות על הגדרת המכפלה הסקלרית ותכונותיה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

וקטורים בתיבה: טרפז שקודקודו במרכז התיבה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $F$ היא אמצע המקצוע $CC'$ , והנקודה $E$ היא אמצע האלכסון $BD'$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$ ,…
וקטורים בתיבה שגובהה משתנה: זווית וגובה (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם מתוארת תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע שאורך צלעו 2, וגובהה $AA'=h$ . הנקודה $E$ היא מפגש אלכסוני הפאה $AA'D'D$ .…
וקטורים בפירמידה ריבועית: הגובה והנפח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה פירמידה ישרה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע. כל הפאות הצדדיות של הפירמידה הן משולשים שווי צלעות שאורך צלעם 2. הנקודה $O$ היא נקודת…
וקטורים בפירמידה ריבועית: זווית, שטח וניצבות (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה פירמידה ישרה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע שאורך צלעו 2. אורך כל אחד מהמקצועות הצדדיים של הפירמידה הוא 3. הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע…
וקטורים בפירמידה: הנקודה על המקצוע הקרובה ביותר לקודקוד (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCDE$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע שאורך צלעו 4. $AE$ מאונך לבסיס הפירמידה, ו- $AE=2$ . הנקודה $M$ נמצאת על המקצוע $EC$ כך…
וקטורים בקובייה: מלבן שקודקודיו באמצעי המקצועות (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הקובייה $ABCDA'B'C'D'$ שאורך המקצוע שלה 4 (ראו ציור). הנקודות $E$ , $F$ , $G$ ו- $H$ הן אמצעי המקצועות $AA'$ , $AB$ , $CC'$ ו- $D'C'$ …
וקטורים בקובייה: מקבילית, זווית ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הקובייה $ABCDA'B'C'D'$ (ראו ציור). הנקודות $F$ ו- $H$ הן אמצעי המקצועות $AB$ ו- $D'C'$ בהתאמה. הנקודה $E$ מקיימת:…
וקטורים בפירמידה: הגובה שקובע את הזווית (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה מרובעת $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מעוין, ו- $\angle BAD=60^\circ$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $SC$ . $AS$ מאונך לבסיס…
וקטורים בפירמידה שכל מקצועותיה שווים: ניצבות למקצוע ולמישור (שאלה מלאה · קלה)
בפירמידה המשולשת $ABCD$ כל המקצועות שווים ל-6 (ראו סרטוט). הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $CD$ , והנקודה $F$ היא אמצע המקצוע $BD$ . נסמן:…
וקטורים בפירמידה משולשת: ניצבות למקצוע ולמישור (שאלה מלאה · בינונית)
בפירמידה המשולשת $ABCD$ הפאות $ABC$ ו- $ABD$ הן משולשים שווי צלעות (ראו סרטוט). הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $CD$ . הנקודה $F$ נמצאת על המקצוע…
וקטורים בתיבה: איפה על המקצוע נוצרת זווית ישרה (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $M$ היא מפגש האלכסונים בפאה $A'B'C'D'$ . נקודה $P$ נמצאת על המקצוע $CC'$ ומקיימת…
וקטורים במנסרה שבסיסה מעוין: הוכחת ניצבות ושטח משולש (שאלה מלאה · קלה)
במנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ הבסיס $ABCD$ הוא מעוין שאורך צלעו 4, ו- $\angle BAD=60^\circ$ . גובה המנסרה הוא $AA'=3$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע…
וקטורים במנסרה ישרה שבסיסה מקבילית: טענות על ניצבות ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
במנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ הבסיס $ABCD$ הוא מקבילית. נתון: $AB=2$ , $AD=2\sqrt2$ , $\angle BAD=45^\circ$ , נפח המנסרה הוא 12. הנקודה $F$ היא…
