דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: מכפלה סקלרית מקוצרת: (u+v)² ו-(u+v)·(u−v) - כיתה י"ב 4 יח"ל

שאלות פתוחות על מכפלה סקלרית מקוצרת, (u+v)² ו-(u+v)·(u−v), לכיתה י"ב (4 יחידות). התלמידים מחשבים זווית במקבילית מתוך אורכי הצלעות והאלכסון, אורך תיכון במשולש מתוך שלוש הצלעות, וזוויות בין שלושה וקטורים שסכומם אפס. יש גם שאלות שבהן אורך הסכום נתון ומוצאים את המכפלה הסקלרית, ופירמידות שבסיסן מעוין או ריבוע. השאלות ברמות קלה, בינונית וקשה. מכאן קל להרכיב בוחן קצר על הנוסחאות המקוצרות, כשלצד כל שאלה פתרון מלא והקובץ יוצא לוורד.

27 שאלותקלה: 6בינונית: 18קשה: 3

שאלה 1 · מכפלה סקלרית מקוצרת: (u+v)² ו-(u+v)·(u−v)שאלה קצרה · קלה

ABCDABCD היא מקבילית שבה AB=5AB=5, AD=3AD=3, ואורך האלכסון ACAC הוא 77.

א.

מצאו את הזווית ∠DAB\angle DAB.

ב.

מצאו את אורך האלכסון BDBD.

שאלה 2 · מכפלה סקלרית מקוצרת: (u+v)² ו-(u+v)·(u−v)שאלה קצרה · בינונית

שלושה וקטורים u→\vec{u}, v→\vec{v}, w→\vec{w} מקיימים u→+v→+w→=0→\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}=\vec{0}. נתון: ∣u→∣=3|\vec{u}|=3, ∣v→∣=4|\vec{v}|=4, ∣w→∣=5|\vec{w}|=5.

א.

חשבו את u→⋅v→+v→⋅w→+w→⋅u→\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{w}+\vec{w}\cdot\vec{u}.

ב.

מצאו את הזווית בין u→\vec{u} ל-v→\vec{v}.

שאלה 3 · וקטורים בפירמידה: הגובה שקובע את הזוויתשאלה מלאה · קשה

בסרטוט שלפניכם פירמידה מרובעת SABCDSABCD שבסיסה ABCDABCD הוא מעוין, ו-∠BAD=60∘\angle BAD=60^\circ. הנקודה EE היא אמצע המקצוע SCSC. ASAS מאונך לבסיס הפירמידה. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline v, AS→=w‾\overrightarrow{AS}=\underline w.

ABCDSE
א.

הביעו באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w את הווקטורים EB→\overrightarrow{EB} ו-ED→\overrightarrow{ED}.

ב.

נתון: ∣u‾∣=4|\underline u|=4.

מצאו את אורך המקצוע ASAS שעבורו EB→\overrightarrow{EB} מאונך ל-ED→\overrightarrow{ED}.

ג.

בסעיף זה נתון: AS=3AS=3.

קבעו אם הזווית BEDBED חדה, ישרה או קהה, וחשבו את גודלה.

ד.

נתון כי ∠BED=120∘\angle BED=120^\circ. חשבו את נפח הפירמידה SABCDSABCD.

שאלה 4 · מכפלה סקלרית מקוצרת: (u+v)² ו-(u+v)·(u−v)שאלה קצרה · קלה

במשולש ABCABC נתון: AB=5AB=5, AC=7AC=7, BC=8BC=8. הנקודה MM היא אמצע הצלע BCBC.

א.

חשבו את המכפלה הסקלרית AB→⋅AC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}.

ב.

מצאו את אורך התיכון AMAM.

שאלה 5 · מכפלה סקלרית מקוצרת: (u+v)² ו-(u+v)·(u−v)שאלה קצרה · בינונית

נתונים שני וקטורים u→\vec{u} ו-v→\vec{v} שאינם וקטורי האפס. נתון: ∣u→+v→∣=∣u→∣|\vec{u}+\vec{v}|=|\vec{u}| ו-∣v→∣=4|\vec{v}|=4.

א.

חשבו את המכפלה הסקלרית u→⋅v→\vec{u}\cdot\vec{v}.

ב.

