דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

מבחן לדוגמה: מכפלה סקלרית מקוצרת: (u+v)² ו-(u+v)·(u−v) - כיתה י"ב 4 יח"ל

6 שאלות פתוחות על מכפלה סקלרית מקוצרת: (u+v)² ו-(u+v)·(u−v) (מכפלה סקלרית בגישה גאומטרית), מהקלה לקשה. המבחן מוכן להדפסה כמו שהוא, או לפתיחה במחולל לשינויים.

מבחן במתמטיקה - כיתה י"ב 4 יח"ל
מכפלה סקלרית מקוצרת: (u+v)² ו-(u+v)·(u−v)
6 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון
שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · מכפלה סקלרית מתוך שוויון אורכיםשאלה קצרה · קלה

נתונים שני וקטורים u→\vec{u} ו-v→\vec{v} שאינם וקטורי האפס. נתון: ∣u→+v→∣=∣u→∣|\vec{u}+\vec{v}|=|\vec{u}| ו-∣v→∣=4|\vec{v}|=4.

חשבו את המכפלה הסקלרית u→⋅v→\vec{u}\cdot\vec{v}.

שאלה 2 · וקטורים בפירמידה שכל מקצועותיה שווים: ניצבות למקצוע ולמישורשאלה מלאה · קלה

בפירמידה המשולשת ABCDABCD כל המקצועות שווים ל-6 (ראו סרטוט). הנקודה EE היא אמצע המקצוע CDCD, והנקודה FF היא אמצע המקצוע BDBD. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AC→=v‾\overrightarrow{AC}=\underline v, AD→=w‾\overrightarrow{AD}=\underline w.

uvwACBDEF
א.

חשבו את המכפלות הסקלריות u‾⋅v‾\underline u\cdot\underline v, u‾⋅w‾\underline u\cdot\underline w, v‾⋅w‾\underline v\cdot\underline w.

ב.
(1)

הביעו את הווקטורים CD→\overrightarrow{CD} ו-BD→\overrightarrow{BD} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w.

(2)

הראו כי AE→=12v‾+12w‾\overrightarrow{AE}=\frac12\underline v+\frac12\underline w, והביעו את AF→\overrightarrow{AF} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w.

ג.

הוכיחו כי CD→\overrightarrow{CD} מאונך ל-AE→\overrightarrow{AE}.

ד.

האם CD→\overrightarrow{CD} מאונך ל-AF→\overrightarrow{AF}? נמקו.

ה.

על סמך סעיף ד: האם CD→\overrightarrow{CD} מאונך למישור EAFEAF? נמקו.

שאלה 3 · מכפלה סקלרית מקוצרת: (u+v)² ו-(u+v)·(u−v)שאלה קצרה · בינונית

נתונים שני וקטורים u→\vec{u} ו-v→\vec{v} שאינם וקטורי האפס. נתון: ∣u→+v→∣=∣u→∣|\vec{u}+\vec{v}|=|\vec{u}| ו-∣v→∣=4|\vec{v}|=4.

א.

חשבו את המכפלה הסקלרית u→⋅v→\vec{u}\cdot\vec{v}.

ב.

הוכיחו כי הווקטור v→\vec{v} מאונך לווקטור 2u→+v→2\vec{u}+\vec{v} (בהנחה ש-2u→+v→2\vec{u}+\vec{v} אינו וקטור האפס).

שאלה 4 · מכפלה סקלרית, תיכון ומכפלת תיכון בצלע במשולששאלת ביניים · בינונית

במשולש ABCABC נתון: AB=3AB=3, AC=5AC=5, BC=6BC=6. הנקודה MM היא אמצע הצלע BCBC. נסמן: AB→=u→\overrightarrow{AB}=\vec{u}, AC→=v→\overrightarrow{AC}=\vec{v}.

א.

חשבו את המכפלה הסקלרית u→⋅v→\vec{u}\cdot\vec{v}.

ב.

מצאו את אורך התיכון AMAM.

ג.

חשבו את המכפלה הסקלרית AM→⋅BC→\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BC}.

שאלה 5 · מכפלת האלכסונים של מנסרה וגובה המנסרהשאלת ביניים · קשה

בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' שבסיסה ABCDABCD הוא מקבילית. נתון: AB=5AB=5, AD=4AD=4, ∠BAD=60∘\angle BAD=60^\circ. גובה המנסרה אינו ידוע. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline v, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline w, ו-x‾=v‾+w‾\underline x=\underline v+\underline w.

ABCDA'B'C'D'
א.

הראו כי AC′→=x‾+u‾\vec{AC'}=\underline x+\underline u וכי BD′→=x‾−u‾\vec{BD'}=\underline x-\underline u, וחשבו את u‾⋅x‾\underline u\cdot\underline x.

ב.

נתון: AC′→⋅BD′→=7\vec{AC'}\cdot\vec{BD'}=7.

מצאו את גובה המנסרה AA′AA'.

ג.

חשבו את אורכי האלכסונים AC′AC' ו-BD′BD' של המנסרה.

שאלה 6 · וקטורים בפירמידה: הגובה שקובע את הזוויתשאלה מלאה · קשה

בסרטוט שלפניכם פירמידה מרובעת SABCDSABCD שבסיסה ABCDABCD הוא מעוין, ו-∠BAD=60∘\angle BAD=60^\circ. הנקודה EE היא אמצע המקצוע SCSC. ASAS מאונך לבסיס הפירמידה. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline v, AS→=w‾\overrightarrow{AS}=\underline w.

ABCDSE
א.

הביעו באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w את הווקטורים EB→\overrightarrow{EB} ו-ED→\overrightarrow{ED}.

ב.

נתון: ∣u‾∣=4|\underline u|=4.

מצאו את אורך המקצוע ASAS שעבורו EB→\overrightarrow{EB} מאונך ל-ED→\overrightarrow{ED}.

ג.

בסעיף זה נתון: AS=3AS=3.

קבעו אם הזווית BEDBED חדה, ישרה או קהה, וחשבו את גודלה.

ד.

נתון כי ∠BED=120∘\angle BED=120^\circ. חשבו את נפח הפירמידה SABCDSABCD.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.