וקטורים בפירמידה: מיקום נקודה מתנאי ניצבות (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCS$ . המקצוע $AS$ מאונך למישור הבסיס $ABC$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $BS$ . הנקודה $F$ נמצאת על המקצוע $BC$ כך…
וקטורים בפירמידה עם מקצועות מאונכים: גובה ונפח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה פירמידה $SABC$ (ראו סרטוט). המקצועות הצדדיים $SA$ , $SB$ ו- $SC$ מאונכים זה לזה, ואורך כל אחד מהם 6. נסמן: $\overrightarrow{SA}=\underline u$ ,…
וקטורים בפירמידה משולשת ישרה: בסיס ישר-זווית וגובה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה פירמידה ישרה $SABC$ שבסיסה משולש $ABC$ (ראו סרטוט). אורך המקצוע הצדדי של הפירמידה הוא 6. נתון: $\angle ASB=\angle ASC=60^\circ$ ,…
וקטורים במנסרה ישרה: נקודה משתנה על מקצוע (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא מקבילית. הנקודה $M$ היא אמצע המקצוע $C'D'$ , והנקודה $P$ נמצאת על המקצוע $AA'$ …
וקטורים בפירמידה עם מקצועות ניצבים שווים: זווית, ניצבות ונפח (שאלה מלאה · קלה)
בפירמידה המשולשת $ABCD$ המקצועות $AD$ , $BD$ ו- $CD$ מאונכים זה לזה, ואורך כל אחד מהם 3 (ראו סרטוט). הנקודה $E$ נמצאת על המישור $ABC$ ,…
וקטורים בפירמידה עם שלושה מקצועות ניצבים: זווית, שטח וניצבות (שאלה מלאה · בינונית)
בפירמידה המשולשת $ABCD$ המקצועות $AD$ , $BD$ ו- $CD$ מאונכים זה לזה (ראו סרטוט). הנקודה $E$ נמצאת על המישור $ABC$ , ומתקיים:…
מנסרה ישרה: איפה על המקצוע הזווית ישרה ומה גובה המנסרה (שאלה מלאה · קשה)
נתונה מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא מקבילית. נתון: $AB=5$ , $AD=2\sqrt2$ , $\angle BAD=45^\circ$ . גובה המנסרה אינו ידוע. הנקודה…
וקטורים בפירמידה: הוכחת ניצבות ושטח משולש (שאלה מלאה · קלה)
נתונה פירמידה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מלבן. המקצוע $SA$ מאונך לבסיס הפירמידה. הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $SC$ (ראו סרטוט). נסמן:…
וקטורים בתיבה: אמצע האלכסון וזוויות של טרפז (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתוארת תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $E$ היא מפגש אלכסוני הפאה $ABB'A'$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ ,…
מנסרה ישרה עם גובה לא ידוע: נקודה על מקצוע שיוצרת ניצבות (שאלה מלאה · קשה)
במנסרה ישרה $ABCA'B'C'$ הבסיס $ABC$ הוא משולש ישר-זווית שבו $\angle BAC=90^\circ$ , $AB=2$ ו- $AC=2\sqrt3$ . גובה המנסרה אינו ידוע. הנקודה $M$ …
וקטורים בתיבה: אמצע אלכסון וזווית (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מתוארת תיבה $ABCDA'B'C'D'$ שבה $AB=4$ , $AD=2$ ו- $AA'=4$ . הנקודה $E$ היא מפגש אלכסוני הפאה $AA'D'D$ . נסמן:…
וקטורים בפירמידה גבוהה: ניצבות, שיעורי נקודות ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCDE$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע. הנקודה $M$ נמצאת על המקצוע $EC$ כך שמתקיים $\overrightarrow{CM}=\frac13\overrightarrow{CE}$ . $AE$ מאונך…
מכפלות סקלריות בפירמידה מתוך נתוני ניצבות (שאלה קצרה · קשה)
בפירמידה $SABCD$ שבשרטוט הבסיס $ABCD$ הוא מלבן שבו $AB=4$ ו- $AD=3$ . נתון כי $SB\perp AB$ וכי $SD\perp AD$ . נסמן $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$ ,…
וקטורים בפירמידה: מהבעת וקטורים לשטח משולש (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCDE$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע שאורך צלעו 3. $AE$ מאונך לבסיס הפירמידה, ו- $AE=3$ . הנקודה $M$ נמצאת על המקצוע $EC$ כך…