הוכיחו כי הווקטור v→\vec{v} מאונך לווקטור 2u→+v→2\vec{u}+\vec{v} (בהנחה ש-2u→+v→2\vec{u}+\vec{v} אינו וקטור האפס).

שאלה 6 · סכום מכפלות סקלריות של שלושה וקטורים שסכומם אפסשאלה קצרה · קשה

שלושה וקטורים u→\vec{u}, v→\vec{v}, w→\vec{w} מקיימים u→+v→+w→=0→\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}=\vec{0}. נתון: ∣u→∣=3|\vec{u}|=3, ∣v→∣=4|\vec{v}|=4, ∣w→∣=5|\vec{w}|=5.

חשבו את u→⋅v→+v→⋅w→+w→⋅u→\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{w}+\vec{w}\cdot\vec{u}.

שאלה 7 · מכפלה סקלרית מקוצרת: (u+v)² ו-(u+v)·(u−v)שאלה קצרה · קלה

נתונים שני וקטורים u→\vec{u} ו-v→\vec{v}. נתון: ∣u→∣=3|\vec{u}|=3, ∣v→∣=5|\vec{v}|=5, ∣u→+v→∣=7|\vec{u}+\vec{v}|=7.

א.

חשבו את המכפלה הסקלרית u→⋅v→\vec{u}\cdot\vec{v}.

ב.

מצאו את הזווית בין הווקטורים u→\vec{u} ו-v→\vec{v}.

שאלה 8 · וקטורים בפירמידה ריבועית: זווית, שטח וניצבותשאלה מלאה · בינונית

נתונה פירמידה ישרה SABCDSABCD שבסיסה ABCDABCD הוא ריבוע שאורך צלעו 2. אורך כל אחד מהמקצועות הצדדיים של הפירמידה הוא 3. הנקודה EE היא אמצע המקצוע CDCD.

נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline v, AS→=w‾\overrightarrow{AS}=\underline w.

ABCDSE
א.

חשבו את המכפלות הסקלריות: u‾⋅w‾\underline u\cdot\underline w, v‾⋅w‾\underline v\cdot\underline w, u‾⋅v‾\underline u\cdot\underline v.

ב.

הביעו את SB→\overrightarrow{SB} ו-SE→\overrightarrow{SE} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w.

ג.
(1)

חשבו את גודל הזווית BSEBSE.

(2)

חשבו את שטח המשולש BSEBSE.

ד.

הנקודה FF היא אמצע המקצוע SCSC.

(1)

הביעו את DF→\overrightarrow{DF} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w.

(2)

האם הווקטורים SB→\overrightarrow{SB} ו-DF→\overrightarrow{DF} מאונכים זה לזה? נמקו.

שאלה 9 · מכפלת האלכסונים של מנסרה וגובה המנסרהשאלת ביניים · קשה

בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' שבסיסה ABCDABCD הוא מקבילית. נתון: AB=5AB=5, AD=4AD=4, ∠BAD=60∘\angle BAD=60^\circ. גובה המנסרה אינו ידוע. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline v, AA′→=w‾\vec{AA'}=\underline w, ו-x‾=v‾+w‾\underline x=\underline v+\underline w.

ABCDA'B'C'D'
א.

הראו כי AC′→=x‾+u‾\vec{AC'}=\underline x+\underline u וכי BD′→=x‾−u‾\vec{BD'}=\underline x-\underline u, וחשבו את u‾⋅x‾\underline u\cdot\underline x.

ב.

נתון: AC′→⋅BD′→=7\vec{AC'}\cdot\vec{BD'}=7.

מצאו את גובה המנסרה AA′AA'.

ג.

חשבו את אורכי האלכסונים AC′AC' ו-BD′BD' של המנסרה.

שאלה 10 · וקטורים בפירמידה שכל מקצועותיה שווים: ניצבות למקצוע ולמישורשאלה מלאה · קלה

בפירמידה המשולשת ABCDABCD כל המקצועות שווים ל-6 (ראו סרטוט). הנקודה EE היא אמצע המקצוע CDCD, והנקודה FF היא אמצע המקצוע BDBD. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AC→=v‾\overrightarrow{AC}=\underline v, AD→=w‾\overrightarrow{AD}=\underline w.

uvwACBDEF
א.

חשבו את המכפלות הסקלריות u‾⋅v‾\underline u\cdot\underline v, u‾⋅w‾\underline u\cdot\underline w, v‾⋅w‾\underline v\cdot\underline w.