וקטורים בפירמידה שבסיסה מעוין: ניצבות ונפח (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה מרובעת $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מעוין. הנקודה $M$ היא אמצע המקצוע $SC$ . $AS$ מאונך לבסיס הפירמידה. נסמן:…
מכפלה סקלרית בפירמידה ישרה וסוג הזווית בין וקטורים (שאלת ביניים · קשה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה ישרה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע שאורך צלעו 6. אורך כל אחד מהמקצועות הצדדיים של הפירמידה הוא 5. הנקודה $M$ היא…
וקטורים בפירמידה שבסיסה מעוין: הוכחת ניצבות (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה מרובעת $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מעוין שאורך צלעו 6, ו- $\angle BAD=60^\circ$ . המקצוע $AS$ מאונך לבסיס הפירמידה,…
וקטורים בתיבה: ניצבות, שטח משולש וזווית בהצגה אלגברית (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $M$ היא מפגש האלכסונים בפאה $A'B'C'D'$ . נקודה $P$ נמצאת על המקצוע $CC'$ ומקיימת…
וקטורים בתיבה: ניצבות ושטח משולש (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $M$ היא מפגש האלכסונים בפאה העליונה $A'B'C'D'$ , והנקודה $P$ היא אמצע המקצוע $CC'$ . נסמן:…
וקטורים בפירמידה: ניצבות ושטח משולש (בסיס עם צלעות שונות) (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCS$ . המקצוע $AS$ מאונך למישור הבסיס $ABC$ . הנקודה $E$ נמצאת על המקצוע $BS$ כך ש- $\overrightarrow{BE}=\frac13\overrightarrow{BS}$ . הנקודה…
וקטורים בפירמידה: ניצבות בבסיס ושטח משולש (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCS$ . המקצוע $AS$ מאונך למישור הבסיס $ABC$ . הנקודה $F$ נמצאת על המקצוע $BC$ כך ש- $\overrightarrow{BF}=\frac23\overrightarrow{BC}$ . נסמן:…
וקטורים בפירמידה: נקודה על מקצוע צדדי, ניצבות ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCS$ . המקצוע $AS$ מאונך למישור הבסיס $ABC$ . הנקודה $E$ נמצאת על המקצוע $SC$ כך ש- $\overrightarrow{CE}=\frac13\overrightarrow{CS}$ . הנקודה…
וקטורים במנסרה שבסיסה מעוין: ניצבות ושטח (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא מעוין שאורך צלעו 4, ו- $\angle DAB=60^\circ$ . גובה המנסרה הוא $AA'=4$ . הנקודה $M$ …
וקטורים במנסרה ישרה: ניצבות ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא מקבילית. הנקודה $N$ היא אמצע המקצוע $B'C'$ , והנקודה $Q$ נמצאת על המקצוע $DD'$ …
וקטורים במנסרה ישרה: מהבעת וקטורים לשטח משולש (שאלה מלאה · קלה)
נתונה מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ . $ABCD$ מקבילית. נתון: $AB=4$ , $AD=2$ , $AA'=3$ , $\angle BAD=60^\circ$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $DC$ .…
וקטורים במנסרה ישרה עם זווית קהה בבסיס: ניצבות ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא מקבילית. הנקודה $M$ היא אמצע המקצוע $A'B'$ , והנקודה $P$ נמצאת על המקצוע $CC'$ …
וקטורים במנסרה ישרה: מהבעת וקטורים לזווית (שאלה מלאה · קלה)
במנסרה ישרה $ABCA'B'C'$ הבסיסים הם משולשים שווי צלעות שאורך צלעם 2, וגובה המנסרה הוא $AA'=3$ . הנקודה $M$ היא אמצע הצלע $BC$ . נסמן:…
וקטורים במנסרה ישרה שבסיסה מקבילית עם זווית קהה (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ . $ABCD$ מקבילית. נתון: $AB=3$ , $AD=2$ , $AA'=3$ , $\angle BAD=120^\circ$ . הנקודה $K$ נמצאת על המקצוע $AB$ …
פתיחת סוגריים במכפלה סקלרית (שאלה קצרה · קלה)
נתונים שני וקטורים $\vec{u}$ ו- $\vec{v}$ כך ש- $|\vec{u}|=2$ , $|\vec{v}|=3$ , והזווית ביניהם היא $120^\circ$ .
וקטורים בפירמידה משולשת: קטע המקביל למישור הבסיס (שאלה מלאה · בינונית)
בפירמידה משולשת $ABCD$ : $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AC}=\underline v$ , $\overrightarrow{AD}=\underline w$ . הנקודה $M$ נמצאת על המקצוע $AD$ כך…
וקטורים במנסרה ישרה עם בסיס שווה-שוקיים: ניצבות וזווית (שאלה מלאה · בינונית)
במנסרה ישרה $ABCA'B'C'$ הבסיסים הם משולשים שווי-שוקיים שבהם $AB=AC$ ו- $\angle BAC=120^\circ$ . הנקודה $M$ היא אמצע הצלע $BC$ . נסמן:…
מכפלה סקלרית של שני וקטורים במנסרה ישרה (שאלה קצרה · בינונית)
במנסרה ישרה $ABCA'B'C'$ שבשרטוט הבסיסים הם משולשים שווי צלעות שאורך צלעם $3$ , ואורך המקצוע הצדדי הוא $4$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$ ,…
מכפלה סקלרית של שני וקטורים במקבילון (שאלת ביניים · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מקבילון $ABCDA'B'C'D'$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AD}=\underline v$ , $\vec{AA'}=\underline w$ . נתון:…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

וקטורים בקובייה: טרפז שקודקודו במרכז הקובייה · בגרות 472 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 1
נתונה קובייה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $F$ היא אמצע המקצוע $BB'$ , והנקודה $E$ היא אמצע האלכסון $AC'$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$ , $\overrightarrow{AD}=\underline{v}$ ,…
וקטורים בפירמידה ריבועית: זווית, שטח וניצבות · בגרות 472 קיץ 2021 מועד מיוחד, שאלה 1
נתונה פירמידה ישרה $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע (ראה ציור). כל הפאות הצדדיות של הפירמידה הן משולשים שווי צלעות. הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $AD$ . נסמן:…
וקטורים בקובייה: מקבילית, זווית ושטח · בגרות 472 קיץ 2022 מועד א', שאלה 1
נתונה הקובייה $ABCDA'B'C'D'$ (ראו ציור). הנקודות $E$ ו- $G$ הן אמצעי המקצועות $AA'$ ו- $CC'$ בהתאמה. הנקודה $F$ מקיימת: $\overrightarrow{AF}=\frac14\overrightarrow{AB}$ . הנקודה $H$ …
וקטורים בפירמידה משולשת: מכפלות סקלריות וניצבות למישור · בגרות 472 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 1
בפירמידה המשולשת $ABCD$ הפאות $ABD$ ו- $ACD$ הן משולשים שווי צלעות (ראו סרטוט). הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $CD$ . הנקודה $F$ נמצאת על המקצוע $BD$ ומחלקת אותו ביחס…
וקטורים במנסרה ישרה שבסיסה מעוין: טענות על מכפלות סקלריות ושטח משולש · בגרות 472 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 1
במנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ הבסיס $ABCD$ הוא מעוין. נתון: אורך צלע המעוין הוא 2, $\angle BAD=60^\circ$ , נפח המנסרה הוא $8\sqrt3$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע…
וקטורים בפירמידה משולשת ישרה: מכפלות סקלריות, ניצבות למישור ונפח · בגרות 472 חורף 2022, שאלה 1
נתונה פירמידה ישרה $SABC$ שבסיסה משולש $ABC$ (ראו סרטוט). אורך המקצוע הצדדי של הפירמידה הוא 3. נתון: $\angle ASB=\angle BSC=\angle ASC=30^\circ$ . נסמן:…