ב.
(1)

הביעו את הווקטורים CD→\overrightarrow{CD} ו-BD→\overrightarrow{BD} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w.

(2)

הראו כי AE→=12v‾+12w‾\overrightarrow{AE}=\frac12\underline v+\frac12\underline w, והביעו את AF→\overrightarrow{AF} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w.

ג.

הוכיחו כי CD→\overrightarrow{CD} מאונך ל-AE→\overrightarrow{AE}.

ד.

האם CD→\overrightarrow{CD} מאונך ל-AF→\overrightarrow{AF}? נמקו.

ה.

על סמך סעיף ד: האם CD→\overrightarrow{CD} מאונך למישור EAFEAF? נמקו.

עוד 9 שאלות על מכפלה סקלרית מקוצרת: (u+v)² ו-(u+v)·(u−v)

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

  1. וקטורים בפירמידה משולשת: ניצבות למקצוע ולמישור (שאלה מלאה · בינונית)

    בפירמידה המשולשת ABCDABCD הפאות ABCABC ו-ABDABD הן משולשים שווי צלעות (ראו סרטוט). הנקודה EE היא אמצע המקצוע CDCD. הנקודה FF נמצאת על המקצוע…

  2. וקטורים בפירמידה שבסיסה מעוין: הוכחת ניצבות (שאלה מלאה · קלה)

    בסרטוט שלפניכם פירמידה מרובעת SABCDSABCD שבסיסה ABCDABCD הוא מעוין שאורך צלעו 6, ו-∠BAD=60∘\angle BAD=60^\circ. המקצוע ASAS מאונך לבסיס הפירמידה,…

  3. וקטורים במנסרה ישרה שבסיסה מקבילית: טענות על ניצבות ושטח משולש (שאלה מלאה · בינונית)

    במנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' הבסיס ABCDABCD הוא מקבילית. נתון: AB=2AB=2, AD=22AD=2\sqrt2, ∠BAD=45∘\angle BAD=45^\circ, נפח המנסרה הוא 12. הנקודה FF היא…

  4. מכפלה סקלרית מתוך שוויון אורכים (שאלה קצרה · קלה)

    נתונים שני וקטורים u→\vec{u} ו-v→\vec{v} שאינם וקטורי האפס. נתון: ∣u→+v→∣=∣u→∣|\vec{u}+\vec{v}|=|\vec{u}| ו-∣v→∣=4|\vec{v}|=4.

  5. וקטורים בפירמידה משולשת ישרה: בסיס ישר-זווית וגובה (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה פירמידה ישרה SABCSABC שבסיסה משולש ABCABC (ראו סרטוט). אורך המקצוע הצדדי של הפירמידה הוא 6. נתון: ∠ASB=∠ASC=60∘\angle ASB=\angle ASC=60^\circ,…

  6. וקטורים בפירמידה שמקצוע SB מאונך לבסיסה (שאלה מלאה · בינונית)

    נתונה פירמידה SABCDSABCD שבסיסה ABCDABCD הוא מלבן. המקצוע SBSB מאונך לבסיס הפירמידה. הנקודה EE היא אמצע המקצוע SDSD (ראו סרטוט). נסמן:…

  7. וקטורים בפירמידה שבסיסה מעוין: ניצבות ונפח (שאלה מלאה · בינונית)

    בסרטוט שלפניכם פירמידה מרובעת SABCDSABCD שבסיסה ABCDABCD הוא מעוין. הנקודה MM היא אמצע המקצוע SCSC. ASAS מאונך לבסיס הפירמידה. נסמן:…

  8. מכפלת האלכסונים ואורך אלכסון במקבילית (שאלה קצרה · בינונית)

    במקבילית ABCDABCD נתון AB=5AB=5 ו-AD=3AD=3. נסמן AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline{v}.

  9. מכפלה סקלרית, תיכון ומכפלת תיכון בצלע במשולש (שאלת ביניים · בינונית)

    במשולש ABCABC נתון: AB=3AB=3, AC=5AC=5, BC=6BC=6. הנקודה MM היא אמצע הצלע BCBC. נסמן: AB→=u→\overrightarrow{AB}=\vec{u}, AC→=v→\overrightarrow{AC}=\vec{v}.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (1)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.