וקטורים בפירמידה עם שלושה מקצועות ניצבים: זווית, שטח וניצבות למישור · בגרות 472 קיץ 2023 מועד א', שאלה 1
בפירמידה המשולשת $ABCD$ המקצועות $AD$ , $BD$ ו- $CD$ מאונכים זה לזה (ראו סרטוט). הנקודה $E$ נמצאת על המישור $ABC$ , ומתקיים:…
וקטורים בתיבה: מפגש אלכסוני פאה, ניצבות וזוויות של מרובע · בגרות 472 חורף 2023, שאלה 1
בסרטוט שלפניכם מתוארת תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $E$ היא מפגש אלכסוני הפאה $AA'D'D$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AD}=\underline v$ ,…
וקטורים בפירמידה: הוכחת ניצבות, שיעורי נקודות ושטח משולש · בגרות 472 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 2
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCDE$ שבסיסה $ABCD$ הוא ריבוע. הנקודה $M$ נמצאת על המקצוע $EC$ כך שמתקיים $\overrightarrow{CM}=\frac23\overrightarrow{CE}$ . $AE$ מאונך לבסיס הפירמידה. נסמן:…
וקטורים בפירמידה שבסיסה מעוין: ניצבות ונפח · בגרות 472 חורף 2024, שאלה 2
בסרטוט שלפניכם פירמידה מרובעת $SABCD$ שבסיסה $ABCD$ הוא מעוין. הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $SC$ . $AS$ מאונך לבסיס הפירמידה. נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ ,…
וקטורים בתיבה: ניצבות, שטח משולש וזווית בהצגה אלגברית · בגרות 472 חורף 2025, שאלה 2
בסרטוט שלפניכם תיבה $ABCDA'B'C'D'$ . הנקודה $M$ היא מפגש האלכסונים בפאה $BCC'B'$ . נקודה $P$ נמצאת על המקצוע $DD'$ ומקיימת $\overrightarrow{DP}=\frac13\vec{DD'}$ . נסמן:…
וקטורים בפירמידה: ניצבות ושטח משולש · בגרות 472 קיץ 2026 מועד א', שאלה 2
בסרטוט שלפניכם פירמידה $ABCS$ . המקצוע $AS$ מאונך למישור הבסיס $ABC$ . הנקודה $E$ היא אמצע המקצוע $BS$ . הנקודה $F$ נמצאת על המקצוע $BC$ כך…
וקטורים במנסרה ישרה: הוכחת ניצבות ושטח משולש · בגרות 472 חורף 2026, שאלה 2
בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ שבסיסה $ABCD$ הוא מקבילית. הנקודה $M$ היא אמצע המקצוע $C'D'$ , והנקודה $P$ מקיימת $\overrightarrow{AP}=\frac34\vec{AA'}$ . נסמן:…
וקטורים במנסרה ישרה שבסיסה מקבילית: אורך, זווית ושטח משולש · מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך, שאלון 472, שאלה 1
נתונה מנסרה ישרה $ABCDA'B'C'D'$ . $ABCD$ מקבילית. נתון: $AB=2$ , $AD=1$ , $AA'=4$ , $\angle BAD=60^\circ$ . הנקודה $E$ נמצאת על המקצוע $DC$ ומחלקת אותו ביחס…
וקטורים במנסרה ישרה: מפגש תיכונים, ניצבות וזווית · מבחן לדוגמה 3 של משרד החינוך, שאלון 472, שאלה 1
במנסרה ישרה $ABCA'B'C'$ הבסיסים הם משולשים שווי צלעות. הנקודה $M$ היא מפגש התיכונים של המשולש $ABC$ . נסמן: $\overrightarrow{AB}=\underline u$ , $\overrightarrow{AC}=\underline v$ ,…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (1)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

ניצבות והוכחת משפטים בעזרת מכפלה סקלרית (שאלה קצרה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם הפירמידה המשולשת ABCD, שכל מקצועותיה שווים באורכם ( $a$ ). נסמן:…